МИФИ_Вычметоды КФ

так как норма любой функции неотрицательна. Отсюда следует, что

значения проекции спина на ось z ограничены как сверху, так и

Величиной S в дальнейшем будет обозначаться максимальная проекция спина на ось z.

Итак, согласно соотношениям (7.22) – (7.23), собственные числа оператора квадрата спина и оператора проекции спина на ось z могут принимать следующие значения:

161

В табл. 7.1 приведены возможные значения собственных чисел оператора квадрата спина и оператора проекции спина на ось z для некоторых значений максимальной проекции S.

Число 2S + 1 возможных проекций спина на ось z и есть число спиновых степеней свободы на узле, этот параметр системы обычно известен из эксперимента.

Самый удобный базис для описания спиновой статистики – рассмотренные выше собственные волновые функции оператора квадрата спина и оператора проекции спина на ось z в представлении чисел заполнения, отражающих состояния узлов:

здесь Na – число узлов в системе, а состояние каждого узла Sj – это z-проекции спина на этом узле. Размерность базиса (7.26) равна

Теперь необходимо описать действие спиновых операторов на выбранные базисные волновые функции. В базисе (7.26) оператор проекции спина на ось z будет диагонален, так как этот базис – собственный для этого оператора. Оператор проекции спина на ось z аналогичен оператору числа частиц для фермионов и бозонов.

Действие оператора SZj на функцию из базиса (7.26) сводится к

появлению множителя перед волновой функцией, равного z- проекции спина на узле j:

возникают комплексные коэффициенты, поэтому для построения гамильтоновой матрицы используется тройка операторов S+ ,S− ,SZ .

В важном частном случае для спина с максимальной проекцией

Матрицы Паули действуют на двухкомпонентные волновые функции-столбцы

их действие в этом случае полностью аналогично операторам рождения и уничтожения в ферми-статистике или в статистике hard-core. Это также непосредственно следует из коммутационных

соотношений для операторов SZ ,S+ ,S− (7.11а).

164

7.2.Квантовые спиновые модели

Для описания спиновых систем при помощи различных спиновых моделей необходимо учесть взаимодействие узельных спинов с внешним полем и между собой в формализме вторичного квантования.

Взаимодействие спинов с внешним магнитным полем описывается аналогично взаимодействию с полем классического вектора магнитного момента:

Таким образом, приложенное магнитное поле стремится направить спины (магнитные моменты) узлов вдоль линий магнитной индукции. Здесь и в дальнейшем размерный множитель µ0 (µя)

будет опускаться.

Взаимодействие спинов между собой также описывается скалярным произведением:

величина Jjj′ называется обменным взаимодействием. Если

гамильтониан (7.41) описывает взаимодействие валентных электронов, локализованных на узлах решетки, некомпенсированные магнитные моменты которых определяют магнитные свойства вещества, то с учетом антисимметрии волновой функции обменное взаимодействие Jjj′ будет иметь кулоновскую

природу.

Действительно, рассмотрим два электрона, локализованных на соседних узлах решетки m и n. Суммарная волновая функция электронов есть произведение спиновой функции χ(1,2) и

координатной функции ϕ(r1 ,r2 ) , где r1,r2 – радиусы-векторы

первого и второго электронов. С учетом тождественности электронов координатная функция ϕ(r1 ,r2 ) может быть

представлена через одноэлектронные состояния φ(r) следующим образом:

165

Знак в (7.42) выбирается из условий симметрии, для этого следует

Рассмотрим выражение для кулоновской энергии взаимодействия двух электронов на узлах m и n:

перенормировки обменного интеграла (7.45) можно переписать в более компактной форме:

Таким образом, если Jmn > 0 , то выгодна параллельная ориентация спинов:

если же Jmn < 0 , то в основном состоянии соседние спины будут

антипараллельны:

... ↑↓↑↓ ... . (7.48)

Случай (7.47) называется ферромагнитным упорядочением, случай (7.48) – антиферромагнитным упорядочением.

Величина обменного интеграла определяется кулоновским взаимодействием на соседних атомах, расположенных на расстоянии периода решетки a, уменьшенным в меру перекрытия волновых функций (рис. 7.1):

где a0 – характерный масштаб волновой функции, имеющий величину порядка боровского радиуса.

Рис. 7.1. Величина обменного интеграла Jnm (закрашенная область) определяется площадью области перекрытия волновых функций электронов, находящихся в узлах

r r

решетки n и m; a = rn − rm

Обменный интеграл Jmn является аналогом амплитуды перескока tmn , рассматриваемой ранее в узельных моделях сильной связи для ферми- и бозе-систем.

167

Модель, учитывающая взаимодействие системы узельных спинов между собой (7.41) и с внешним полем (7.40), называется моделью Гейзенберга, гамильтониан этой модели имеет вид

Очень многие магнетики являются анизотропными веществами, что проявляется в зависимости их обменного интеграла Jij от

направления взаимодействия относительно кристаллографических осей в веществе:

Вообще говоря, обменный интеграл является тензором Jαβ , поэтому в (7.51) могут войти также вклады в энергию взаимодействия вида JijXYSiXSiY ,JijYZSiYSiZ и т.п. Будем, однако, полагать, что задача

приведена к главным кристаллографическим осям, так что тензор Jαβ имеет диагональный вид, и введем обозначения JX ≡ JXX ,JY ≡ JYY ,JZ ≡ JZZ .

В системе может существовать ось легкого намагничивания, вдоль которой взаимодействие максимально, например JZ >> JX , JY ,

или плоскость легкого намагничивания, так что JZ << JX , JY . В

общем случае взаимодействие неодинаково по разным направлениям.

Наиболее употребительными моделями являются следующие:

Одним из предельных случаев XXZ-модели является XY-модель, в которой J >> J|| , и рассматривается плоская задача. Без внешнего

2<ij>

Вданном случае плоскость xy можно назвать плоскостью легкого намагничивания для трехмерной модели Гейзенберга. Вообще говоря, для двумерного случая XY-модель является классической, а

не квантовой, так как квантование по оси z отсутствует, и рассматриваются просто вектора в плоскости xy.i j i j

Другим предельным случаем XXZ-модели является ситуация J << J|| , когда в модели остаются только проекции спина на ось z:

модель (7.55) называется моделью Изинга, ось z в этой ситуации – ось легкого намагничивания для исходной XXZ-модели.

Наконец, возможна полностью изотропная модель Гейзенберга:

эта модель называется XXX-моделью.

Для более наглядного представления о сложных спиновых системах, которые интенсивно исследуются численно и экспериментально в настоящее время, приведем следующий пример.

169

Впоследние годы ведется интенсивное исследование

нанокластеров – частиц, состоящих из небольшого, порядка 10 104 , числа атомов. Нанокластеры рассматривают как "крупные блоки" для конструирования новых материалов и приборов. Особенно интересны магнитные нанокластеры, так как наличие внутренней, дополнительной степени свободы – магнитного момента – придает большое разнообразие их свойствам и позволяет управлять их состоянием при помощи внешнего магнитного поля.

Магнитные нанокластеры представляют собой высокоспиновые металлорганические молекулы, которые построены с участием ионов переходных элементов (Fe, Mn и др.) [24].

Кластер Mn12 – один из наиболее интересных для физики и

приложений. Его химическая формула имеет вид [27]

Mn12O12(CH3COO)16 (H2O)4 , (7.57) а устроен он следующим образом. Каждая молекула содержит

взаимодействие между ионами марганца осуществляется через ионы кислорода. Конкурирующие антиферромагнитные взаимодействия приводят к образованию ферримагнитной структуры с полным спином молекулы S = 10 . В молекулярном кристалле, состоящем из рассматриваемых молекул, ацетатные группы и молекулы воды отделяют один кластер Mn12 от другого,

причем настолько, что между разными кластерами остается только прямое магнитодипольное взаимодействие, величина которого чрезвычайно мала. Схематичное изображение кластера Mn12

показано на рис. 7.2 [24].

170