МИФИ_Вычметоды КФ

Из рис. 6.9 видно, что эти значения равны либо Φ = nΦ0 – максимумы, либо Φ = (n + 1/2)Φ0 – минимумы.

Для окончательного определения значения магнитного потока заметим, что идеальная система, в которой парамагнитный ток в объеме компенсируется диамагнитным откликом, все же является неустойчивой относительно преобладания диамагнитного вклада (как, например, в сверхпроводниках), обусловленного тенденцией к экранированию внешнего поля, которое (хотя бы слабое поле Земли) всегда имеет место в реальной ситуации, что в итоге приводит к отрицательной полной магнитной восприимчивости системы χM :

в (6.75) учтено, что ∂Z / ∂Φ = 0 .

Полученное условие (6.75) означает, что среди всех экстремальных значений Φ только максимумы реализуются в зависимостях термодинамических величин, т.е. справедливо условие (6.71) квантования магнитного потока.

Отметим, что такое же квантование наблюдается при эффекте Аронова – Бома [22], характеризующем влияние внешнего электромагнитного поля, сосредоточенного в области, недоступной для заряженной частицы, на ее квантовое состояние. Также квантование магнитного потока наблюдается в сверхпроводниках, только в случае сверхпроводимости квант магнитного потока Φ0 в два раза меньше, так как заряд пары

электронов, переносящей сверхпроводящий ток, куперовской пары, в два раза больше: 2e [20].

На рис. 6.10 показаны результаты численного моделирования методом точной диагонализации редуцированной модели БозеХаббарда (6.14) [30] с nmax = 2 . Приведена зависимость энергии

основного состояния как функции фазы при различных значениях параметра взаимодействия U. Видно, что в области притяжения U ~ −10 квантование энергии соответствует кванту потока, в два

151

раза меньшему, чем при значениях U > −5.5, что соответствует переходу системы в состояние со спаренными частицами.

Рис. 6.10. Зависимость энергии основного состояния как функции фазы. Точная диагонализация, число узлов Na = 12 :

1 – U / t = −5.5 ; 2 – U / t = −6.0 ; 3 – U / t = −6.5 ; 4 – U / t = −10.0

В заключение раздела отметим связь между приложенной фазой и симметрией волновой функции в одномерной ситуации.

Рассмотрим бесспиновые фермионы в одномерном случае при учете перескока только между ближайшими соседями и четным числом частиц. Покажем, что введение в этой системе антипериодических граничных условий эквивалентно "выключению" антисимметрии, т.е. переходу к статистике hard-core-бозонов.

Действительно, в случае ферми-статистики единственной ситуацией, которая приводит к изменению знака матричного элемента в гамильтоновой матрице при суммарном четном числе частиц, является "перескок" частицы из последнего узла на первый

оставшихся заполненных узлов будет нечетным, так что множитель

∑nk

(−1)1<k<Na всегда будет равен −1.

Такое же действие оказывает введение в систему калибровочной фазы π (при этом Φ = Φ0 /2 ), если учесть фазу через границу

явным множителем вида

то при прохождении границы каждый раз будет меняться знак матричного элемента. Замена (6.76) в отсутствие взаимодействия

приводит к сдвигу всех импульсов системы на величину 2πΦ .

Φ0Na

Фактически это означает, что, меняя фазу от нуля до π , можно получить результаты как для ферми-системы, так и для бозесистемы. Отсюда в случае hard-core-бозонов можно аналитически получить расчет спектра, сводя его к ферми-ситуации с фазовым сдвигом π .

Строго говоря, об определенном типе квантовой статистики в одномерной ситуации говорить нельзя. Невозможность приведения одной квантовой статистики к другой появляется только при рассмотрении систем размерности d ≥ 2 . Даже в случае d = 2 существует описание тождественных частиц, которые не являются ни фермионами, ни бозонами, имеют так называемую энионную статистику (anyon) и сцеплены с дробным квантом магнитного потока, значение которого и определяет симметрию волновой функции (впервые такое описание предложил Вилксек [23]).

Задачи

6.2. Написать программный код для создания узельного базиса для системы произвольного числа частиц со статистикой Бозе. Входными параметрами процедуры должны быть число узлов m в системе и максимальное заполнение на каждом узле nmax , выходным параметром – упорядоченный массив базисных состояний, каждая

строка которого отвечает базисной функции.

153

6.3. Написать программный код для создания узельного базиса для системы фиксированного числа частиц со статистикой Бозе. Входными параметрами процедуры должны быть число узлов m и число частиц N в системе, максимальное

заполнение на каждом узле nmax , выходным параметром – упорядоченный массив базисных состояний, каждая строка которого отвечает базисной функции.

6.4. Построить гамильтонову матрицу для системы из 6 узлов и 3 бозе-частиц, гамильтониан которой имеет вид

гамильтоновой матрицы (портрет матрицы – графическое представление матрицы, на котором отображаются только места ненулевых элементов; в MatLab портрет матрицы рисует функция "spy"). Получить спектр системы.

При тех же условиях решить задачу для нулевых граничных условий. Сравнить портреты и спектры матриц.

Ввести ограничение на заполнение узлов nmax = 2 . Построить и диагонализовать

матрицу гамильтониана для периодических и нулевых граничных условий, сравнить спектры и портреты матриц.

6.5. Для системы из 6 узлов и 3 свободных бозе-частиц с гамильтонианом

6

H = −∑(ai+ai+1 + ai+ai−1)

i=1

построить гамильтонову матрицу и найти спектр системы. Сравнить спектр с точным аналитическим решением. Определить кратность вырождения уровней.

При тех же условиях ввести ограничение на заполнение узлов nmax = 2 и получить

спектр системы. Объяснить отличие этого спектра от спектра системы без ограничения на заполнение узлов.

6.6. Построить узельный базис для системы из 8 узлов и с произвольным числом частиц с бозе-статистикой, максимальное заполнения на каждом узле nmax = 2 .

Сгруппировать базисные состояния в блоки, каждый из которых отвечает определенному числу частиц. В этом базисе построить гамильтонову матрицу для системы с периодическими граничными условиями, гамильтониан которой имеет вид

H = −t∑(ai+ai+1 + ai+ai−1) + U∑ni ,

ii

t = 1 ; U = 2 . Нарисовать портрет матрицы. Убедиться, что матрица имеет блочнодиагональный вид.

154

6.7. Построить гамильтонову матрицу для системы из 6 узлов и 4 частиц, гамильтониан которой имеет вид

случаи:

1)частицы с ферми-статистикой без учета спина;

2)частицы с бозе-статистикой с ограничением на заполнение узлов nmax = 1 .

Рассчитать и сравнить спектры двух систем.

При тех же условиях рассмотреть ситуацию, когда в системах 3 частицы. Сравнить спектры.

6.8. Построить гамильтонову матрицу для системы из 6 узлов, гамильтониан которой имеет вид

и рассчитать спектр системы для случаев, когда в системе 2; 3; 4 или 5 бозонов, в

6.9. Построить гамильтонову матрицу для системы из 8 узлов с периодическими граничными условиями, гамильтониан которой имеет вид

H = −t∑ai+aj + U∑ni(ni − 1) + V∑ninj .

ij i ij

Рассмотреть ситуацию, когда в системе 4 бозе-частицы. Рассчитать зависимость

155

7. Спиновые степени свободы

Рассмотрим теперь проблемы, возникающие при численном расчете систем со спиновыми степенями свободы. Актуальность этой задачи обусловлена современным состоянием эксперимента, так как в последнее время в связи с развитием нанотехнологий стало возможным получать разнообразные квантовые точки и кластеры из них, физические свойства таких систем с хорошей точностью описываются спиновыми состояниями электронов и ядерных спинов, находящихся в этих квантовых точках. Удается формировать магнитные макромолекулы – наномагниты из нескольких десятков спинов, локализованных в пространстве. Известны структуры в виде спиновых цепочек, плоскостей и сверхрешеток, обладающих гигантской спонтанной намагниченностью, квантованием суммарного магнитного момента и малыми временами релаксации и переключения из одной спиновой проекции в другую [24]. Перспективы разработки твердотельных элементов квантовых компьютеров связывают именно с такими системами [25]. Эти узельные системы также являются сильно взаимодействующими структурами, и получить точные аналитические результаты для них, как правило, не удается. Также огромное число разнообразных макроскопических магнитных систем различной размерности, обладающих ферро-, антиферро- и ферримагнетизмом, исследуются экспериментально и теоретически. Численное исследование небольших магнитных кластеров, моделирующих эти системы, позволяет прогнозировать их свойства и объяснять экспериментальные данные, что часто недоступно для аналитических подходов.

7.1.Спиновые операторы и узельный базис

Причиной наличия магнитных степеней свободы у различных веществ являются некомпенсированные спины либо электронов на верхних орбиталях, либо ядер атомов. В первом случае

156

характерный масштаб магнитного момента электрона – магнетон Бора

В единицах СГСМ µ0 ~10−20 . Во втором случае магнитный момент равен ядерному магнетрону, который примерно в 2000 раз меньше:

При описании орбитального или другого движения оператор спина связан следующим образом с механическим моментом (моментом импульса):

Далее под "оператором спина" будет пониматься необязательно спин, а также операторы механического или орбитального момента.

Обсудим далее некоторые свойства оператора спина.

r

Оператор спина S = {SX ,SY ,SZ } состоит из трех компонент-

проекций. Рассмотрим пространственную решетку таких спинов, каждый из которых пронумерован согласно месту в этой решетке.

Получим коммутационные соотношения для оператора спина. Вывод этих соотношений непосредственно следует, например, из

Из (7.5) и коммутационных соотношений для компонент операторов импульса и координаты

непосредственно следуют коммутационные соотношения для операторов спина. Для компонент оператора спина, относящихся к определенным узлам решетки j, j′ , они выглядят следующим

образом:

Задача 7.1. Получить коммутационные соотношения (7.7).

Заметим, что два последних соотношения коммутации можно получить из первого циклической перестановкой компонент спина. Для совпадающих индексов j = j′ (7.7) можно записать в краткой

форме:

где εαβγ – единичный антисимметричный тензор третьего ранга.

Воспользуемся следствиями из коммутационных соотношений для вывода собственных значений оператора спина, формирования узельного базиса системы и конкретных правил действия операторов на базисные волновые функции.

Из (7.8) можно получить следующее соотношение коммутации для оператора квадрата спина для совпадающих индексов узлов (в дальнейшем, если индексы узлов у операторов не обозначены, они считаются совпадающими):

Задача 7.2. Доказать коммутационные соотношения (7.9).

Видно, что оператор квадрата спина коммутирует с каждой из его компонент. Следовательно, для какой-либо одной из проекций оператора спина и оператора квадрата спина всегда имеется общая система собственных функций:

158

Здесь γ, µ – пока не известные собственные числа операторов S2 и Sα соответственно.

Выделим одно из направлений, например направление z, и решим задачу (7.10) на собственные значения для пары операторов S2 и SZ .

Введем следующие вспомогательные операторы:

S+ = SX + iSY ; (7.11) S− = SX − iSY.

Пользуясь (7.7), несложно получить коммутационные соотношения для этих операторов:

[Si+ ,S−j ] = 2SiZδij;

Как будет видно из дальнейшего, тройка операторов SZ ,S+ ,S− с

соответствующими коммутационными соотношениями (7.11а) более удобна для описания спиновых моделей, чем набор операторов

SX ,SY ,SZ с коммутационными соотношениями (7.7).

Подействуем этими операторами на собственную волновую

Таким образом, функции ~ являются собственными функциями

Ψγµ

оператора SZ с собственными значениями µ ± 1 . Нормировка этих

функций пока неизвестна, можно только написать, что они пропорциональны соответствующим собственным функциям

оператора SZ :

здесь A, B – нормировочные множители. Из (7.14) видно, что оператор S+ повышает, а оператор S− понижает на единицу собственное число оператора SZ , поэтому их можно

рассматривать как спиновые аналоги операторов рождения и уничтожения, используемых в ферми- и бозе-статистиках.

Для определения нормировочных множителей и собственных чисел операторов S+ и S− заметим, что

Таким образом, нормировочные множители A и B могут отличаться друг от друга только фазовым множителем вида eiθ , где θ – действительное, и подбором θ можно добиться, чтобы нормировочные множители в (7.14) для обоих операторов совпадали и были действительными:

Два последних слагаемых в (7.17) выпишем отдельно и убедимся, что они неотрицательны: