МИФИ_Вычметоды КФ

Следовательно, таким градиентным преобразованием волновой функции удается убрать векторный потенциал из уравнения Шредингера, но при этом появляется фазовый множитель в граничных условиях [18].

Из (6.42) и (6.45) – (6.46) следует, что для ввода в систему поля и тока достаточно на границе системы ввести фазовый множитель

здесь Φ0 – квант потока. Удобно магнитный поток отсчитывать в

единицах этой величины. Таким образом, при вводе магнитного потока методом изменения граничных условий (6.47) вся система в тороидальной геометрии пронизывается магнитным полем. Более того, так как узлы системы эквивалентны, поток может быть введен в любом месте и даже распределен равномерно или неравномерно вдоль замкнутого контура по оси x. При этом результаты расчета не изменятся, если равны циркуляция векторного потенциала и введенный в систему суммарный поток.

В частном случае системы, описываемой единой волновой функцией Ψ , квантово-механическое выражение для плотности тока, переносимого частицами системы массы m и заряда e , имеет следующий вид:

часть выражения (6.48) для тока – парамагнитный вклад, приводящий к усилению магнитного поля в среде, вторая – диамагнитный, приводящий к экранировке внешнего поля. Ток, циркулирующий в системе, зависит от волновой функции и векторного потенциала, при этом если градиенты волновой функции малы (мал парамагнитный вклад), то ток и векторный потенциал просто пропорциональны друг другу:

Если положить, что фаза монотонно наращивается при движении

и, следовательно, интеграл в фазовом множителе в (6.52) одинаков для ближайших соседей, то для случая кубической симметрии или тороидальной геометрии имеем:

После формирования гамильтоновой матрицы получаем задачу на собственные значения эрмитовой матрицы. Недиагональные матричные элементы, возникшие из-за движения вдоль направления x, будут иметь фазовый множитель, зависящий от введенной в систему градиентной фазы. Получившиеся в результате диагонализации собственные значения также будут зависеть от Φ .

Можно задать другое распределение векторного потенциала, положив его нулю везде, кроме границы (Lx ,y,z) ↔ (1,y,z) . При

прохождении границы полагаем, что

Таким образом, всю фазу можно учитывать только на границе, перпендикулярной оси x, и результаты расчета от этого не

изменятся. В частном случае, если Φ = Φ20 , т.е. в систему введена половина кванта потока, что эквивалентно разности фаз χ = π ,

143

Подставив (6.59) в выражение для гамильтониана (6.58), получим:

соответствующим осям, равные периоду решетки в этих направлениях. Таким образом, получаем обычный одночастичный спектр в приближении сильной связи, только по направлению kx

появляется вклад от фазы [21]. Фактически все импульсы частиц

145

системы получили фазовый сдвиг в направлении приложенной фазы или внешнего тока (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Сдвиг спектра системы при учете градиентной фазы вдоль оси x, k = 2πΦ / Φ0Lx

Перебирая одночастичные состояния, находим спектр всей системы.

Заметим, что все фазовые зависимости спектра, рассмотренные выше, справедливы и для ферми-систем [21].

Полная энергия системы, рассчитанная с учетом фазы, удовлетворяет условию периодичности по фазе

Это свойство можно получить непосредственно из спектральной зависимости одночастичных состояний. Рассмотрим конкретный пример – одномерную систему из Na = Lx = 6 узлов и N = 3 частиц.

В отсутствие фазы разрешенные импульсы в этой системе будут (рис. 6.6)

В случае конечного значения Φ все импульсы получают сдвиг, равный πΦ /3Φ0 . Так как в основном состоянии все частицы имеют

нулевой импульс, то

Рис. 6.6. Одночастичные состояния для свободных частиц на цепочке из шести узлов

случае дальнейшего возрастания фазы минимальная разрешенная одночастичная энергия будет отвечать не импульсу k0 , а импульсу

k−1 (рис. 6.7), все частицы перейдут на этот уровень, и энергия основного состояния станет равной

Далее при достижении значения Φ = Φ0 ситуация повторится. Получаем, таким образом, периодическую зависимость E0 (Φ) с периодом Φ0 (рис. 6.8).

Ток в системе также будет периодичен:

Рис. 6.7. Сдвиг энергетических уровней при градиентном преобразовании

Рис. 6.8. Зависимость энергии основного состояния от фазы (6.66) – (6.67)

Подобные зависимости имеют место и для других физических величин в различных невзаимодействующих системах, в том числе и с ферми-статистикой.

В термодинамическом пределе, при Na → ∞, Lx → ∞ , для

невзаимодействующего бозе-газа можно получить следующую зависимость энергии основного состояния от фазы:

при 0 ≤ Φ ≤ 1 заполнены только состояния с нулевым импульсом,

Φ0 2

поэтому

148

Последнее слагаемое в (6.69) и (6.70) – вклад фазы или токовое слагаемое, оно зависит от размерности системы. В трехмерной ситуации оно расходится пропорционально линейному размеру системы L с ростом L, так как при NNa → const имеем, что

Na = LxLyLz ~ L3x ; в двумерной ситуации Na = LxLy ~ L2x оно выходит

на постоянное значение, а в одномерном случае спадает пропорционально 1 /L , так как Na = Lx .

Периодичность энергии и любых других характеристик системы

существует даже при наличии взаимодействия между частицами. Покажем это.

Из (6.46) и (6.47) следует, что при сдвиге разности фаз χ на 2π

волновая функция не меняется, т.е. любые решения уравнения Шредингера и любые квантово-механические средние должны быть периодическими функциями Φ с периодом Φ0 .

Далее энергия и термодинамические функции системы являются

образом, вид любой термодинамической функции, в частности логарифма статистической суммы

как функции Φ , качественно будет такой, как показано на рис. 6.9 (заметим, что зависимость, показанная на рис. 6.9, согласуется с точным решением (6.67) в пределе T → 0 , когда F = −TlnZ → E ).

Рис. 6.9. Качественная зависимость логарифма статистической суммы от фазы

Более того, можно показать, что в идеальной, без диссипации энергии, макроскопической системе реализуются только те значения магнитного потока, которые кратны кванту Φ0 , т.е. имеет

Действительно, в идеальной системе в равновесии и в отсутствие внешних токов парамагнитная часть (6.48) полностью компенсирует диамагнитную, т.е. суммарный объемный ток будет равен нулю. С другой стороны, известно, что суммарный ток есть термодинамическая производная от свободной энергии по фазе, т.е.

Отсюда следует, что в термодинамическом пределе в равновесии реализуются только экстремальные значения Φ , которые соответствуют условию