МИФИ_Вычметоды КФ

Заметим, что узельный базис для этого случая полностью совпадает с базисом для случая бесспиновых фермионов (алгоритм формирования этого базиса был приведен в примере 5.1), а действие операторов рождения и уничтожения на волновые функции также аналогично, за исключением отсутствия изменения знака при перестановке операторов из-за симметрии волновых функций. Таким образом, при формировании гамильтоновой матрицы для модели (6.17) можно пользоваться всеми рассмотренными правилами для бесспиновых фермионов, не учитывая антисимметрию.

Если ослабить запрет на числа заполнения и допустить двойное заполнение узлов, ni ≤ 2 , то получаем первую из моделей soft-

core-бозонов – так называемую редуцированную бозонную модель Хаббарда [17]. При формировании базиса необходимо учесть это ограничение. Например, фоковский базис для трех бозонов на четырех узлах будет следующим:

Φ1 = 0012; Φ2 = 0021; Φ3 = 0102; Φ4 = 0111;

Φ5 = 0120; Φ6 = 0201; Φ7 = 0210; Φ8 = 1002;

Φ9 = 1011; Φ10 = 1020; Φ11 = 1101; Φ12 = 1110; (6.19)

Φ13 = 1200; Φ14 = 2001; Φ15 = 2010; Φ16 = 2100.

При действии операторов на волновые функции следует учитывать это ограничение заполнения узлов, т.е.

Дальнейшее ослабление ограничения чисел заполнения приведет в конце концов к полной бозонной модели, в которой отсутствует верхняя граница чисел заполнения.

131

6.3.Построение гамильтоновой матрицы

Рассчитаем матричные элементы от кинетической (первое слагаемое) и потенциальной (второе и третье слагаемые) энергии в бозонной модели (6.14). Рассмотрим сначала действие оператора из кинетической части:

Таким образом, при действии оператора кинетической энергии получаем недиагональные матричные элементы

...(ni + 1)...(nj − 1)... ai+aj ...ni ...nj = ni + 1nj . (6.22)

Вклад в гамильтонову матрицу от потенциальной части (6.14) будет диагонален:

Пример. 6.1. Рассмотрим формирование гамильтоновой матрицы модели (6.14) на конкретном примере.

Пусть есть система из трех периодически замкнутых узлов и двух частиц, описываемая гамильтонианом (6.14) с параметрами t = −1 , U = 2.4 , V = 1.3 :

3

H = ∑(−ai+ai+1 − ai+ai−1 + 1.3nini+1 + 1.3nini−1 + 1.2(ni − 1)ni).

i=1

Узельный базис этой системы будет состоять из 6 функций: Φ1 = 002; Φ2 = 011; Φ3 = 020; Φ4 = 101; Φ5 = 110; Φ6 = 200.

Пользуясь (6.9) и (6.11), находим диагональные и недиагональные элементы матрицы и получаем:

132

Вне главной диагонали матричные элементы равны либо −1 , либо − 2 , они получаются в результате действия первых двух слагаемых гамильтониана – его

перемещается на уже занятый узел, что дает двойное заполнение и приводит к появлению этого бозевского фактора. На главной диагонали стоит вклад от взаимодействия – либо 1.3 при нахождении частиц на соседних узлах, либо 2.4, если на узле двойное заполнение.

Если теперь перейти к hard-core-бозонам при той же топологии кластера и том же числе частиц, то базис будет состоять всего из трех функций:

Φ1 = 011; Φ2 = 101; Φ3 = 110 , а гамильтонова матрица будет иметь следующий вид:

Здесь исчезли бозевские факторы в недиагональных элементах, а на главной диагонали исчез вклад от on-site-слагаемого, так как на одном узле уже не может находиться более одного бозона.

6.4. Аналитическое решение модели Бозе – Хаббарда без взаимодействия

В случае свободных бозе-частиц на решетке гамильтониан будет иметь вид

<ik >

иможно, так же как в модели сильной связи (5.14), получить аналитический ответ и рассчитать спектр бозонов. Для этого следует перейти из узельного в импульсное представление:

133

и эффективная масса частиц

В бозе-системе не работает принцип Паули, и если температура равна нулю, ничто не мешает свободным частицам собраться на нижнем энергетическом уровне, для которого k = 0. Таким образом, при нулевой температуре энергия основного состояния

E(0) = −2tN , (6.31) где N – полное число частиц.

Еще раз отметим, что результат (6.28) не будет справедлив для бозонов с ограничением чисел заполнения, так как новые

операторы в импульсном представлении ak+ ,ak уже не будут

обладать бозевскими коммутационными соотношениями, и нельзя будет рассчитать многочастичные уровни в соответствии с правилами (6.9) и (6.11).

Рассмотрим в качестве примера периодически замкнутую систему из трех узлов и трех частиц, описываемую гамильтонианом (6.24). Одночастичный спектр системы

В основном состоянии все частицы занимают нижний уровень (рис. 6.3), состояние является невырожденным, и его энергия

135

Рис. 6.3. Основное состояние системы из трех свободных бозе-частиц на решетке из трех узлов

Рис. 6.4. Первое возбужденное состояние системы из трех свободных бозе-частиц на решетке из трех узлов двукратно вырождено

Далее несложно рассчитать весь спектр с учетом вырождения.

Для моделей с ограничением чисел заполнения, как уже отмечалось, аналитически строго рассчитать спектр невозможно. Тем не менее, при достаточно больших Nmax результаты будут

приближаться к аналитическим ответам. Например, что для одномерной периодической системы из шести узлов и четырех свободных частиц энергия основного состояния в зависимости от ограничения чисел заполнения меняется следующим образом:

136

Видно, что только случай "hard-core" резко отличается по энергии от остальных значений, которые достаточно близки к результату для полной модели E0 = −8t . Введение ограничения чисел

заполнения эквивалентно появлению некоторого эффективного on-site-отталкивания на узле, которое сдвигает вверх уровни энергии.

Расчет квантовых средних, таких, как среднее число частиц на узле

ni , корреляционная функция плотность-плотность ninj и др. в

бозонной модели Хаббарда проводится точно так же, как и для фермионных моделей, отличие лишь в правилах действия операторов рождения и уничтожения (6.9), (6.11).

6.5.Инварианты в модели Бозе – Хаббарда

Все обсуждаемые выше примеры систем с бозе-статистикой рассматривались при фиксированном количестве частиц. Это возможно лишь в том случае, если полное число частиц является

инвариантом модели.

Как и в случае фермионной модели Хаббарда, гамильтониан модели Бозе – Хаббарда (6.14) коммутирует с оператором полного числа частиц,

Докажем соотношение (6.37). Рассмотрим коммутацию оператора числа частиц со слагаемым в кинетической части гамильтониана. Имеем:

137

= ∑tij (δ jkai+ak + ak+ ai+akaj − ak+ akai+aj) = ijk

= ∑tij (δ jkai+ ak + ak+ (−δik + akai+ )aj − ak+ akai+aj ) = ijk

= ∑tij(δjkai+ ak − δikak+ aj) ≡ 0. ijk

Коммутативность оператора числа частиц с потенциальной частью гамильтониана (6.14) очевидна, так как эта часть состоит из суммы операторов числа частиц, и каждый член суммы коммутирует с оператором полного числа частиц N. Коммутируют с оператором N

и слагаемые, пропорциональные ni2 , так как без труда доказывается коммутация любой степени операторов числа частиц:

Таким образом, аналогично (5.63), если рассмотреть для модели (6.14) узельный базис с произвольным числом частиц, то гамильтонова матрица может быть представлена в блочном виде:

Каждый блок относится к состояниям с заданным числом частиц, и перекрытий между блоками нет.

Коммутативность гамильтониана с оператором числа частиц нарушается, если, например, рассматривать систему помещенной

138

во внешнее поперечное поле. В этом случае в гамильтониане появится дополнительное слагаемое, пропорциональное

и число частиц в системе перестанет быть инвариантом модели. Действительно, введение в оператор энергии члена вида (6.41) приведет к некоммутативности гамильтониана с оператором полного числа частиц и к несохранению количества частиц в системе. Это также понятно и из вида оператора, так как нечетное число операторов рождения (уничтожения) при действии на волновую функцию переводит функцию с N частицами в блок функций с N ± 1 частицами.

6.6. Градиентно-инвариантная фаза. Токовые состояния

Квантовые системы, исследуемые в реальных экспериментах, очень часто находятся во внешних магнитных и электрических полях, поэтому проблемы, связанные с изучением токовых состояний, учетом наведенного магнитного потока и т.п., очень актуальны. В этом разделе рассмотрены способы учета внешнего тока и поля в квантовых задачах, решаемых численными методами. Этот вопрос удобно изучать на примере решеточных бозонов, хотя результаты этого раздела будут справедливы и для фермионных, и для спиновых систем (спиновые системы рассматриваются в гл. 9).

Пусть есть периодическая система атомов, по которым двигаются частицы. Будем полагать для определенности, что рассматриваемый кластер – это либо одномерная цепочка длиной Lx , либо двумерная плоскость размерами Lx , Ly , либо трехмерная

система размерами Lx , Ly , Lz .

Предположим, что в систему введен внешний магнитный поток, описываемый векторным потенциалом A(x,y,z) , и по системе циркулирует ток. Пусть ток и векторный потенциал направлены

139

параллельное оси z. В такой геометрии автоматически справедлива калибровка Лоренца divA = 0 .

Рассмотрим многочастичную задачу Шредингера, учитывая векторный потенциал. В общем случае в координатном представлении имеем:

Здесь V – внешнее поле, U – межчастичное взаимодействие, которые далее полагаем зависящими только от модулей расстояний, Ψ – многочастичная волновая функция. Граничные условия выбираем периодическими по каждой из координат:

Векторный потенциал можно представить как градиент скалярной величины χ – фазы и связать его с магнитным потоком Φ ,

пронизывающим систему:

Полный магнитный поток пропорционален разности фаз χ при обходе системы по контуру вдоль оси x.