МИФИ_Вычметоды КФ

5.4.Обобщить процедуры из задач 5.1 и 5.2 на случай учета спина частиц.

5.5.Построить гамильтонову матрицу для системы из 10 узлов и 6 ферми-частиц, гамильтониан которой имеет вид

гамильтоновой матрицы (портрет матрицы – графическое представление матрицы, на котором отображаются только места ненулевых элементов; в MatLab портрет матрицы рисует функция "spy"). Получить спектр системы.

При тех же условиях решить задачу для нулевых граничных условий. Сравнить портреты и спектры матриц.

5.6. Для системы из 6 узлов и 3 свободных ферми-частиц с гамильтонианом

6

H = −∑(ai+ai+1 + ai+ai−1)

i=1

построить гамильтонову матрицу и найти спектр системы. Сравнить спектр с точным аналитическим решением (5.28). Определить кратность вырождения уровней.

5.7. Найти энергии основного состояния и первых 4 возбужденных состояний в модели Хаббарда

H = −t∑ai+σajσ + U∑ni↑ni↓

в зависимости от параметра U / t . Число узлов в системе m = 8 , периодические граничные условия. Рассмотреть следующие случаи:

1)в системе 2 электрона с противоположными спинами;

2)в системе 2 электрона с одинаковыми спинами;

3)в системе 2 электрона со спином вверх и 1 электрон со спином вниз;

4)в системе 2 электрона со спином вверх и 2 электрона со спином вниз. При тех же условиях сделать замену t → −t . Сравнить спектры.

5.8. Построить гамильтонову матрицу для системы из 8 узлов с периодическими граничными условиями, гамильтониан которой имеет вид

H = −t∑ai+ aj + U∑n n + V∑ni nj ′ .

σ σ i↑ i↓ σ σ

Рассмотреть ситуацию, когда в системе 4 электрона со спином вверх и 4 электрона со спином вниз. Рассчитать зависимость энергии основного состояния, а также

5.9. Построить узельный базис для системы из 8 узлов и произвольным числом частиц с ферми-статистикой без учета спина. Сгруппировать базисные состояния в блоки, каждый из которых отвечает определенному числу частиц. В этом базисе построить гамильтонову матрицу для системы с периодическими граничными условиями, гамильтониан которой имеет вид

H = −t∑(ai+ai+1 + ai+ai−1) + U∑ni ,

ii

t = 1 ; U = 2 . Нарисовать портрет матрицы. Убедиться, что матрица имеет блочнодиагональный вид.

122

6.Бозе-статистика. Модель Бозе – Хаббарда

6.1. Вторичное квантование в случае статистики Бозе

Рассмотрим теперь проблемы, возникающие при исследовании систем с симметричной волновой функцией и отсутствием принципа Паули, т.е. случай статистики Бозе – Эйнштейна, применительно к вторичному квантованию. Заметим, что бозечастицы обладают целочисленным спином (в частности, нулевым), и при низких температурах поведение бозе-системы принципиально отличается от поведения ферми-системы.

Достаточно хорошо исследован случай делокализованных бозечастиц, когда хорошим квантовым числом является импульс p. Этот подход справедлив при исследовании таких бозе-систем, как газ фотонов – квантов электромагнитного поля, или фононов – квантов колебаний кристаллической решетки. Однако существует большое число систем с бозонными степенями свободы, где такой подход некорректен. Одной из таких систем является сверхтекучий гелий в пористых материалах, в этой системе реализуются фазовые переходы "сверхтекучесть – бозе-стекло – изолятор" даже при нулевой температуре при изменении параметра взаимодействия. В этом случае состояния бозонов сильно локализованы, привязаны к подложке (молекулам пористой среды), и хорошим описанием системы становится узельное представление. Другой пример – экситонные возбуждения (комбинация электрона и дырки) в твердом теле в условиях сильного электрон-фононного взаимодействия, когда характерный размер этого возбуждения мал, и можно использовать номер узла как хорошее квантовое число. Именно такие модели и будут рассмотрены в этой главе.

Бозоны отличаются от ферми-частиц отсутствием запретов на числа заполнения узлов. Например, фоковский базис для трех частиц на четырех узлах будет таким:

123

Φ1 = 0003; Φ2 = 0012; Φ3 = 0021; Φ4 = 0030; Φ5 = 0102; Φ6 = 0111; Φ7 = 0120; Φ8 = 0201;

Φ13 = 1020; Φ14 = 1101; Φ15 = 1110; Φ16 = 1200; Φ17 = 2001; Φ18 = 2010; Φ19 = 2100; Φ20 = 3000.

Алгоритм формирования упорядоченного базиса для бозе системы был описан ранее (см. пример 5.1).

Размерность базиса бозе-системы существенно больше размерности системы с ферми-частицами при том же количестве частиц. Для бозе-системы размерность базиса равна

где m – число узлов в системе, N – число частиц.

Доказательство. Для доказательства соотношения (6.2) рассмотрим N одинаковых шаров черного цвета, распределенных между m лунками, без ограничений заполнения каждой лунки. Число всевозможных способов размещения шаров по лункам и даст искомую размерность базиса.

Разбросаем шары случайным образом по лункам и условно разместим их на одной линии, сначала шары из первой лунки, затем из второй и т.д. Границы между разными лунками будем обозначать шарами белого цвета (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Черные шары случайным образом распределены по лункам. Границы лунок обозначены белыми шарами

Таким образом, имеем расположенные в одну линию N черных и m − 1 белых шаров, перемешанных случайным образом. Может оказаться, что между двумя белыми шарами нет черных, это означает отсутствие в соответствующей лунке черных шаров. Всего шаров N + m − 1 , число способов, которыми можно выбрать m − 1 белых шаров (т.е. границ между лунками) из N + m − 1 мест, и есть искомая

124

Соответственно для системы из четырех частиц на трех узлах число состояний для частиц с бозе-статистикой и, для сравнения, с ферми-статистикой, будет равно

RB = C36 = 36!3!! = 20;

Волновая функция бозонов симметрична, так что при перестановке операторов знак не меняется. Коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения бозе-частиц уже были выведены ранее (см. (4.66)):

aiaj − ajai = 0.

Правила действия операторов на узельные волновые функции следуют из соотношения

выведенного ранее (см. (4.67)), и из соответствующей нормировки волновой функции c n бозонами

В отличие от ферми-статистики в данном случае порядок нумерации узлов не существенен, так как операторы разных узлов коммутируют, и перестановка двух операторов, относящихся к разным узлам, не меняет знака выражения. В связи с этим далее в этом разделе, где это не оговорено особо, все операторы и числа заполнения подразумеваются для конкретного узла.

Рассмотрим действие оператора рождения на бозонную функцию:

Получаем, таким образом, функцию с увеличенным на единицу количеством частиц, но с неправильной нормировкой. Восстановим ее:

125

= n + 1Ψn+1.

Из (6.7) и (6.8) получаем следующее правило:

Рассмотрим теперь действие оператора уничтожения на бозонную функцию и учтем коммутационные соотношения:

aΨn = (n!)−1 /2 a(a+ )n 0 = (n!)−1 /2 (a+ a + 1)(a+ )n−1 0 =

= (n!)−1/2 ((a+ )m a(a+ )n−m + m(a+ )n−1 ) 0 = ... = = (n!)−1 /2n(a+ )n−1 0.

В последнем выражении в (6.10) выделяем функцию с уменьшенным на единицу числом частиц, правильно нормируем ее, и находим

Таким образом, оператор рождения увеличивает число частиц на единицу, а оператор уничтожения – уменьшает число частиц на единицу, при этом появляются множители, зависящие от чисел заполнения (их называют бозевскими факторами).

Заметим, что для операторов рождения и уничтожения получились в точности те же правила, как и для операторов в задаче о гармоническом осцилляторе (4.18) – (4.19).

Несколько примеров применения правил (6.9) и (6.11): a+4 002000 = 0 + 1 002100 = 1 002100;

a2 160010 = 6 150010; a3 100000 ≡ 0,

126

т.е. при действии оператора уничтожения на функцию с нулевым заполнением получается тождественный нуль, а верхнего предела по заполнению нет; в силу коммутационных соотношений (6.4) операторы рождения и уничтожения меняются местами без изменения знака матричного элемента.

Так же, как и для фермионов, оператор числа частиц бозонов определяет их количество на узле:

что сразу следует из (6.9) и (6.11).

6.2.Модель Бозе – Хаббарда

Для исследования систем с бозонными степенями свободы в приближении сильной связи была развита бозонная модель Хаббарда, представляющая собой бозонный аналог фермионной модели Хаббарда [12]. Фактически в модели рассматриваются бозоны, находящиеся на некоторой пространственной решетке и сильно связанные с ней, которые туннелируют с узла на узел решетки и взаимодействуют между собой. Бозонная модель Хаббарда позволяет описывать протекание жидкого гелия по пористым каналам, системы джозефсоновских контактов в сверхпроводниках, экситонные возбуждений в полупроводниках и др. В последнее время интенсивно развиваются исследования атомарных газов щелочных металлов в магнитооптических ловушках. Удалось получить бозонный газ при чрезвычайно низких

температурах (~10−9 10−7 K ) и высоких плотностях и наблюдать

бозе-конденсацию таких систем. Более того, при внесении в эту систему стоячих поперечных электромагнитных волн получается пространственная оптическая решетка, т.е. для бозонов строится периодический потенциал с центрами в пучностях волн, так что экспериментально формируется решеточный бозонный газ с контролируемым видом решетки и взаимодействия [13].

127

Гамильтониан бозонной модели Хаббарда имеет следующий вид:

где ai+ (ai) – операторы рождения (уничтожения) бозона на узле i;

t – матричный элемент перескока бозонов на соседние узлы, имеющий абсолютно тот же физический смысл, как и в модели сильной связи для фермионов; U – энергия отталкивания бозонов на узле, U > 0 ; V – энергия взаимодействия бозонов на соседних

узлах; ni = ai+ ai , 0 ≤ ni ≤ N , N – число бозонов в системе.

Второе слагаемое в (6.14), описывающее взаимодействие бозонов на одном узле, выбрано в таком виде, чтобы правильно отражать физическую картину on-site-взаимодействия: в отсутствие частиц на узле или при однократном заполнении узла вклад в энергию от этого взаимодействия отсутствует. При двукратном заполнении узла получаем добавку U к полной энергии, при заполнении n = 3 добавка будет 3U, при n = 4 , соответственно, 6U, и т.д., т.е. перебираются всевозможные пары частиц, и вклад от каждой пары равен U (рис. 6.2). Если рассматриваются заряженные бозоны, то природа взаимодействия – кулоновская, если бозоны нейтральны (как, например, атомы гелия), то причиной взаимодействия может быть потенциал Леннарда – Джонса и т.д. Для дальнейшего изложения природа межчастичного взаимодействия будет несущественна.

Рис. 6.2. Матричные элементы для гамильтониана (6.14) в случае системы из трех узлов и шести частиц

128

Так же, как и в случае фермионной модели Хаббарда, можно показать, что замена знака перескока на противоположный не меняет спектра, если перескоки бозонов осуществляются только на соседние узлы решетки. Можно использовать такой же ход рассуждения, но следует перед этим доказать для бозе-статистики справедливость операторного тождества

Задача 6.1. Доказать (6.15).

В дальнейшем для удобства отсчета спектра от дна зоны Бриллюэна амплитуду перескока будем полагать равной −t .

Даже в отсутствие взаимодействия на соседних узлах ( V = 0 ) система, описываемая гамильтонианом (6.14), имеет богатую фазовую диаграмму и претерпевает фазовые переходы из сверхтекучего состояния в бозе-стекло или моттовский изолятор при изменении параметра t /U . Следует отметить важную

особенность модели – существование фазовых переходов «сверхтекучесть – изолятор» даже в одномерном случае, в то время как в одномерной фермионной модели Хаббарда фазовые переходы отсутствуют.

В предельных случаях модель (6.14) переходит в спиновые модели. Например, при U → ∞ она эквивалентна квантовой модели Гейзенберга со спином 1 /2 .

При численном моделировании бозонных систем неизбежно приходится налагать ограничения на исходные модели, обусловленные особенностями численного расчета. Одним из наиболее употребительных ограничений является ограничение чисел заполнения на узлах, т.е.

где Nmax – максимальное заполнение на узле. Если узлы в системе

неэквивалентны, то для каждого узла вводится свое максимальное заполнение. Величина Nmax выбирается из разумных физических

соображений, например при сильном межчастичном отталкивании и малой концентрации частиц вероятность нахождения трех и более

129

бозонов на одном узле мала, и можно ограничиться Nmax ~ 3 ÷ 4 –

такое ограничение практически не внесет погрешности в расчет; если взаимодействие не является слишком сильным, следует увеличить Nmax . Ограничение чисел заполнения существенно

сокращает гильбертово пространство системы, что позволяет сформировать и диагонализовать гамильтонову матрицу на компьютере. В ряде случаев это приближение позволяет получить аналитические ответы, хотя точного решения для бозонной модели Хаббарда (6.14) не существует. В одномерной ситуации известны лишь уравнения ренормализационной группы (ренорм-уравнения), которые классифицируют критические точки фазовых переходов «сверхтекучесть – моттовский изолятор» [12, 14, 15], поэтому для этой модели (точнее, для этого класса моделей) важное значение приобретает численный анализ.

Ознакомимся далее с наиболее употребительными узельными бозонными моделями, используемыми при изучении реальных физических систем.

Рассмотрим предельный случай сильного взаимодействия на одном узле U → ∞ , что эквивалентно ограничению чисел заполнения ni ≤ 1 . Тогда в гамильтониане (6.14) второе слагаемое пропадает.

Такая модель называется hard-core-моделью или бозонами с "жесткими сердцевинами" (см., например, [16]):

Фактически в модели (6.17) введен запрет Паули – на одном узле не может быть больше одной частицы. Однако волновые функции в этой системе симметричны, и получается смешанная статистика – фермионы на одном узле, и бозоны – на разных узлах решетки. Иногда пишут следующие смешанные коммутационные соотношения для иллюстрации этого факта:

aiai+ + ai+ ai = 1.

130