МИФИ_Вычметоды КФ

Рис. 5.6. Одночастичные энергетические уровни для системы из шести узлов. Средние уровни дважды вырождены по импульсу

В соответствии с принципом Паули, в каждом состоянии не может быть больше одной частицы, при этом для основного состояния энергия должна быть минимальна. Значит, одна частица разместится на нижнем уровне, а две другие – на втором и третьем. Полная энергия основного состояния системы равна

причем основное состояние является невырожденным. Следующее, первое возбужденное состояние, имеет энергию E(1) = 3ε0 − 2t , и

является вырожденным (рис. 5.7).

Далее, располагая соответствующим образом частицы, получаем все 20 уровней полной энергии этой трехчастичной задачи (см. задачу 5.1). Они должны в точности совпадать со спектром, полученным в результате точной диагонализации гамильтоновой матрицы.

Эту задачу удалось так просто решить потому, что рассматривались свободные частицы. Как только в рассмотрение будет включено взаимодействие между частицами, в большинстве случаев точного аналитического ответа получить не удастся. Иногда удается получить ответ при помощи различных разложений или теории

101

возмущений, для некоторых одномерных систем в случае короткодействующего потенциала известны точные ответы, однако общей схемы решения таких задач нет. В этой ситуации на первый план выступают точные численные методы, которые позволяют получить точный ответ для конечной кластерной системы.

Рис. 5.7. Основное (1) и первое возбужденное (2-5) состояния для системы из трех частиц на шести узлах. Первое возбужденное состояние четырехкратно вырождено

Рассмотрим далее одну из основных моделей, которая учитывает межчастичное взаимодействие – модель Хаббарда.

5.4.Модель Хаббарда

Для объяснения фазовых переходов "металл – изолятор" в переходных металлах c узкими зонами Хаббард в 1964 г. [5] предложил модель, которая в режиме сильной связи, учитывая перескоки электронов на соседние атомы и кулоновское отталкивание на узле, позволила описать переход из проводящего состояния в диэлектрическое. Эта модель (и ее расширенные аналоги) в настоящее время стала популярной в связи с исследованием высокотемпературных сверхпроводников, наноструктур, квантовых точек и ям.

Для вывода модели Хаббард исходил из стандартного гамильтониана для ферми-газа с кулоновским взаимодействием:

102

Вклад в спектр от кинетической части гамильтониана (5.30) аналогичен рассмотренному в предыдущем разделе: для простой кубической решетки εp ~ cos(pa) .

Второе слагаемое, описывающее кулоновское взаимодействие электронов, записано в общем виде. Если рассматриваются системы с узкими зонами (ширина зон ~ 0.1 ÷ 1 эВ ), то электроны имеют

большую эффективную массу и сильно локализованы. Поэтому, как и в приближении сильной связи, хорошим квантовым числом является номер узла. Вернемся поэтому обратно от импульсного представления к узельным операторам:

Здесь индекс j подразумевает базис волновых функций Ваннье в кристалле, совпадающих с узельными волновыми функциями точно на узле и имеющих асимтотами плоские волны вдали от атома.

Применяя обратное фурье-преобразование к кинетической части гамильтониана (5.30), получаем:

Hkin = ∑tkjak+σ ajσ ,

k≠ j

σ

(Здесь и далее все энергии отсчитываются от уровня ε0 .)

Подставив (5.31) в потенциальную часть гамильтониана (5.30), получим:

103

Рис. 5.8. Матричные элементы потенциальной и кинетической энергий для гамильтониана (5.36) в случае системы из трех узлов и трех электронов

Знак перескока (минус) выбирается из удобства отсчета получающихся зон симметрично от центра зоны Брюллиэна. Можно показать, как и для случая модели без взаимодействия, что спектр

системы не меняется от смены знака перескока в случае приближения ближайших соседей.

Экспериментальные оценки параметров модели Хаббарда из спектральных и других экспериментов для различных

взаимодействие не является малым параметром, что затрудняет использование каких-либо аналитических подходов или приближений для нахождения спектра.

Модель Хаббарда была решена точно только в одномерном случае методом Анзац Бете и с использованием метода обратной задачи рассеяния [7-9]. В общем случае известны различные приближения и разложения по теории возмущений по параметру t/U. Сам Хаббард использовал близкий к приближению среднего поля подход (так называемые приближения "Хаббард-I" и "Хаббард-III" [5, 9]), чтобы показать наличие расщепления энергетических зон электрона за счет кулоновского взаимодействия. Различные модификации и близкие к модели Хаббарда описания (t-J-модель, модель Эмери, s-d-модель и др.) используются для описания транспортных, сверхпроводящих, магнитных свойств сильнокоррелированных систем, в частности

наномагниты). Эти модели используются для анализа таких сложных явлений, как эффект Кондо, кулоновская блокада и др.

Модель Хаббарда оказалась удачной для описания системы сильновзаимодействующих электронов, позволяющей адекватно описывать не только энергетические зоны, но и влияние концентрации частиц на структуру уровней, фазовые переходы между проводящим и диэлектрическим состояниями, магнитное упорядочение.

Например, если в системе число электронов совпадает с числом узлов (так называемое половинное заполнение), то при большом кулоновском взаимодействии (Ut >> 1) все электроны

практически "заперты" на своих узлах, образуя антиферромагнитное упорядочение:

... ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ....

В этом случае можно показать, что гамильтониан Хаббарда

эквивалентен гейзенберговскому антиферромагнитному гамильтониану, который будет рассмотрен далее при изучении спиновой статистики.

Из-за сложности аналитического описания в последнее время применяются численные расчеты этих моделей, в частности, методы Монте-Карло и методы точной диагонализации.

5.4.1. Гамильтонова матрица модели Хаббарда и ее расширенных аналогов

Целью этого раздела является формулировка численной задачи для нахождения спектра модели Хаббарда.

Рассмотрим действие оператора под знаком суммы в кулоновской части (5.35) на базисную функцию в узельном представлении:

ai+ ai ai+, ai, ...ni ...ni, ... = ni ni, ...ni ...ni, ... . (5.37)

σ σ −σ −σ σ −σ σ −σ σ −σ

Таким образом, получаем следующий диагональный матричный элемент:

106

Итак, слагаемое в (5.35), отвечающее взаимодействию между частицами, изменяет только диагональ в гамильтоновой матрице.

Рассмотрим для примера периодически замкнутую систему из трех узлов и двух частиц с противоположными спинами (рис. 5.9), гамильтониан которой имеет вид (5.35) с параметрами t = −1, U = 4.3 :

Рис. 5.9. Система из трех узлов и двух частиц с противоположными спинами в состоянии Φ3 = 100,001

Из-за периодических граничных условий i − 1 ≡ 3 при i = 1 и i + 1 ≡ 1 при i = 3 .

Узельный базис системы будет иметь следующий вид: Φ1 = 001,001; Φ2 = 010,001; Φ3 = 100,001;

Φ7 = 001,100; Φ8 = 010,100; Φ9 = 100,100.

Первые три числа базисной функции отвечают за состояния частицы со спином вверх, следующие три – за состояния частицы

со спином вниз; всего в системе C13C13 = 9 состояний. Построим гамильтонову матрицу:

107

Так как число электронов с каждой из проекций спина – нечетное, то положительного знака в кинетическом слагаемом не появляется (в том случае, если базисные функции записаны в виде (5.40)). На главной диагонали матрицы – вклад от взаимодействия, но только в 1, 5 и 9-й строках, так как только эти базисные функции имеют узлы с двойным заполнением.

Для более наглядного изучения влияния взаимодействия на спектр системы рассмотрим расширенный аналог модели Хаббарда. Введем кулоновское взаимодействие между электронами на соседних узлах, полагая его более слабым, но по порядку величины сопоставимым с амплитудой перескока. Эксперимент говорит о необходимости учета таких слагаемых. В этом случае взаимодействовать могут электроны не только с противоположными спинами, но и электроны с одной проекцией спина. Гамильтониан принимает вид

Последнее слагаемое учитывает кулоновское взаимодействие между электронами на соседних узлах, оно равно произведению чисел заполнения на кулоновскую энергию V. Параметр V – это

экранированный кулоновский потенциал, V = V( ri − rj ) , который можно взять одинаковым для эквивалентных узлов.

Матричные элементы от такого вклада в гамильтониан также будут диагональными:

108

5.4.2. Спектр модели Хаббарда и приближение среднего поля

Для модели Хаббарда и ее модификаций уже нельзя строго провести аналитический расчет, как это было сделано в случае свободных частиц. Однако можно решить задачу приближенно и обсудить качественные изменения спектра при учете взаимодействия.

Рассмотрим обычную модель Хаббарда для электронов со спинами:

Второе слагаемое можно упростить, если предположить, что с электроном со спином σ взаимодействуют не конкретные

электроны со спином −σ , а среднее количество электронов n−σ

со спином −σ – некоторое среднее поле. Это приближение называется приближением среднего поля. В общем случае оно не применимо в рамках модели Хаббарда, только в пределе U → 0 его можно с некоторой осторожностью использовать для качественного анализа влияния взаимодействия на спектр системы.

В рамках приближения среднего поля имеем:

В последнем соотношении учтено, что все узлы эквивалентны, и средние числа заполнения на них одинаковы, так что можно убрать индекс узла под знаком среднего.

т.е. задача из многочастичной превратилась в эффективную одночастичную.

Переходя в импульсное представление, получаем гамильтониан в диагональном виде:

110