МИФИ_Вычметоды КФ

Узельный базис для ферми-частиц без спина получается из базиса для бозе-частиц исключением всех состояний, в которых на каком-либо узле есть заполнение больше

единицы. В этом базисе будет C64 = 4!6!2! = 15 состояний:

Φ1 = 001111; Φ2 = 010111; Φ3 = 011011; Φ4 = 011101; Φ5 = 011110; Φ6 = 100111; Φ7 = 101011; Φ8 = 101101; Φ9 = 101110; Φ10 = 110011; Φ11 = 110101; Φ12 = 110110; Φ13 = 111001; Φ14 = 111010; Φ15 = 111100.

Если представить базисные функции на рис. 5.3 как числа, то видно, что эти числа упорядочены в порядке возрастания: первым стоит наименьшее число (000004), далее идет (000013) и т.д. до последнего, наибольшего числа (400000). Это обстоятельство позволяет организовать простую и эффективную процедуру поиска нужной волновой функции в базисе (например, при помощи метода деления отрезка пополам). Если число узлов в системе велико, то процедура поиска может быть применена к каждому из разрядов в отдельности.

Важно отметить, что узлы в системе могут быть

пронумерованы независимо от их пространственного расположения, система может иметь произвольную пространственную структуру. Результаты расчета не зависят от

того, в каком порядке пронумерованы узлы, важно лишь не менять эту нумерацию в процессе расчета.

Следует отметить, что перед каждой базисной функцией можно поставить любой фазовый множитель, действительный или мнимый, это не изменит результатов расчета квантовомеханических средних. В дальнейшем эти множители будут выбираться действительными для удобства расчета.

Рассмотрим отдельно формирование матричных элементов от каждого из слагаемых гамильтониана (5.2).

Слагаемое, описывающее потенциальную энергию электронов, локализованных на узлах,

представляет сумму операторов числа частиц. Действие каждого из них не приводит к изменению волновой функции, а сводится лишь

92

Базис этой системы имеет вид:

Φ1 = 0011, Φ2 = 0101, Φ3 = 0110, Φ4 = 1001, Φ5 = 1010, Φ6 = 1100.

Пользуясь выражениями для матричных элементов (5.6) и (5.11), получаем гамильтонову матрицу:

4

ε0 ∑ni = 2ε0 = 0.6 , одинаковая для всех базисных состояний. Кинетическая часть

i=1

гамильтониана дает либо (−1) при перескоке частицы на соседний узел, если начальный индекс отличается от конечного индекса на единицу (перескоки 1 ↔ 2 , 2 ↔ 3 , 3 ↔ 4 ), либо (+1), если перескок происходит с последнего узла на первый, или наоборот ( 4 ↔ 1 ). Разница в знаке возникает из-за того, что в последнем

случае необходимо переставить операторы в соответствии с (4.72), что приводит к появлению множителя ( −1 ). После приведения гамильтоновой матрицы к диагональному виду получаем спектр системы:

E1 = −1.4; E2 = −1.4; E3 = 0.6;

E4 = 0.6; E5 = 2.6; E6 = 2.6.

Следует отметить, что если в одномерной цепочке нечетное количество частиц, то знак матричного элемента перескока будет всегда одинаков (как если бы не было антисимметрии), так как все время либо операторы не нужно переставлять вовсе, либо перестановок – четное количество.

Из-за того, что матрица гамильтониана в данном примере симметрична (а в общем случае – эрмитова), можно почти вдвое сэкономить время расчета, вычисляя только нижнюю (под главной диагональю) или верхнюю части матрицы и главную диагональ.

Обратим внимание на граничные условия. Если сделать граничные условия нулевыми, т.е. разорвать связь 4 ↔ 1 , что эквивалентно запрету перескока частиц между первым и последним узлами, то гамильтонова матрица из примера 5.2 примет вид:

95

Подставляя (5.14) и (5.15) в гамильтониан (5.2), после некоторых преобразований и учета полноты базиса плоских волн получаем гамильтониан в диагональном виде:

H = ∑εkak+σakσ ,

Rj

Таким образом, после перехода из узельного базиса в импульсный гамильтонова матрица принимает диагональный вид, т.е. импульсное представление является в данной задаче собственноэнергетическим. Коэффициент при операторе числа частиц в новом представлении в (5.16) и есть энергия частиц как функция импульса. Подчеркнем, что εk – одночастичный спектр,

полная энергия системы есть

Заметим, что при каноническом преобразовании (5.14) – (5.15) новые операторы рождения и уничтожения также являются фермиевскими, и для них справедливы те же соотношения коммутации. Это легко доказывается прямой подстановкой фурьепреобразования в антикоммутаторы. Действительно, докажем (опуская, для простоты, спиновые степени свободы), что

Соотношение (5.19) справедливо для любого полного базиса ϕk (r) , по которому можно разложить операторы, а не только для

плоских волн. Также будет справедлив и принцип Паули.

97

Исследуем закон дисперсии электрона εk , оставив в гамильтониане

(5.2) перескоки только между соседними узлами с одинаковой амплитудой tij = −t .

Отрицательный знак матричных элементов tij выбран из удобства

дальнейшего описания спектра системы в импульсном пространстве; такая возможность выбора знака обусловлена справедливостью следующего свойства модели сильной связи: можно показать, что спектр системы (5.2) не меняется при

изменении знака перед амплитудой перескока t в случае приближения ближайших соседей. Докажем это свойство.

Разобъем систему на две подрешетки A и B, вложенные одна в другую, так, что ближайшим соседом узла A обязательно является узел B, и наоборот. Ко всем узлам A применим унитарное преобразование

которое меняет знак операторов типа A: ai+σA → −ai+σA , aiAσ → −aiAσ . Это следует из операторного тождества

которое доказывается непосредственным дифференцированием по параметру ϕ .

Задача 5.1. Доказать (5.21).

Рассмотрим действие преобразования U на гамильтониан (5.2):

где Hkin = t ∑ai+ aj .

σ σ

ij,σ

Для второго слагаемого в (5.22) получаем, что в сумме возникают комбинации операторов вида a+ AaB или a+BaA , и, так как знак перед операторами типа A изменился в результате преобразования U, то и общий знак перед вторым слагаемым в (5.22) меняется на противоположный.

98

Первое слагаемое в (5.22) будет содержать комбинации операторов вида a+ AaA или a+BaB . Так как число изменений знаков в этом случае всегда будет четным,

U−1a+ AaAU = U−1a+ AUU−1aAU = a+AaA , (5.23) то получаем, что первое слагаемое инвариантно относительно преобразования U.

Далее для любой собственной функции ψ имеем:

Из (5.24) следует, что спектр системы остается неизменным при унитарном преобразовании U, и утверждение доказано.

Таким образом, знак перед амплитудой перескока можно выбрать из соображений удобства. При выборе знака "минус" низ зоны проводимости будет находиться в центре зоны Бриллюэна, и дисперсионное соотношение (5.16) для простой кубической решетки в приближении ближайших соседей будет иметь вид

Этот закон дисперсии описывает полосу энергии шириной 2Zt (Z – число ближайших соседей, Z=2 – для одномерного случая), так называемую зону проводимости (рис. 5.5). Ширина зоны пропорциональна вероятности перескока. При увеличении концентрации электронов зона будет последовательно заполняться в соответствии с принципом Паули, так что заняты будут все состояния ниже некоторого максимального энергетического уровня, называемого уровнем Ферми EF . Очевидно, что эта величина

будет зависеть от концентрации электронов (см. рис. 5.5).

99

Рис. 5.5. Спектр свободной частицы

Если система конечна и имеет Lx узлов, то и разрешенных

При этом закон дисперсии (5.26) останется справедлив, только разрешенных состояний – импульсов, заполняемых частицами, станет конечное число.

Рассмотрим в качестве примера одномерную периодическую цепочку из 6 узлов с 3 частицами. В соответствии с (5.27), в системе имеется 6 разрешенных одночастичных уровней энергии:

Видно, что средние уровни дважды вырождены по импульсу (рис. 5.6).

100