МИФИ_Вычметоды КФ
.pdfФедеральное агентство по образованию
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
В.А. Кашурников |
А.В. Красавин |
Вычислительные методы в квантовой физике
Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
Москва 2005
УДК 530.145.01(075) ББК 22.311я7
К31
К31 |
К а ш у р н и к о в В . А . , К р а с а в и н А . В . Вычислительные |
методы |
|
в квантовой физике: Учебное пособие. М.: МИФИ, 2005. – 412 |
с. |
Учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемого на третьем курсе факультета «Высший физический колледж» Московского инженерно-физического института (государственного университета) студентам, обучающимся по специальностям «Физика конденсированного состояния», «Лазерная физика», «Физика плазмы», а также на основе практических занятий по компьютерному моделированию в среде MATLAB.
В пособии рассмотрены основные численные методы квантового моделирования: метод точной диагонализации и метод Монте-Карло. Объяснены способы выбора адекватного дискретного базиса волновых функций, нахождения спектра и различных корреляционных функций систем, описываемых основными типами квантовых статистик – статистиками Ферми, Бозе и спиновой. Исследованы проблемы численного анализа температурных и термодинамических характеристик различных систем; проведено знакомство с современными моделями физики коррелированных состояний: моделями Хаббарда, Бозе – Хаббарда, спиновыми моделями.
Предназначено для студентов, специализирующихся в физике конденсированного состояния. Пособие также может быть полезно студентам и аспирантам других физических специальностей, а также преподавателям и специалистам, занимающимся физикой конденсированного состояния.
Издание осуществлено при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. С.Р. Кельнер
ISBN 5-7262-0627-4 © В.А. Кашурников, А.В. Красавин, 2005
©Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2005
Редактор М.В. Макарова
Подписано в печать 15.11.2005 |
Формат 60х84 1/16 |
Уч.-изд. л. 25,75 П.л. 25,75 |
Тираж 120 экз. |
Изд. № 053-1 Заказ №
Московский инженерно-физический институт (государственный университет) Москва, 115409, Каширское шоссе, 31
Типография издательства «Тровант», г. Троицк
Оглавление
Предисловие |
7 |
Введение |
9 |
Часть 1. Квантовые одночастичные задачи
1. Матричная формулировка квантовой механики. |
|
Операции с матрицами |
11 |
1.1. Уравнение Шредингера |
11 |
1.2. Собственно энергетическое представление и |
|
собственные функции оператора H |
13 |
1.3. Определение спектра. Инварианты матриц |
18 |
2. Поиск и сортировка. Математические проблемы |
|
при построении базисных функций |
21 |
3. Квантовые одночастичные задачи |
30 |
3.1. Бесконечная потенциальная яма |
31 |
3.2. Конечная потенциальная яма |
36 |
3.3. Импульсное представление |
42 |
3.3.1. Дискретное преобразование Фурье |
42 |
3.3.2. Решение одночастичной задачи в импульсном |
|
представлении |
48 |
Часть 2. Квантовые многочастичные задачи
4. Формализм вторичного квантования. |
|
Представление чисел заполнения |
55 |
4.1. Одномерный гармонический осциллятор |
56 |
4.2. Поле смещений в струне |
60 |
4.3. Формализм вторичного квантования |
65 |
4.3.1. Одночастичный базис |
66 |
4.3.2. Двухчастичный и многочастичный базис. |
|
Коммутационные соотношения |
67 |
3
4.3.3.Базис в представлении чисел заполнения. Действие операторов на волновые функции
из этого базиса в случае статистики Ферми |
74 |
4.3.4. Операторы физических величин |
79 |
4.4. Полевые операторы и вторичное квантование |
84 |
5. Модели сильнокоррелированных систем. |
|
Статистика Ферми |
87 |
5.1. Модель сильной связи |
87 |
5.2. Гамильтонова матрица и базис для модели |
|
сильной связи |
90 |
5.3. Аналитическое решение модели сильной связи |
|
без взаимодействия |
96 |
5.4. Модель Хаббарда |
102 |
5.4.1. Гамильтонова матрица модели Хаббарда и ее |
|
расширенных аналогов |
106 |
5.4.2. Спектр модели Хаббарда и приближение |
|
среднего поля |
110 |
5.4.3. Инварианты в модели Хаббарда |
|
114 |
|
5.5. Расчет квантово-механических средних |
117 |
6. Бозе-статистика. Модель Бозе – Хаббарда |
123 |
6.1. Вторичное квантование в случае статистики Бозе |
123 |
6.2. Модель Бозе – Хаббарда |
127 |
6.3. Построение гамильтоновой матрицы |
132 |
6.4. Аналитическое решение модели Бозе – Хаббарда |
|
без взаимодействия |
133 |
6.5. Инварианты в модели Бозе – Хаббарда |
137 |
6.6. Градиентно-инвариантная фаза. |
|
Токовые состояния 139 |
|
7. Спиновые степени свободы |
156 |
7.1. Спиновые операторы и узельный базис |
156 |
7.2. Квантовые спиновые модели |
165 |
7.3. Формирование гамильтоновой матрицы |
|
для спиновых моделей |
172 |
7.4. Инварианты в спиновых моделях |
176 |
7.5. Некоторые результаты для модели Гейзенберга. |
|
Спектр возбуждений |
180 |
4
7.6.Соотношения и предельные случаи для фермионных, бозонных и спиновых моделей
сильно коррелированных систем |
191 |
7.6.1.Связь между бозонной и спиновыми моделями 191
7.6.2.Соответствие между моделью Хаббарда и
спиновыми моделями |
193 |
8. Некоторые физические и математические |
|
особенности метода точной диагонализации |
197 |
8.1. Конечные кластеры и трансляционная |
|
инвариантность |
197 |
8.2. Точная диагонализация больших матриц |
219 |
8.2.1. Пространства и инвариантные подпространства. |
|
Процедура Рэлея – Ритца |
220 |
8.2.2. Алгоритм Ланцоша |
223 |
8.3. Расчет функций линейного отклика и плотности |
|
состояний |
228 |
Часть 3. Термодинамика. Метод Монте-Карло
9. Статистическое описание систем многих частиц |
237 |
9.1. Микроканонический ансамбль |
241 |
9.2. Канонический ансамбль |
243 |
9.3. Большой канонический ансамбль |
247 |
9.4. Примеры |
252 |
9.4.1. Совокупность магнитных моментов |
252 |
9.4.2. Модели сильной связи |
256 |
9.4.3. Одномерная модель Изинга |
260 |
10. Статистика Больцмана, Ферми и Бозе. |
|
Плотность состояний |
267 |
10.1. Функции распределения |
267 |
10.2. Плотность состояний |
274 |
10.3. Термодинамика идеального ферми-газа |
277 |
10.4. Термодинамика идеального бозе-газа |
282 |
11. Методы Монте-Карло для физических систем |
287 |
11.1. Случайные распределения. Вероятность |
287 |
11.1.1. Метод обратной функции и метод |
|
фон Неймана |
289 |
5
11.1.2. Нормальное распределение |
297 |
11.1.3. Почти линейная плотность распределения |
301 |
11.1.4. Двумерные распределения |
305 |
11.2. Случайные величины и центральная предельная |
|
теорема. Общая схема метода Монте-Карло |
308 |
11.3. Расчет интегралов методом Монте-Карло |
319 |
11.4. Марковская цепь и принцип детального |
|
равновесия |
326 |
11.4.1. Марковская цепь. Понятие эргодичности |
326 |
11.4.2. Принцип детального равновесия |
329 |
11.5. Практическая реализация методов Монте-Карло |
333 |
11.5.1. Модель Изинга |
333 |
11.5.1.1. Формулировка модели и некоторые |
|
аналитические результаты |
333 |
11.5.1.2. Метод Монте-Карло для модели |
|
Изинга |
342 |
11.5.2. Решеточный газ |
348 |
11.5.2.1. Формулировка модели и некоторые |
|
аналитические результаты |
348 |
11.5.2.2.Реализация алгоритма Монте-Карло 352
11.5.3.Моделирование вихревой структуры в
высокотемпературных сверхпроводниках 361
11.5.3.1.Формулировка модели и некоторые аналитические и
экспериментальные данные |
362 |
11.5.3.2.Метод Монте-Карло для сверхпроводящей ВТСП-пластины 371
11.5.3.3.Результаты моделирования
для ВТСП-пластины |
377 |
11.6.Расчет термодинамических средних и оценка погрешности. Автокорреляционный анализ в
стохастическом моделировании |
382 |
11.7.Диаграммные методы и высокотемпературное разложение. Преобразование операторов
физических величин |
395 |
Список литературы |
410 |
6
Предисловие
Учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемого на третьем курсе факультета «Высший Физический Колледж» Московского инженерно-физического института (государственного университета), а также на основе практических занятий по компьютерному моделированию в среде MATLAB.
Материал пособия основан на дисциплинах, читаемых студентам физико-математических специальностей: численных методах, уравнениях математической физики, квантовой механике, теории вероятностей, статистической физике и термодинамике. Некоторые разделы требуют элементарных представлений о физике твердого тела и физике сверхпроводимости. Материал этих дисциплин подробно изложен в источниках, отмеченных как основная литература в списке литературы в конце книги.
Пособие организовано следующим образом. Сначала формулируется матричный вариант основной задачи – уравнение Шредингера для квантовой системы, рассматриваются математические аспекты задачи на собственные значения, приводятся необходимые сведения из курсов теории вероятностей, вычислительной математики; подчеркнем, что все математические аспекты численных расчетов затрагиваются только по мере необходимости, так как главная цель курса – дать физические основы численного моделирования реальных систем. Затем исследуется одночастичная задача, вводится понятие базиса, приводятся примеры различных представлений. Далее описываются основные типы квантовых статистик – статистика Ферми, Бозе и спиновая, формулируется представление о вторичном квантовании как эффективном аппарате для решения многочастичных квантовых задач, рассматривается метод точной диагонализации гамильтоновой матрицы, исследуются конкретные примеры одномерных узельных цепочек с различной статистикой. Затем вводится понятие о температуре, рассматривается термодинамика кластерных систем, разбираются методы численного решения таких систем. Далее описываются основные принципы моделирования методом Монте-Карло, обсуждаются проблемы оценки погрешности и автокорреляционного времени. На
7
примере модели Изинга исследуется фазовый переход второго рода "парамагнетик – ферромагнетик"; в модели решеточного газа методом Монте-Карло исследуется фазовый переход первого рода "жидкость – газ"; показаны особенности моделирования вихревой решетки в высокотемпературных сверхпроводниках; в заключительной части дано представление о диаграммных методах Монте-Карло. При изучении книги читатель знакомится с наиболее известными моделями сильнокоррелированных систем: моделью Хаббарда, моделью Бозе – Хаббарда, спиновыми моделями и т.д., а также с известными аналитическими результатами для этих моделей.
Авторы полагают, что представленное пособие будет полезно студентам старших курсов физико-математических специальностей университетов, аспирантам и молодым исследователям, изучающим физику сильнокоррелированных мезоскопических систем и интересующихся новой динамично развивающейся областью современной физики конденсированного состояния – численным моделированием реальных физических систем.
8
Введение
Интересы современной физики конденсированного состояния в настоящее время сконцентрированы на сложных мезоскопических системах и сильнокоррелированных структурах, таких как наноструктуры (квантовые ямы, квантовые точки), высокотемпературные сверхпроводники, сверхтекучий гелий, двумерная электронная жидкость в условиях квантового эффекта Холла в сильном магнитном поле, бозе-газ атомарных щелочных металлов в магнито-оптических ловушках, различные спиновые системы (наномагниты, спиновые лестницы, цепочки) и т.д. Все эти системы отличаются сильным взаимодействием и практически полным отсутствием аналитического описания. Постановка экспериментов для исследования этих систем также, как правило, чрезвычайно сложна и дорогостояща, поэтому на первый план выходит численное моделирование таких объектов. Необходимость численных расчетов, обусловленная невозможностью в большинстве случаев получения аналитических ответов, в свою очередь, стимулировала прогресс современных квантовых вычислительных методов, таких как метод точной диагонализации гамильтоновой матрицы, классические и квантовые методы МонтеКарло. Эти методы позволяют получать качественные и количественные характеристики сложных физических систем, предсказывать новые эффекты, что часто недостижимо в рамках аналитических подходов из-за отсутствия параметров разложения.
Целью настоящего пособия является ознакомление студентов с современными методами компьютерного моделирования реальных квантовых систем, интенсивно изучаемых в физике конденсированного состояния: высокотемпературных сверхпроводников, сверхтекучего гелия и бозе-газа в оптикомагнитных ловушках, различных наноструктур (квантовых ям и точек), спиновых кластеров как элементов квантовых компьютеров, двумерных электронов в условиях квантового эффекта Холла и т.д.
В пособии рассматриваются основные численные методы квантового моделирования: метод точной диагонализации и метод Монте-Карло. Объясняются способы выбора адекватного дискретного базиса волновых функций, нахождения спектра и
9
различных корреляционных функций систем, описываемых основными типами квантовых статистик – статистиками Ферми, Бозе и спиновой. Исследуются проблемы численного анализа температурных и термодинамических характеристик различных систем; проводится знакомство с современными моделями физики коррелированных состояний: моделями Хаббарда, Бозе – Хаббарда, спиновыми моделями.
10