МИФИ Фракталы и фундфизика

функция распределения случайного вектора .

Определение П4.3. Случайный вектор n Rn имеет n -мерное гауссовское распределение с параметрами , R , если его ха-

рактеристическая функция имеет следующий вид:

x Rn , определяемую по следующей формуле:

3. Пусть n – последовательность гауссовских случайных век-

с.к.

торов. Если имеется среднеквадратичная сходимость n при

причем указанные пределы существуют и конечны.

418

4. Если n – последовательность гауссовских случайных век-

Важно отметить, что в общем случае данное утверждение не верно.

5. Теорема П4.1 (о нормальной корреляции). Пусть вектор

Замечание. Данная теорема дает явный вид среднеквадратич-

ной оптимальной оценки для по наблюдениям в

гауссовском случае. Важно отметить, что линейно зависит от . 6. Если , , составляют гауссовский вектор, причем и

некоррелированы, то , .

*

7. Если компоненты вектора 1, , n – гауссовские и не-

зависимые в совокупности, то является гауссовским случайным вектором.

Пример П4.1.

419

2

причем квадратичная форма Q t1,t2 cijtitj , c12 c21 неотрица-

i, j 1

тельна, то есть Q t1,t2 0 при любых действительных t1,t2 . Если ранг квадратичной формы Q t1,t2 равен двум, то есть детерми-

нант матрицы C cij , i, j 1,2 отличен от нуля, то двумерное нормальное распределение называется невырожденным или собственным. Если ранг квадратичной формы Q t1,t2 равен нулю или

единице, то двумерное нормальное распределение называется вырожденным или несобственным.

420

Необходимо отметить, что плотность вероятности невырожденного нормального распределения сохраняет постоянное значение на эллипсах

называемых эллипсами равных вероятностей, причем вероятность попадания случайного вектора 1, 2 внутрь такого эллипса равна P элл. 1 exp .

Если двумерное нормальное распределение вырождено, то в случае, когда ранг квадратичной формы Q t1,t2 равен нулю, оно сосредоточено в точке m m1,m2 , то есть P m 1. Если

ранг данной квадратичной формы равен единице, то двумерное нормальное распределение сосредоточено на прямой, определяемой собственным вектором матрицы C, который соответствует ее ненулевому собственному значению [343].

Одно из основных направлений исследований в теории вероятностей составляют так называемые предельные теоремы. «Предельные теоремы» – это общее название обширной группы теорем. Важно отметить, что именно предельные теоремы несут в себе большую часть практической значимости теории вероятностей.

k kk 1n .

Теорема П4.2 (центральная предельная теорема). Последова-

тельность случайных величин n n 1 , определенных выше, схо-

дится по распределению к стандартной гауссовской случайной ве-

421

личине , то есть P n x x при n равномерно по x R1.

Замечание. Любая последовательность случайных величин, слабо сходящаяся к некоторой гауссовской случайной величине, называется асимптотически нормальной. Центральная предельная теорема устанавливает свойство асимптотической нормальности для последовательности центрированных и нормированных сумм произвольных независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечные дисперсии [344].

В частности, одну из категорий предельных теорем для марковских процессов составляют те предельные теоремы, которые являются прямыми обобщениями соответствующих предельных теорем для независимых случайных величин.

Нормальное распределение встречается в очень большом числе приложений. Теоретическое обоснование исключительное роли нормального распределения дают предельные теоремы теории вероятностей. На качественном уровне соответствующий результат может быть объяснен следующим образом: нормальное распределение служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайный величин, максимальная из которых мала по сравнению с данной суммой.

Приложение 5

Теоремы Хинчина и Леви

Пусть X t является случайной величиной, X 0 0, задано

положительное число t и приведенная случайная величина

t X t t ,

распределенная по приведенному нормальному закону, имеет очень малую вероятность принять очень большое или очень малое значение.

Однако при изменении t происходит своего рода повторение эксперимента, и случайная функция t , как известно, будет поч-

ти наверное иметь бесконечную последовательность нулей. Сход-

422

ным образом могут реализоваться и очень большие значения величины , поэтому нет основания ожидать, что функция t будет

ограничена сверху.

В связи с этим возникает важная проблема определения верхней функции для траектории процесса, то есть такой функции от параметра t, которая при t была бы почти достоверной верхней

гранью траектории t . Данная проблема была решена в 1924 г.

Хинчином [345], и результат, получивший название «закон повторного логарифма», сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема П5.1 (Хинчин). При c 1 почти наверное существует

Другими словами, справедливо следующее равенство:

Доказательство. Положим tn qn , q 1, n 0,1,2, и

Mn max X t .

t t0

Для x 0 согласно формуле

x

P M x x 2 exp 2 2t d (П5.4)

0

можно получить следующее соотношение:

Следовательно, справедливо следующее неравенство:

423

дится. Согласно лемме Бореля – Кантелли в данном случае почти

от друга, что позволяет использовать лемму Бореля для изучения

424

ном расходящегося ряда и, согласно лемме Бореля, для бесконеч-

что и требовалось доказать. Формула (П5.7) применима также и

X t 2t log logt c'log log logt .

Данная теорема доказывается аналогично предыдущей. Разница состоит в том, что в первой части теоремы последовательность чи-

сел tn qn следует заменить последовательностью, растущей медленнее, например, выбрать logtn nlogn . Для доказательства

425

второй части, напротив, необходима последовательность, растущая быстрее, чем в доказательстве теоремы Хинчина, например,

tn n! или logtn n log log n .

Приложение 6

Уравнение Ланжевена

Уравнение Ланжевена получено П. Ланжевеном в 1908 г. в теории броуновского движения, его используют для описания случайного воздействия на различные динамические системы, в кинетике фазовых переходов и др. С физической точки зрения справедливо следующее определение [346].

Определение П6.1. Уравнение Ланжевена – это уравнение движения макроскопического тела, взаимодействующего с частицами термостата, влияние которых учитывается при помощи согласованного включения в уравнение силы трения и случайной внешней силы.

Если без учета взаимодействия с термостатом уравнение движения имеет вид:

d 2r

m U r,t 0, dt2

где m – масса частицы, U – потенциальная энергия, то соответствующее уравнение Ланжевена принимает форму

а F t – случайная сила. Последняя обусловлена одновременным

воздействием на тело большого числа частиц термостата, поэтому с большой точностью ее можно считать нормально распределенной. Среднее значение силы равно нулю, а корреляционная функция

корреляции k внешней силы, совпадающее по порядку величины со временем одного соударения, k mh, то во всех соотношени-

426

ях, содержащих лишь интеграл от корреляционной функции, ее можно считать пропорциональной -функции: ij 2 ij .

Величина связана с коэффициентом трения , так как и трение и внешняя сила обусловлены взаимодействием тела с термостатом. Эту связь легче всего установить для свободного движения, U 0, тогда при t m имеют место соотношения1:

v2 t 3 m , r2 t 6 t 2 .

Из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы следует, что v2 t 3kTm, здесь T – абсолютная температура,

откуда kT .

Это соотношение между интенсивностью случайной силы и коэффициентом трения является частным случаем флуктуационно-

диссипативной теоремы. Формула для r2 t соответствует зако-

ну диффузии r2 t 6Kd t, откуда получаются связь Kd 2

между , и коэффициентом диффузии Kd , а также соотношение Эйнштейна Kd kT между коэффициентом трения и коэффициентом диффузии.

Приложение 7

Интегральные преобразования

Определение П7.1. Интегральным преобразованием в общем случае называется линейное взаимнооднозначное отображение U множества распределений (или соответствующих им функций

распределений F или плотностей p , заданных на некотором пространстве Rn ) в множество функций ,U : , при-

чем элемент множества является функцией n комплексных пе-

ременных z z1, zn Cn и имеет следующий вид:

1 Необходимо отметить, что в данном случае, в отличие от гл. 5, рассматривается уравнение Ланжевена в прострастве трех измерений.

427