МИФИ Фракталы и фундфизика

источника – области однородности, соответствующие локальному распределению плотности для частиц, имеющих данный импульс k, и чувствительны только к линейным масштабам данных областей, так называемым длинам однородности. Для того чтобы восстановить полную картину распределения плотности для всех частиц, необходимо выполнить комбинированный анализ одночастичных спектров и двухчастичных корреляционных функций [246, 309, 324]. Для такого типа расширяющихся источников параметры радиусов, как известно, уменьшаются с увеличением (поперечной) массы частиц [246, 273]. Это подразумевает, что чувствительность корреляций с тремя частицами к параметрам формы распределения источника увеличивается при использовании более тяжелых каонов вместо пионов. Данное утверждение следует из оценки (8.28) при использовании уменьшенного параметра радиуса.

Явные выражения для кумулянтной корреляционной функции и обобщения гауссовой параметризации на случай частично когерентных источников приведены в [320]. В рамках многомерного анализа двух- и трехчастичных корреляций они позволяют разделить определение размеров областей однородности, соответствующих хаотической и когерентной компоненте источника, а также оценить расстояние между их центрами.

Таким образом, представленное выше рассмотрение демонстрирует, что трехчастичные корреляции содержат важную дополнительную информацию, которая не доступна при изучении двухчастичных корреляций. Однако на практике извлечение данной информации оказывается достаточно трудоемким процессом. Результаты экспериментального исследования трехчастичных корреляций в столкновениях релятивистских тяжелых ионов на RHIC представлены в [325].

§11. Устойчивые распределения: сравнение

сэкспериментальными данными

Вкачестве примера использования одномерных устойчивых распределений для описания корреляционной функции в области фемтоскопии рассматривается анализ, выполненный в [300]. В данном случае проводится сравнение корреляционной функции, полученной в рамках гипотезы устойчивого распределения источника, и

398

экспериментальных данных высокой точности, полученных для двухчастичных функций для короткодействующих корреляций в экспериментах CERN NA22 [326] и UA1 [327].

Необходимо подчеркнуть, что в данном параграфе не делается попытка восстановить детальную пространственно-временную структуру процесса эмиссии частиц, или интерпретировать результат в терминах физического процесса, который может привести к возникновению устойчивого распределения Леви. Сравнение данного класса распределений с реальными корреляционными функциями рассматривается здесь как тест состоятельности и применимости описанного выше общего метода в качестве инструмента для количественного анализа двухчастичной корреляционной функции в физике высоких энергий.

Параметры для лучшей аппроксимации экспериментальных данных одномерным устойчивым по Леви распределением представлены в табл. 8.1. Графически результаты фитирования представлены на рис. 8.6.

Таблица 8.1. Результаты аппроксимации данных UA1 и NA22 устойчивым по Леви распределением [170]

Из рис. 8.6 видно, что аппроксимации, соответствующие распределениям Леви, существенно лучше описывают экспериментальные данные, чем даже лучшие экспоненциальные фиты той же самой экспериментальной зависимости (здесь даже не приводится гауссова аппроксимация, которая абсолютно не описывает быстро растущий пик в области точки Qinv 0 ). Таким образом, бозе-

1 Уровень статистической достоверности результата.

399

эйнштейновские двухчастичные корреляционные функции в случае устойчивых по Леви распределений лучше всего описываются растянутыми экспоненциальными аппроксимациями.

Рис. 8.6. Функции D2s , пропорциональные двухчастичным корреляционным функ-

циям для короткодействующих корреляций, измеренных в экспериментах UA1 (а) и NA22 (б) в CERN. Сплошными линиями показаны аппроксимации вытянутыми экспонентами (соответствуют распределениям Леви), которые способны описать экспериментальные данные при приемлемых значениях 2 ст.св. Штриховые

линии – экспоненциальные фиты [170]

Качество аппроксимаций с помощью распределения Леви аналогично качеству описания, полученному с помощью разложений по полиномам Лаггера. Однако преимущество устойчивых законов Леви и соответствующих фитов заключается в том, что они связывают показатель со степенным поведением «хвоста» флуктуаций плотности в распределениях элементарных частиц в большом координатном пространстве. Необходимо отметить, что возможна интерпретации данных результатов в терминах КХД-каскада.

Следующие утверждения могут быть сделаны без какой-либо ссылки на динамическую модель.

400

Оба рассматриваемых набора данных могут быть описаны фитами, соответствующими устойчивым по Леви распределениями с статистически приемлемым качеством. В случае данных эксперимента NA22, уровень достоверности аппроксимации составляет приблизительно 80%, даже когда один из параметров фита является фиксированным и имеет значение, полученное методом разложения по полиномам Лаггера [269]. Оставляя данный параметр свободным, в анализе, выполненном в [300], был найден вырожденный минимум параметра 2 ст.св. и уровень достоверности оказывался еще выше. В случае данных эксперимента UA1 уровень достоверности является достаточно низким и составляет только 6%.

В случае массива данных NA22 значение параметра , определенное фитированием, в пределах ошибок близко к максимально допустимому значению 1, которое является теоретическим верхним пределом в рамках подхода «ядро-гало». Такой верхний предел нарушается при аппроксимации данных UA1. Это может служить указанием, что в данных UA1 присутствует вклад некоторых типов короткодействующих корреляций, не относящихся к изучаемому бозе-эйнштейновскому типу. Однако фит данных UA1 с помощью устойчивого по Леви распределения оказывается все еще возможным при фиксированном 1, но только с малым уровнем достоверности, равным приблизительно 1%. Фиксируя значение нормировочного множителя, равным полученному с помощью разложения по полиномам Лаггера для той же самой функции, [269], видим, что аппроксимация с помощью устойчивого по Леви распределения оказывается возможна только с очень малым (0,1%) уровнем достоверности. Во всех вышеупомянутых случаях значение остается существенно ниже единицы.

При фиксировании 1 (экспоненциальный фит) уровень достоверности для данных NA22 уменьшается с 80% до 24%, в случае данных UA1 – с 6% до 10 8. Фиксируя 2 (фит гауссианом), удается получить уровень достоверности лучшей аппроксимации для данных NA22 на уровне 10 8 , в то время как данный уровень становится по существу нулевым в случае набора данных UA1.

Таким образом, видно, что аппроксимации, соответствующие устойчивым по Леви распределениям (или «растянутой» экспонен-

401

те), разумно описывают данные экспериментов NA22 и UA1 для короткодействующих корреляций вторичных частиц в физике высоких энергий. Причем обнаружено, что индекс стабильности устойчивого распределения значительно меньшим двух. Это означает, что отклонение от гауссового поведения в данном случае может быть определено количественно и охарактеризовано представленным выше методом.

§12. Некоторые выводы

В настоящее время фемтоскопия превратилась в отдельную бурно развивающуюся область физики фундаментальных взаимодействий. Экспериментальное определение пространственно-вре- менных параметров источника существенно для понимания динамики взаимодействий, ответственных, в частности, за существование и свойства атомных ядер. Более того, образование и экспериментальное исследование нового экстремального состояния сильновзаимодействующей материи достижимо на существующих ускорительных комплексах. Свойства действительно нового состояния материи тесно связаны с его пространственно-временными характеристиками. Некоторые следствия СМ, которые не могут быть проверены непосредственно, должны проявляться в фемтоскопических корреляциях. Один из наиболее актуальных тестов СМ, связанный с многочисленными поисками хиггс-бозонов, подвержен влиянию корреляций данного типа. Как было указано выше, двухчастичные корреляции могут быть полезны для решения некоторых фундаментальных проблем КХД.

Поскольку устойчивые по Леви распределения удовлетворяют обобщенной центральной предельной теореме, они могут возникать естественным образом в случае физики высоких энергий и элементарных частиц, где, как известно, присутствуют самоподобные ветвящиеся процессы при больших масштабах передачи импульса, самоподобный процесс фрагментации струн описывает, как ожидается, распределения адронов первого поколения, и где распределение широкого спектра различных резонансов может также демонстрировать примерно степенное поведение как функция времени жизни резонанса. Ожидается, что подобные процессы будут существовать также и в столкновениях тяжелых ионов при высоких

402

энергиях, где дополнительные флуктуации адронной или кваркглюонной материи могут также изменить спектр этих флуктуаций.

Аддитивные стохастические процессы могут определять распределение пространственно-временной плотности образования вторичных частиц в реакциях с участием частиц или тяжелых ионов при высоких энергиях. В этом случае, если обобщенная центральная предельная теорема применима, то распределение вероятности эмиссии частиц соответствует (одномерным или многомерным) устойчивым распределениям.

Хотя характеристика устойчивых распределений Леви не является простой, к настоящему времени эти распределения доступны как в численной, так и аналитической форме. Самая важная особенность распределений данного класса состоит в том, что фурьеобраз функции эмиссии имеет в общем случае неаналитическую структуру в области исчезающее малых импульсов. Вследствие данной причины, двухчастичная корреляционная функция характеризуются функцией с дополнительным параметром – индексом стабильности 0 2. Аналитическое поведение и гауссово предельное распределение соответствуют только специальному случаю 2, то есть единственной точке из несчетного множества возможностей в пространстве параметров распределений Леви. Таким образом, в общем случае нет никаких фундаментальных оснований полагать, что фемтоскопическая корреляционная функция для двух частиц должна вести себя как (многомерная) гауссова форма.

Контрольные вопросы

1.Приведите схемы и поясните основные различия интерференционных экспериментов в астрономии и в физике фундаментальных взаимодействий.

2.Дайте определение двухчастичной корреляционной функции

вобласти фемтоскопии.

3.Получите выражение (8.4) и укажите необходимые для этого дополнительные условия.

4.Дайте определение трехчастичной корреляционной функции в области фемтоскопии.

403

Рекомендуемая литература

8.1.Weiner R.M. Introduction to Bose-Einstein correlations and

subatomic interferometry. Chichester and New York: John Wiley & Sons Ltd., 2000.

8.21. Lisa M. Femtoscopy in heavy ion collisions: wherefore, whence, and whither? Eur. Phys. J. C49, 65 (2007).

8.3.Подгорецкий М.И. Интерференционные корреляции тождественных пионов. Теория. ЭЧАЯ. 1989. Т.20. С.628.

1 Данный обзор полез для более углубленного изучения методов фемтоскопии и знакомства с современными экспериментальными результатами в релятивистской ядерной физике.

404

s Q2 MZ2 0,113 0,003 эксп. 0,004 теор.

является одним из самых точных, дающих определяющий вклад в мировое среднее значение s . Измерения структурных функций с доминирующим вкладом члена, соответствующего синглету по ти-

пам кварков, таких как функция F2 x,Q2 дают в результате кор-

релированные измерения параметра s и глюонной структурной функции. Таким образом, использованная в анализе КХД - аппроксимация дала возможность оценить глюонное распределение в нуклоне на основе соответствующей формулы из (1.32). Поскольку глюонное распределение имеет острый пик при малых x, полученная оценка в настоящее время требует уточнения путем аппроксимации по более поздним данным1 с большим охватом кинематического диапазона [26].

Полная аппроксимация в рамках следующего за лидирующим порядке ТВ КХД для данных, полученных на SLAC [333] и HERA [334], в экспериментах BCDMS [329, 335], E665 [336], была выпол-

нена в [337]. Было получено значение s Q2 M Z2 0,116. Вы-

числения в следующем за NLO (NNLO) порядке дали значение

s Q2 M Z2 0,1172 0,0017 эксп. 0,0017 сист. .

Вданном случае экспериментальная погрешность включает комбинацию статистических и систематических ошибок, вторая погрешность – ошибки, обусловленные неопределенностями вследствие масс кварков, вклада «высших твистов», глюонного распределения и поправок на массу мишени. Полученное значение совпада-

ет как с более ранним измерением s , приведенном выше, так и с расчетом в NLO ТВ КХД, что, в свою очередь, указывает на стабильность теоретических результатов.

Важно отметить, что структурные функции с доминирующим вкладом несинглетного члена предоставляют принципиальную возможность наиболее точного способа определения s и проверки

КХД, поскольку для них Q2 -эволюция не зависит от глюонного

1 Значительный вклад в базу экспериментальных данных в данной области внесли эксперименты на RHIC.

406

распределения, не измеряемого экспериментально. В [338, 339] была выполнена аппроксимация экспериментальных данных зависимостью следующего вида:

где вклад «высших твистов» оценен HT 0,090 0,045 Q2 [338,

340], в [341] величина данного вклада была еще меньше. Комбинируя данные различных экспериментов, было получено значение константы сильного взаимодействия при очень малых (для КХД) значениях переданного импульса [330]:

s Q2 3 0,280 0,035 эксп. 0,050 сист. 0,0350,030 теор. . Определяющий вклад в теоретическую погрешность вносит ошибка, обусловленная «высшими твистами»1. Если использовать результаты для «высших твистов» из [341], то значение s увеличится до 0,31, что совпадает с результатами аппроксимации в [342]. Экстраполяция полученного значения позволяет получить разум-

ную оценку s Q2 M Z2 0,118 0,011.

Приложение 2

Интегрирование дробных порядков

Вприведенных ниже таблицах представлены некоторые основные результаты вычисления интегралов (то есть действия оператора Римана – Лиувилля) произвольных, в том числе и дробных, порядков для некоторых часто встречающихся функций.

Втабл. П2.1 используются стандартные обозначения специальных функций. В табл. П2.2 представлены интегралы произвольных порядков для функций, определенные, в отличие от предыдущей

таблицы, на пространстве R1, т.е. на прямой.

В табл. П2.3 представлены результаты действия правостороннего оператора I на некоторые часто встречающиеся функции.

1 Для указанного результата предполагалось значение HT 0,05 0,05.

407