МИФИ Фракталы и фундфизика

стами» могут подчиняться оЦПТ, которая, по существу, означает, что эти распределения плотности, в пределе большого количества независимых источников, имеют тенденцию принимать вид устойчивых по Леви распределений с индексом стабильности 2.

Устойчивые по Леви распределения многих переменных1 имеют основные свойства, присущие также и распределениям одной переменной; изучение распределений данного типа даже в настоящее время составляет отдельную и передовую область исследований в теории вероятностей и математической статистике [179]. Примеры плотностей двумерных устойчивых распределений и соответствующих линий уровня при различных значениях показателя устойчивости представлены на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Плотности двумерных устойчивых распределений и соответствующие картины линий уровня при 0,9 – (а) и при 1,6 – (б)

1 В литературе встречается термин «многомерные распределения, устойчивые по Леви».

278

1.5. Свойство подобия

Для взаимно независимых случайных величин X , X1 и X 2 с одним и тем же распределением при любых положительных коэффициентах s и t доказано следующее важное свойство подобия:

d

Здесь знак означает принадлежность рассматриваемых распределений к общему классу, то есть к классу устойчивых по Леви распределений. Для нормального распределения 2 и формула (6.5) сводится к закону сложения дисперсий. Устойчивые распределения с характеристическим показателем имеют моменты всех порядков, меньших .

Диффузионный процесс с независимыми приращениями, распределения которых устойчивы по Леви с показателем 2, называют «полетом Леви» [180 – 182].

Измерения траектории за конечный интервал времени при бесконечной дисперсии смещения случайной величины могут дать определенный результат, но этот результат может быть любым и не характеризует процесс. Аналогом является сумма расходящегося ряда при перестановке его членов [183]. В данных обстоятельствах исключительно важную роль играют измерения фрактальных размерностей. Траекторию «полета Леви» можно представить набором точек поворота с прямолинейными скачками между ними. В двумерном фазовом пространстве для диффузионного процесса, обладающего свойством подобия (6.5), множество точек поворота при2 является фрактальным, то есть размерность данного множества является фрактальной. При 2 получается (классический) броуновский процесс.

Моделирование распределенных по Леви случайных величин может приводить и к процессам аномальной диффузии с конечной дисперсией приращений.

Пусть процесс образован скачками, величина которых распределена по Леви. Эти перемещения происходят за время, пропорциональное величине скачка. Тогда дисперсия приращений за известный интервал времени конечна, а фрактальным объектом в данном случае является множество временных точек разрыва про-

279

изводной этого процесса. Таким образом, в рассматриваемом случае получается процесс с фрактальным временем [181, 182], называемый супердиффузионным процессом. Важно отметить, что для данного процесса показатель H может превышать единицу. Примером процесса такого типа в природе является, в частности, поперечное смещение волнового пучка в неоднородной среде [184].

Вопросы, связанные с устойчивыми распределениями в процессах диффузии, рассматриваются ниже.

§2. Аномальная диффузия

В настоящее время достаточно широко обсуждается возможность обобщения стандартного уравнения диффузии [185 – 193], имеющего следующий вид:

и задачи диффузии в самых различных системах в применении к аномальным процессам. Моделирование таких систем и процессов часто выполняется с помощью фракталов. В результате наличия скейлинговых свойств в этом случае начинают проявляться эффекты памяти, и обычные операторы дифференцирования заменяются соответствующими операторами дробного порядка. Замена t на

t , 1, ассоциируется в [185 – 188] с влиянием распростра-

нения в среде ловушек с бесконечным средним значением времени пребывания частиц в них, а введение лапласиана дробного порядка2 – с аномально широким распределением свободных пробегов частиц. В режиме аномальной диффузии, называемом субдиффузией, диффузионный пакет t t , то есть ширина плотности распре-

диффузии 12 . Впервые уравнение с лапласианом дробного порядка 13 было рассмотрено при описании диффузии в турбулентной среде в [194, 195].

280

В силу важности ниже подробнее рассматривается решение уравнения супердиффузии с лапласианом дробного порядка 2 в N -мерном пространстве [196]. Определим дробную производную Рисса через лапласиан [81] и, воспользовавшись оператором

2

(2.32), запишем уравнение супердиффузии в следующем

виде:

Для N -мерного пространства с векторами x, k , со скалярным про-

(2.32) остается в силе. Дробный лапласиан записывается в виде гиперсингулярного интеграла

мировочный множитель.

§3. Супердиффузия и строго устойчивые распределения

В [196] супердиффузию описывают в рамках обобщения винеровского процесса. Для этого записывается уравнение Колмогорова

– Чепмена для стационарного марковского процесса с независимыми приращениями

и рассматривается класс автомодельных решений

281

После применения преобразования Фурье к (6.8) и (6.9) и учета сферически-симметричных распределений g k из [126] можно

получить следующие выражения:

Фурье-образ выражений (6.10) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

которое, согласно N -мерному аналогу (2.32), в результате обратного преобразования Фурье приводит к следующему уравнению для плотности вероятности:

обобщающему (6.7) на N -мерный случай. Для одномерного про-

2

странства оператор переходит в производную Маршо

(2.39). Данный процесс относится к процессам Леви, и при 2 он представляет собой винеровский процесс.

Согласно (6.10), решения обобщенного уравнения супердиффузии (6.11) принадлежат к классу строго устойчивых N -мерных распределений [167, 197] и составляют подмножество сферическисимметричных распределений этого1 класса, в число которых входит и многомерное нормальное распределение, возникающее в частном случае 2. Важной особенностью устойчивых распределений, отличных от гауссова, является то, что их абсолютные мо-

1 Имеется в виду указанный выше класс строго устойчивых многомерных распределений.

282

менты x g x x dx бесконечны при . Поэтому для

характеристики ширины диффузионного пакета удобно использовать радиус шара Rp t , содержащего фиксированную вероят-

ность:

После подстановки соотношения (6.9) можно получить Rp t t 2

при t .

§4. Кинетические уравнения

При 2 получается нормальная скорость распределения диффузионного пакета; для 2 ширина пакета растет быстрее, чем в нормальном режиме. При 1 ширина диффузионного пакета растет быстрее, чем в баллистическом режиме. Данный результат обусловлен автомодельностью процесса Леви, в котором нет места понятию скорости свободного пробега частицы. Избавиться от этого свойства и, соответственно, получить возможность введения понятия «скорость свободного пробега частицы» можно переходом от винеровской модели к модели случайного блуждания частицы с конечной скоростью свободного движения .

Пусть в начальный момент времени t 0 частица находится в начале координат – точке x0 0 – и пребывает там случайное вре-

мя 0 , затем перемещается на случайный вектор 1 со скоростью

случайное время 1, и так далее. Будем считать, что переменные

0 , 1, 1, 2 , 2 , взаимно независимы, интервалы времени i

имеют одинаковую плотность вероятности вида q t e t , 0,

N -мерные векторы i также распределены одинаково. Вместо одной частицы в данном случае рассматривается множество независимых траекторий, x,t – плотность числа частиц.

283

Представляя плотность частиц x,t как сумму двух состав-

ляющих, относящихся к частицам в состоянии покоя (ловушки)

x,t и движения x,t , можно получить следующие кинети-

0

ческие уравнения:

чала координат, испытает первое столкновение в элементе объема dx dSd x ; P x dS – вероятность того, что частица пересечет элементарную площадку dS сферы радиуса x без взаимодействия

на пути длиной x . Система уравнений (6.12) при показательном

распределении пробега частиц в трехмерном пространстве описывает нестационарный перенос нейтронов с учетом запаздывания. При 0 рассматриваемая система переходит в нестационарное односкоростное кинетическое уравнение с изотропным рассеянием, используемое в нейтронной физике [198, 199].

4.1. Бесконечная скорость частицы

В предельном случае бесконечной скорости частицы

можно получить x,t 0 x,t и плотность частиц будет удов-

летворять уравнению Колмогорова

для обобщенного пуассоновского процесса [165].

Из (6.13) следует уравнение для характеристической функцииk ,t распределения

284

p x . Асимптотика решения уравнения Колмогорова совпадает с

точным решением уравнения супердиффузии. Таким образом, уравнение супердиффузии (6.11) описывает асимптотическое поведение плотности распределения частицы, совершающей блуждания с бесконечной скоростью в среде с ловушками, время пребывания в которых распределено по показательному закону, а плотность распределения скачков частиц имеет степенной «хвост» вида r 1.

4.2. Конечная скорость частицы

Физически более реалистичным является случай конечной скорости блуждания частицы. Для учета влияния конечной скорости свободного движения блуждающей частицы на асимптотику распределения величины x,t в [196] полагается, что векторной

сти свободного движения блуждающей частицы v

285

Физически это означает, что наличие конечной скорости свободного движения замедляет процесс расширения диффузионного пакета по сравнению с предельным случаем .

Переписывая (6.14) с учетом Kd 1 1 Kd в виде

можно для асимптотической плотности частицы, диффундирующей с конечной скоростью свободного движения, записать следующее уравнение в дробных производных:

s x,t Kd 2 s x,t .

t

В результате получено, что учет влияния конечной скорости свободного движения при 1 сводится лишь к уменьшению коэффициента диффузии в уравнении с дробным лапласианом, при этом форма распределения остается устойчивой. При 1 ситуация меняется качественно. Как было указано выше, ширина или радиус диффузионного пакета растет со временем пропорционально t1 . При конечной скорости свободного движения плотность распределения вне шара радиуса R t обращается в нуль. Но при1 распределение, задаваемое (6.11), расплывается быстрее, чем R t и, таким образом, кинематическое ограничение становится преобладающим фактором в формировании асимптотического распределения. Данное распределение, ограниченное сферой радиуса R t, имеет совершенно иной вид, чем устойчивое распределение.

Представленные в [196] результаты моделирования методом Монте–Карло одномерного блуждания частицы в сопоставлении с решениями уравнения для супердиффузии подтверждают эти выводы: при 1 решения супердиффузионного и кинетического уравнений имеют совершенно разные асимптотики. Вероятно, это может служить основанием для заключения о неприменимости уравнения супердиффузии (6.11) с лапласианом дробного порядка2 при 1 к описанию реальных физических процессов.

286

§5. Функция Фокса и процессы во фрактальных средах

Применение аппарата функции Фокса [165, 200 – 202] при рассмотрении процессов релаксации и диффузии в средах с фрактальной размерностью, характеризуемых уравнениями типа уравнения диффузии с производными дробных порядков по пространственным координатам и времени, ниже продемонстрировано на основе результатов [203 – 205]. Для потока частиц j в случае фрактальной среды, в отличие от стандартного уравнения диффузии (6.6), когда справедливо j t и j 2 x2 , вследствие самоподобия на-

рушается локальность указанных связей. Величина потока начинает зависеть от предыстории процесса, то есть от значений концентраций частиц в более ранние, по отношению к рассматриваемому, моменты времени:

Таким образом, процессы диффузии и релаксации становятся недебаевскими.

В (6.15) ядро K t, включает фрактальную размерность DF

рассматриваемой среды и в стационарном режиме зависит от разности аргументов. Одновременно, K t, при замене фрактальной

среды на обычную должно удовлетворять стандартному уравнению диффузии. Для стационарного режима простейшим вариантом ядра, удовлетворяющего указанным условиям, является степенная

функция K t t DF с показателем, зависящим от фрак-

тальной размерности пространства диффузии DF . В данном случае правая часть (6.15) совпадает по структуре с определением дробной производной Римана – Лиувилля (2.26) порядка 0 1, то есть

сложности и запутанности траекторий движения частиц, производная по пространственной координате (градиент) становится фрактальной и j x,t 2 x,t x2 . Уравнения недебаевской диф-

фузии и релаксации примут, соответственно, следующий вид [189 – 192, 203 – 205]:

287