GR_2025_problems_full

ОТО задачи (осень 2025)

1.Показать, что закон преобразования метрического тензора относительно произвольных преобразований координат следует из инвариантности интервала ds2.

2.Запишите закон преобразования тензора произвольного ранга.

3.Показать, что из δAi = −ΓikjAkdxj следует δAi = ΓkijAkdxj.

4.Показать, что закон преобразования символов Кристоффеля имеет вид

9.Вычислить символы Кристоффеля в двумерном евклидовом пространстве в полярных координатах.

10.Вычислить скаляр Риччи в двумерном евклидовом пространстве в полярных координатах.

11.Вычислить символы Кристоффеля, тензор Риччи и скаляр Риччи пространства

12.Показать, что метрика 2-сферы и 2-гиперболоида может быть единым образом записана в форме

Объясните смысл координат. Вычислите символы Кристоффеля, тензор Риччи и скаляр Риччи для этого пространства.

1

13.Показать, что метрика 3-сферы и 3-гиперболоида может быть единым образом записана в форме

Объясните смысл координат. Вычислите символы Кристоффеля, тензор Риччи

и скаляр Риччи для этого пространства.

14.Убедиться в том, что 3-сфера и 3-гиперболоид являются изотропными и однородными пространствами.

15.Показать, что тензор Римана 3-сферы и 3-гиперболоида может быть записан в виде

по координатам частицы xµ(τ) → xµ(τ) + δxµ(τ), получите уравнения движения (геодезической) δS/δxµ = 0.

18. Показать, что

19.Показать, что величина d4x√−g определяет инвариантный элемент 4-объема.

20.Показать, что

где [ µ, ν] = µ ν − ν µ — коммутатор ковариантных производных.

2

29.Определить число независимых компонент тензора Римана для D-мерного пространства

30.Проверить, что при малом изменении системы координат x′µ = xµ + εµ(x), связь между метрическим тензором в новых и старых координатах в одной и той же точке пространства x может быть записана в виде

31. Найти в метрике Минковского ТЭИ Tµν скалярного поля с действием

Выпишите компоненты T00 и Tij. Варьируя действие по ϕ, получить уравнения движения δS/δϕ = 0 и убедиться в том, что выполняется ∂µT µν = 0.

32.Обобщить результаты предыдущей задачи для произвольной метрики gµν. Убедиться в том, что на уравнениях движения выполняется µT µν = 0

33.Найти ТЭИ Tµν для N свободных частиц

где x˙µ = dxµ/dτ. Найдите плотность ρ для этого случая. Указание: воспользоваться тождеством

Z

δgµν x(τ) = d4xδ(4) x − x(τ) δgµν(x) (20)

и взять интеграл по τ с помощью дельта-функции. Ответ упростится, если принять τ = s.

34.Пользуясь обобщением нерелятивистского лагранжиана для движения частицы в гравитационном поле

показать, что g00 = 1 + 2φ/c2. Объясните происхождение слагаемого mc2.

3

35.Показать, что если Tµν = 0, то Rµν = 0.

36.Решить систему

37.Доказать, что ds = 0 в произвольной системе координат.

38.Для метрики Шварцшильда

вычислить инвариант RµναβRµναβ (можно с помощью систем символьных вычислений: Maple, Wolfram Mathematica,...).

39.Найдите какую форму принимает метрика Шварцшильда при переходе к “черепашьей” координате

Затем получите метрику в координатах Эддингтона-Финкельштейна с помощью преобразования координат v = t + r . Рассмотрите поведение радиальных световых геодезических в этой метрике.

40.Найдите радиусы круговых орбит в метрике Шварцшильда.

41.Найдите сечение захвата нерелятивистских и ультрарелятивистских частиц черной дырой. Сравните с результатом этой же задачи в Ньютоновском рассмотрении.

42.Показать, что для метрики, которая не зависит от координаты x0, вектор Киллинга имеет вид k = (1, 0, 0, 0). Какой сохраняющейся величине это соответствует?

43.Показать с помощью соответствующего вектора Киллинга, что в поле черной дыры сохраняется момент импульса L.

44.Из uµuµ, выбора плоскости движения θ = π/2 и сохранения углового момента,

получите

и исследуйте радиальное движение.

45.С помощью замены u = 1/r и r2dφ/ds = L/m покажите, что уравнение (24) переходит в

решите это уравнение в пределе r rg — классическая задача Кеплера.

4

46.Используя уравнение (25), определите отклонение луча света, проходящего в окрестности массивного тела.

47.Рассматривая свободное электромагнитное поле в искривленном пространствевремени с действием

показать, что в расширяющейся Вселенной фотон испытывает красное смещение (его длина волны увеличивается). Указание: перейти к конформному времени η,

в котором действие (26) становится “плоским”.

48.Показать, что для метрики ds2 = dt2−a2(t)γijdxidxj, где γij — метрика единичной 3-сферы, 3-гиперболоида или 3-плоскости, ненулевые символы Кристоффеля будут

где (3)Γijk — символы Кристоффеля, вычисленные по трехмерной метрике γij.

49.В условиях предыдущей задачи показать, что пространственные компоненты тензора Риччи имеют вид

Примечание: можно отделить “пространственную часть” тензора Риччи (3)Rij, который вычисляется по трехмерной метрике γij (см. задачу 15), тогда

50. Для тензора энергии-импульса идеальной жидкости T µν = (p + ρ)uµuν − pgµν (gµν определяется в задаче 48) показать, что все (i, j)-компоненты уравнений Эйнштейна сводятся к

51. Показать, что уравнение (30) есть следствие уравнений

52.Покажите, что пылевидная (или заполненная излучением) открытая Вселенная с k = −1 в пределе t → ∞ (модель Милна) переходит в пространство Минковского. Подумайте, как можно здесь объяснить сверхсветовое удаление далеких объектов? Указание: можно начать с пространства Минковского и найти преобразование координат, которое переводит его во Вселенную Милна.

53.Постройте диаграмму пространства-времени для Вселенной, заполненной излу-

чением с положительной кривизной k = +1, в физических (t, r) и конформных (η, χ) координатах: нарисовать горизонт событий, световой конус, горизонт частиц, Хаббловскую сферу, свободно двигающиеся источники и фотоны, которые они испускают. Указание: нарисовать одни и те же линии в конформных и физических координатах (можно численно).

5

54.Показать, что пространство де Ситтера имеет положительную постоянную 4-кривизну.

55.Показать, что для вакуумного уравнения состояния p = −ρ тензор энергииимпульса является Лорец-инвариантным.

Примечание: если рассматривать последнее как требование, то можно получить уравнение состояния для вакуума.

56.Найти ограничение на массу нейтрино mν из условия Ων = ΩCDM.

57.Для ΛCDM модели определить красное смещение zacc, при котором Вселенная начала расширяться с ускорением. Указание: для исследования не очень больших красных смещений можно положить Ωrad = Ωcurv = 0.

58.Для ΛCDM модели найдите зависимость масштабного фактора от космологического времени a(t) и опередите зависимость времени от красного смещения t(z). Убедиться в том, что при определенных допущениях (каких?) выполняется предел пылевидной стадии a(t) t2/3, t(z) (1 + z)−3/2. Указание: при не очень больших красных смещениях можно считать Ωrad = Ωcurv = 0.

59.Найти поправки к закону Хаббла z = Hr в пространственно плоской Вселенной, заполненной пылью. Показать, что при малых красных смещениях полученное выражение совпадает с эффектом Доплера при радиальном удалении источников по закону v = Hr.

Примечание: последний факт является случайным совпадением, а не физическим эффектом. Поэтому интерпретация красного смещения при расширении Вселенной через эффект Доплера, вообще говоря, является неверной (см. также следующую задачу).

60.Определите связь между скоростью удаляющегося источника и красным смещением фотонов в условиях расширяющейся Вселенной и в Специальной теории относительности (эффект Доплера). Для расширяющейся Вселенной воспользуйтесь пылевидным приближением и определите красное смещение z источника, который находится на расстояние H−1. Какой результат был бы в СТО?

61.Найти поправки к закону Хаббла z = Hr для ΛCDM модели при условии Ωcurv ̸= 0. Показать, что при умеренных красных смещениях существует вырождение по космологическим параметрам. Указание: вырождение здесь означает, что r(z)

зависит от некоторой линейной комбинации ΩΛ и ΩM . Покажите, что вырождение исчезает при Ωcurv ≈ 0.

62.В предположении, что Вселенная является 3-сферой, причем |Ωcurv| < 0.01, определить полное число областей подобных нашему космологическому горизонту во Вселенной. Примечание: задача подразумевает, что в такой модели мы наблюдаем только малую часть всей Вселенной.

63.Для ΛCDM модели определить максимальное современное расстояние до объекта, который когда-либо был под космологическим горизонтом (горизонтом частиц). Указание: воспользуйтесь пространственно-временной диаграммой Вселенной в конформных координатах и, если нужно, численными вычислениями.

64.Для моделей инфляции с потенциалом V = gϕn определить область значений скалярного поля ϕ, где реализуется режим медленного скатывания. При каких значениях поля ϕ можно оставаться в рамках классических уравнений?

6

65.Для инфляционной модели V (ϕ) = λϕ4/4 оцените значение параметра λ из наблюдаемого спектра мощности возмущений. Оцените также полное число e-фолдов для этой модели.

66.Из общей структуры действия скалярного поля ϕ, минимально взаимодействующего с гравитацией

показать, что действие Sφ для возмущений инфлантонного поля ϕ(x, t) = ϕ(t) + φ(x, t) в терминах конформного времени (dt = a dη) принимает вид

67. Показать, что для поля χ = φ/a действие (33) принимает вид

Далее получить уравнение движения для поля χ и показать, что в импульсном пространстве для мод, которые находятся глубоко под горизонтом λ H−1, уравнение движения имеет вид

Воспользуйтесь известными результатами для квантового гармонического осциллятора и покажите, что квантовые флуктуации поля φ имеют вид δφ = H/2π. Указание: примите, что переход от подгоризонтного к загоризонтному режиму происходит мгновенно при kη× = −1, причем под горизонтом поле “ведет себя” квантовым образом. Конформное время и масштабный фактор связаны соотношением a = −1/Hη, η < 0.

Примечание: поле χ можно стандартным образом проквантовать и показать, что вакуумные флуктуации имеют вид

выражение под интегралом по определению является спектром мощности (см. Горбунов-Рубаков, том 2, глава 13).

7