Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление

Файл:

Ещё лекции / Глава__IV

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2026

Размер:

740.83 Кб

Скачать

☆

Глава IV

Нелинейные обыкновенных дифференциальных уравнений 1-ого порядка.

§ 10. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нелинейных ОДУ 1-ого порядка.

10.1. Основные понятия.

Рассмотрим нелинейное ОДУ 1-ого порядка в общем виде:

(71)

f ( x, y) ,

где ( x, y) D [a,b] [c,d]

y ( x) dx

и начальное условие

y( x0 ) y0

[a, b] .

(72)

Задача Коши.

Найти решение y ( x)

C1 a, b уравнения (71) ,

т.е.

( x)

f ( x, ( x))

на a, b , удовлетворяющее начальному условию (72) ,

т.е.

( x0 ) y0

Обозначим

sup

y( x)

C a ,b

a ,b

Определение 10.1. Говорят, что функция f ( x, y) , определенная на D ,

удовлетворяет условию Липшица по y с постоянной L , если существует число

(т.е. L 0,

L 0 ) такое, что для любых

( x, y ), ( x, y

) D следует неравенство

f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2 .

10.2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (71),(72).

Рассмотрим прямоугольник		x x0			b :
	P		a,	y y0

Теорема 10.1. (ТСЕ локальная)

Пусть функция

f ( x, y) непрерывна на P и удовлетворяет условию Липшица по y

с постоянной L

Тогда для любой точки ( x0 , y0 ) P существует единственное решение y ( x)

задачи Коши (71),(72) , определенное на x , x , где

min a,

M max

f ( x, y)

При этом решение y ( x) находится методом последовательных приближений:

( x) lim y

( x) , где

( x) y

f (t, y

n 1

(t ))d t ,

y (t ) y

n 1, .

(73)

# Докажем, что решение задачи Коши (71),(72) эквивалентно некоторому интегральному уравнению.

а) Необходимость. Пусть функция y ( x) является решением задачи Коши (71),(72) ,

т.е. ( x)

f ( x, ( x)) на x a, x a . Проинтегрировав последнее равенство, получим

( x)

f (t, (t))d t С .

Используя начальное условие (72), найдем С y0 .

И тогда приходим к интегральному уравнению: ( x) x

f (t, (t))d t y0 ,

(74)

т.е. ( x)

является решением

интегрального

уравнения (74),

причем

a, x a .

Достаточность. Пусть ( x)

является решением интегрального уравнения (74)

класса C1

a, x a .

Продифференцируем это уравнение по x x a, x a , тогда получим

дифференциальное уравнение вида:

( x) f ( x, ( x))

на x a, x a ,

т. е.

уравнение (71). А если в интегральное уравнение (74) положить x x0 , то получим условие ( x0 ) y0 , т.е. это начальное условие (72).

Следовательно, любое решение задачи Коши (71),(72) является решением интегрального уравнения (74), и, наоборот, любое решение интегрального уравнения (74) является решением задачи Коши (71),(72) , т.е. задача Коши (71),(72) эквивалентна в этом плане интегральному уравнению (74).

б) Докажем теперь, что у интегрального уравнения (74) существует решение. Рассмотрим последовательные приближения (73), т.е.

n ( x) y0 x
n ( x) y0 x	f (t, n 1 (t))d t ,	n 1, ,
x0
где 0 ( x) y0 .

Рассмотрим функциональную последовательность

для любого n 1, .

							(73)
( x)		:	n	C	x a, x a
n	п 1		n		0	0

Последовательные приближения будут определены, если n ( x) y0 b для любого

x x a, x

a .

n 1, и любого

f C

Поскольку

то существует M max

f ( x, y)

Тогда оценим

n ( x) y0

f (t, n 1 (t )

d t

x x0

для любого n 1, , откуда

x x0

Итак, если

x x , x

где min

то последовательные приближения

(73) определены.

Для любого x x , x проведем оценки:

1 ( x) 0 ( x)

1 ( x) y0

x x0

2 ( x) 1 ( x)

f (t, 1 (t )) f (t, 0 (t))

d t

1 (t) 0 (t)

d t

t x0

d t

x x

И так далее, на k -ом шаге получим следующую оценку:

k ( x) k 1 ( x)

MLk 1

x x0

k !

Рассмотрим функциональный ряд S( x) y

( x)

k 1

( x) ,

который сходится

k 1

равномерно на x , x

, так как мажорантный ряд y

k 1

сходится.

k !

k 1

При этом частичная сумма этого ряда Sn ( x) n ( x) . Следовательно, последовательность

( x)

также сходится равномерно на x , x

к функции ( x) непрерывной

п 1

на x ,

x , так как

x a, x a

для любого n 1, . А по теореме 01.1

возможен предельный переход под знаком интеграла в формуле (73).

Тогда при

n получим

* ( x) y0

f (t, * (t))d t .

При этом функция

x , x

, как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной

функции.

Итак, * ( x) является решением интегрального уравнения (74), а значит и решением задачи Коши (71),(72).

в) Докажем, что найденное решение единственно. Доказательство проведем от противного, т.е. предположим, что у задачи Коши (71),(72) существует еще одно решение y ( x) , которое также является решением интегрального уравнения (74)

на x , x , т.е.
0	0
			x
		( x) y0		f (t, (t))d t .	(*)

Рассмотрим разность ( x) n ( x) .

Для любого x x , x

при

n 0 получим оценку

(*)

( x) 0 ( x)

( x) y0

f (t, (t ))d t

d t

x x0

Далее при n 1

( x)

]в силу формулы (73)[

f (t, (t)) f (t,

(t)) d t

(t)

d t

( x)

x x0

t x0

d t

И так далее до k -ого шага:

x x0

k 1

( x) k ( x)

k 1 !

Тогда при k получим

( x)

для любого

x x , x .

( x)

Следовательно, ( x) ( x)

на x , x . Итак, единственность доказана.

г) После построения последовательных приближений (73), в пункте б) взяв предел при n , мы получили решение интегрального уравнения (74), а значит и решение

задачи Коши (71),(72) . #

Замечание 10.1. Решение y * ( x) , найденное при доказательстве теоремы 10.1

называется локальным, так как оно определено на x	, x	,	и a .
0	0

В начале курса была сформулирована теорема существования и единственности решения задачи Коши. Настало время ее доказать.

Теорема 2.1. (ТСЕ локальная)

Пусть f , fy C D .

Тогда для любой точки ( x0 , y0 ) D существует единственное решение задачи Коши (1),(2), определенное на , a, b .

# Теорема 2.1 следует из теоремы 10.1 при x0 , x0 , a x0 a , b x0 a ,

поскольку из условия

C D

по теореме Лагранжа следует: для любых точек

( x, y1 ), ( x, y2 ) D следует неравенство

f ( x, y ) f ( x, y )

( x, y )( y

y )

, которое является условием

Липшица с постоянной L max

f ( x, y)

10.3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров.

	Рассмотрим задачу Коши с параметром :
	y f ( x, y; ) ,																	0	1
																		0	1
						( x, y; ) G						a, b				c, d		m	, m	,
	y( x ; ) y		0	,		( x ; )			a, b		m , m						,
0			0			0								0		1
где – вещественный параметр.
	Теорема 10.2.			Пусть f ,			f	C				.
							f			G
							y			G
							y
	Тогда решение задачи Коши (75),(76)														y ( x; ) непрерывно по ( x; ) на
													.

V ( x; ) :		x x			, m , m
				0				0	1

#Повторяя доказательство пункта а) теоремы 10.1 для любого m , m

0 1

(75)

(76)

задача Коши (75),(76) эквивалентна интегральному уравнению

	y( x; ) y0 x			f (t, y(t; ); )d t				(77)
			x0

на P ( x, y; ) :		x x	a,		y y	b, m , m
0		0			0		0 1

Далее, как и в пунктах б) и в) теоремы 10.1, можно доказать, что интегральное уравнение (77) имеет единственное решение y ( x; ) , определенное на

( x; ) :

x x

, m

где min

, M max

f ( x, y; )

При этом решение y ( x; ) может быть получено методом последовательных

приближений, т.е. ( x; ) lim yn ( x; ) ,

yn ( x; ) y0 x

y0 (t; ) y0 .

где

f (t, yn 1 (t; ); )d t

, n 1, ,

п 1

Рассмотрим последовательность

y ( x; )

. Как и в теореме 10.1 при любом

n 1, функции yn C V , при этом можно доказать, что данная последовательность сходится при n к функции ( x; ) равномерно относительно ( x; ) V .

Следовательно, предельная функция y ( x; ) будет непрерывной на V .

Тем самым доказано, что решение задачи Коши (75),(76), как и решение

интегрального уравнения (77) непрерывно зависит от параметра .	#
Замечание 10.2. Теорема 10.2 будет справедливой, если условие f	C		заменить
		G

условием Липшица по y с постоянной L .

Замечание 10.3. Теорема 10.2 будет справедливой и в случае, когда параметр является вектором.

10.4. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных данных.

Рассмотрим вновь задачу Коши (71),(72) , т.е. уравнение
	dy	f ( x, y) , где			(71)
	dy


y ( x) dx				( x, y) D [a,b] [c,d]
и начальное условие
y( x0 ) y0		,	x0 [a, b] .		(72)

Очевидно, что решение задачи Коши (71),(72) зависит от начальных данных ( x0 , y0 ) ,

т.е. y ( x; x0 , y0 ) .

Теорема 10.3. Пусть f C D и удовлетворяет условию Липшица по y с

постоянной L , где D [a, b] [c, d] .

Тогда решение y ( x; x0 , y0 ) задачи Коши (71),(72) непрерывно зависит от

начальных данных ( x0 , y0 ) ,

т.е.

( x; 1 , 2 ) C

A, x

A y

где W x

, x

h, y

h .

#Пусть ( x0 , y0 ) – некоторые начальные данные из D .

Обозначим A min x0

a, b x0

h min y0 c, d y0 .

После замен y( x) z( x) y0 и x t x0 задача Коши (71),(72) перейдет в

задачу Коши вида:

d z

f (t x , z( x) y ) f (t, z; x , y ) ,

(78)

d t

z(0) 0 ,

(79)

которая по теореме 10.2 (с учетом замечания 10.3) имеет единственное решение

A, x

A y

y ( x;

)

на множестве

, x

h, y

h .

Это решение непрерывно на W , поскольку функция

f (t, z; x0 , y0 ) непрерывна на

множестве D

-A, A

-h, h

A, x A y

h, y h , и для любых точек

(t, z1 ; x0 , y0 ),

(t, z2 ; x0 , y0 ) D получим оценку

f (t, z1 ; x0 , y0 ) f (t, z2 ; x0 , y0 )

f (t x0 , z1 ( x) y0 ) f (t x0 , z2 ( x) y0 )

(z1 y0 ) (z2 y0 )

z1 z2 )

, т.е.

для функции

f (t, z; x0 , y0 ) выполняется условие Липшица по z с постоянной L .

Итак, решение задачи Коши (71),(72) непрерывно зависит от начальных данных. #

Замечание 10.4.

Смысл теоремы 10.3 заключается в том, что при выполнении условий

этой теоремы малым отклонениям начальных данных соответствует малое отклонение соответствующего решения задачи Коши (71),(72) .

10.5.Глобальная теорема существования и единственности решения задачи Коши. Корректность постановки задачи Коши.

Рассмотрим задачу, т.е. уравнение

( x, y) Q

D ( f )

y ( x) dx f ( x, y) ,

где

(71)

и начальное условие

y( x0 ) y0

( x0 , y0 ) Q

(72)

где Q – ограниченная область с гладкой границей Q .

Определение 10.2.

Решение y ( x) задачи Коши ( 71 ),(72), определенное на a, b ,

называется продолжаемым в области Q

x y , если существует другое решение

А, В a, b . При этом функция

y ( x) задачи Коши ( 71 ),(72) , определенное на

отображает

А, В

C, D

так,

что

А, В

C, D

Q и

( x) ( x) на

a, b

Если такого решения y ( x)

нет, то решение y ( x)

называется непродолжаемым

в Q .

Теорема 10.4.

(ТСЕ глобальная)

Пусть f C

и удовлетворяет условию Липшица по y с постоянной L .

Тогда для любой точки ( x0 , y0 ) Q существует единственное непродолжаемое в Q

решение y ( x) задачи Коши ( 71 ),(72), а соответствующая ему интегральная кривая проходит через точку ( x0 , y0 ) , сколь угодно близко приближаясь к границе Q области Q .

#Идея доказательства состоит в последовательном применении локальной теоремы

10.1.Взяв прямоугольник с центром в точке ( x0 , y0 ) ,

не выходящем из области Q и построив в нем решение задачи Коши, рассмотрим следующую задачу Коши, взяв в качестве начальных условий точку, лежащую на пересечении полученной кривой и данного прямоугольника. Найдем в новом прямоугольнике решение, которое будет продолжением предыдущего

решения. Продолжая построение решений таким образом, приблизимся сколь угодно близко к границе Q области Q , а значит получим непродолжаемое в Q решение задачи

	#
Коши ( 71 ),(72) .	#
Определение 10.3.	Говорят: задача Коши поставлена корректно по Адамару, если

1)у нее существует решение y ( x) ,

2)это решение единственно,

3)и оно непрерывно зависит от начальных данных.

Соседние файлы в папке Ещё лекции

#
12.02.2026743.63 Кб0Глава__0.pdf
#
12.02.20261.1 Mб0Глава__I.pdf
#
12.02.20261.17 Mб0Глава__II.pdf
#
12.02.2026963.13 Кб0Глава__III.pdf
#
12.02.2026740.83 Кб0Глава__IV.pdf
#
12.02.20261.51 Mб0Глава__V.pdf
#
12.02.20263.99 Mб0ДУ-3-01.jpg
#
12.02.20263.64 Mб0ДУ-3-02.jpg
#
12.02.20263.75 Mб0ДУ-3-03.jpg
#
12.02.20263.75 Mб0ДУ-3-04.jpg