Ещё лекции / Глава__III

1

2t ... k1 tk1 1 e 1t

... n km 1 n km 2 t ... nt km 1 e mt 0

или

P 1

(t )e 1t ... P m

(t )e m t

0 .

k1 1

km 1

Умножим последнее равенство на e m t и получим новое равенство:

P

1

(t )e

1 m t

... P

m

(t) 0 , которое продифференцируем

k

раз, тогда в силу

1

1

m

k

k

m

1

леммы 9.1

получим

1

1 m t

m 1

m 1

m t

0 ,

где

Qk 1 (t)e

... Qk

m 1

1 (t)e

1

0

, … ,

0 .

Умножив последнее равенство на e

m 1

m t

, найдем

1

m

m 1

m

производную

d km 1

Q

1

(t)e

1 m 1 t

... Q

m 1

(t) 0 .

d t

km 1

k1 1

km 1 1

И так далее. После

1

1 (t )e

1 2 t

0 на

, откуда

m 1 -ого шага получим Rk

1

R 1

1

(t ) 0

, в силу леммы 9.1

следует, что Q

1

1

(t ) 0 . а затем и

P 1

(t ) 0 , т.е.

k1

k1

k1 1

j

0 для любого

j 1, k1 .

числа j 0

Аналогично доказывается, что для любого

j k1 1, n

–

это

противоречит предположению.

j 1

j

Итак, доказано, что система

x

(t)

n линейно независима на

, а в силу пункта а)

она является ФСР уравнения ( 610 ) .

#

Следствие 9.1. Если

x

(t)

n

– ФСР уравнения ( 61

), то общее решение

j

j 1

0

n

уравнения ( 610 ) имеет вид:

xоо (t) С j x j (t) .

j 1

Рассмотрим однородное ОДУ

a x(n) (t) a x(n 1) (t) ... a

x (t) a x(t) 0 ,

(61 )

0

1

n 1

n

0

где a0 0 , a j

для любого j 0, n .

Тогда характеристический многочлен P ( ) имеет вещественные коэффициенты.

Пусть i

– корень характеристического уравнения (63) кратности k , тогда

комплексно сопряженное число i

также является корнем характеристического

уравнения (63), причем той же кратности, что и , т.е. k .

При этом корню

соответствует k линейно независимых решений уравнения ( 610 ) вида:

x j (t) t j 1e t t j 1e t cos t i sin t для любого

j 1, k ,

а комплексно сопряженному числу i соответствует решение вида:

j (t) t j 1e t t j 1e t cos t i sin t для любого

x

j 1, k .

u

1

(t ) Re x

(t )

x

(t ) x j (t ) t j 1e t cos t ,

j

j

2

j

для любого j 1, k .

1

v

(t ) Im x

j

(t)

x

j

(t) x j (t)

t j 1e t sin t

j

2i

a x(n) (t) a x(n 1) (t) ... a

x (t) a

x(t) b(t) ,

(61)

0

1

n 1

n

где b C a,b .

В силу теоремы 8.5

общее решение уравнения (61) имеет следующий вид:

xон (t ) xоо (t) xчн (t ) .

При этом общее решение xоо (t ) однородного уравнения ( 610 ) находится одним из

методов, описанных в пункте 9.1, если a j

, j 1, n .

Если же a j ,

j 0, n ,

то общее решение xоо (t ) находится одним из методов, описанных в пункте 9.1, а затем

выделяются вещественные решения согласно пункту 9.2.

Частное решение xчн (t ) уравнения (61) может быть найдено:

I. Методом вариации постоянных, описанном в пункте 8.4.

II. Методом подбора по виду неоднородности b(t ) .

Опишем этот метод. Пусть неоднородность имеет вид:

b(t) P 1 (t)cos t P 2

(t)sin t e t

,

m1

m2

где P 1 (t ) и P 2 (t ) – заданные многочлены степени m

1

и

m

2

, соответственно.

m1

m2

Тогда частное решение xчн (t ) уравнения (61) будем искать в виде:

xчн (t) t

s

1

2

t

Qm (t)cos t Qm

(t)sin t e

,

где Q 1

(t), Q 2 (t) – многочлены с неизвестными коэффициентами степени

m

m

0, если i не является корнем характеристического уравнения (63) ,

m max m1 , m2 , а s

i - корень характеристического уравнения (63) кратности k

.

k, если