Ещё лекции / Глава__III

x(n) (t) a (t)x(n 1) (t) ... a

(t)x (t) a (t)x(t) 0 ,

(51 )

1

n 1

n

0

где a j C a,b для любого j

1, n

.

При этом, как и в пункте 8.1, уравнение ( 510 ) сводится эквивалентным образом к

dy (t )

системе:

A(t ) y (t) .

(21 0 )

dt

Лемма 8.1. Если решение уравнения ( 510 ) обращается в ноль одновременно со своими

производными до ( n 1 ) порядка хотя бы в одной точке из a, b

, то оно тривиально,

т.е. x(t ) 0 на a, b .

)

# Утверждение леммы 8.1 следует из эквивалентности уравнения ( 510 ) и системы ( 210

и леммы 5.1.

#

Пусть H – множество решений уравнения ( 510 ), которое, очевидно, не является

пустым множеством, т.к. x(t ) 0 есть решение уравнения ( 510 ) .

Для элементов множества H введем операции сложения элементов этого множества

и умножения элементов на число.

Лемма 8.2.

Для множества H справедливы следующие свойства :

1о

H – линейное пространство (относительно введенных операций).

2о

dim H n .

# Свойство

о

, а также

1 следует из эквивалентности уравнения ( 510 ) и системы ( 210 )

из леммы 5.2.

о

Свойство 2

следует из эквивалентности уравнения ( 510 ) и системы ( 210 ) , а также из

теоремы 5.1.

#

j

j 1

Определение 8.1. Система функций

x

(t) n

называется:

n

n

1) линейно зависимой на a, b , если существуют числа j j 1

такие, что

j

0 ,

n

j 1

а

j x j (t) 0 (*) для любых t a, b

;

j 1

x(t

0

) 1

,

j

2

x (t0 ) j

,

,

для любого t0 a, b ,

j 1, n ,

(52j )

x(n 1) (t

0

) n

j

1

j

det 1

0 .

где векторы-столбцы

j

таковы, что

, ..., n

n

j

где

С j – произвольные постоянные для любого

j 1, n .

#

(1о ): В силу теоремы 8.1 для любого j 1, n

задача Коши ( 51

),( 52

j

) имеет

0

единственное решение x j C n a, b .

(t) n

задач Коши ( 51 ),( 52

Рассмотрим систему полученных решений

x

),

j 1, n .

j

j 1

0

j

Эта система линейно независимая на a, b также, как система вектор-функций

x j (t )

n

x j (t )

(t )

,

ибо в противном случае существуют числа j

n

такие,

y j

j 1

x (n 1) (t )

j

j 1

n

n

для любого t a, b ; в том числе и для t

что

j

0 , но

j y j

(t) 0

t0 , т.е.

j 1

j 1

n

n

n

j y j (t0 ) 0

или j j 0 . Это означает, что система j j 1

будет линейно

j 1

j 1

зависимой, и det

1 , ..., n 0 , что противоречит условию задачи Коши.

j

j 1

Итак, в силу леммы 8.3 система решений

x

(t)

n

является линейно независимой

на a, b , а значит она является ФСР уравнения ( 510 ) .

( 2о ): Поскольку

x

(t)

n

– ФСР уравнения (

51

) и dim H n (см. лемму 8.2), то система

j 1

j

j 1

0

j

x

(t) n

является базисом пространства H .

Тогда для любого решения x(t ) H

n

n

что x(t) С j x j (t) .

существуют произвольные постоянные С j j 1

такие,

j 1

Определение 8.3. Определителем Вронского (вронскианом) системы функций

j

j 1

x1 (t )

xn (t )

x

(t )

x

(t )

n

x (t)

называется определитель W ( x(t )) det

1

n

.

(n 1)

(n 1)

x1

(t )

xn

(t )

j

j 1

0

Теорема 8.3. Пусть

x

(t)

n

– система решений уравнения ( 51

) на

a, b

,

W ( x(t )) – вронскиан этой системы решений.

Тогда для любых t, t0 a, b

справедлива формула Лиувилля:

t

W ( x(t )) W ( x(t0 ))exp

a1

( )d .

(55)

t0

#

),

и Sp A(t) a1 (t)

(см. пункт 8.1) .

системе ( 210

Теорема 8.4.

Определитель Вронского системы функций обладает следующими

свойствами :

j

j 1

1о

Если

z

(t)

n

является линейно зависимой системой функций на

a, b

, то

W ( x(t )) 0 на a, b .

j

j 1

0

2о

Система

x

(t) n

решений уравнения ( 51

) является линейно зависимой на

a, b

тогда и только тогда, когда существует t0 a, b такое, что W ( x(t0 )) 0 .

j

j 1

0

3о

Система решений

x

(t) n

уравнения ( 51

) является линейно независимой на

a, b

тогда и только тогда, когда W ( x(t )) 0 для любого t a, b .

4о

j

n

0

1

Если для системы решений

x

(t)

уравнения ( 51

) существует t

a, b

,

для