Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление

Файл:

Ещё лекции / Глава__II

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2026

Размер:

1.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

ОСЛОДУ ( 21о ) , тогда в силу 1o Wy (t) 0 на a, b , в том числе и при t t0 , т.е.

Wy (t0 ) 0 .

Достаточность. Пусть существует t0 a, b , для которого Wy (t0 ) 0 , тогда по формуле Лиувилля ( 31 ) Wy (t) 0 для любого t a, b , а это означает, что столбцы

n
y j (t) j 1	образуют линейно зависимую систему на a, b .

( 3o ): Необходимость. Доказательство проведем от противного. Предположим, что

n
y j (t) j 1
y j (t) j 1	– линейно независимая система решений ОСЛОДУ ( 21о ) , но существует
		n
t0 a, b , для которого Wy (t0 ) 0 .		Тогда в силу свойства 2o система y j (t) j 1

должна быть линейно зависимой – противоречие.

Достаточность. Доказательство проведем от противного. Пусть Wy (t) 0 для любого

	n
t a, b ,	но решения y j (t) j 1	образуют линейно зависимую систему на a, b .

Тогда в силу свойства 2o существует t0 a, b , для которого Wy (t0 ) 0 – противоречие.

( 4o ): Доказательство проведем от противного. Предположим существует t1 a, b такое,

что Wy (t1 ) 0 ,	и в то же время существует t0 a, b , для которого Wy (t0 ) 0 .			Тогда
	n
по свойству 2o	система решений y j (t) j 1	будет линейно зависимой на	a, b , а в силу
свойства 1o Wy (t) 0 на a, b – противоречие.				#

§ 6. Неоднородные системы линейных ОДУ .

6.1. Общее решение неоднородной системы линейных ОДУ.

Рассмотрим неоднородную систему вида:

dy (t )

A(t ) y

(t ) f

(t ) ,

t a, b ,

(t)

ai j , fi C a, b

где

, f

(t)

для любых i, j 1, n

A(t ) aij (t ) i , j 1

. . .

fn (t)

Которой соответствует однородная система линейных ОДУ первого порядка:

	dy (t )	A(t ) y (t ) ,	t a, b .
		A(t ) y (t ) ,	t a, b .
	dt
		n
Теорема 6.1. Пусть y j (t) j 1
Теорема 6.1. Пусть y j (t) j 1			– ФСР системы ( 21о ) .

Тогда общее решение неоднородной системы ( 21 ) вычисляется по формуле:

(21 )

( 21о )

он (t) C j

y j

(t) y

чн (t)

(32 )

j 1

где C j – произвольные постоянные из

для любого

j 1, n ;

или кратко:

он

(t) y

оо (t) y

чн (t)

t a, b .

(33 )

#Пусть y оо (t) есть общее решение однородной системы ( 21о ), а y чн (t ) –

некоторое частное решение неоднородной системы ( 21 ) . Рассмотрим вектор функцию u (t) y оо (t) y чн (t) .

1) Вычислим

u	(t) A(t)u (t) y		(t) y	(t) A(t) y	(t) A(t) y	(t) 0 f		(t) f		(t) ,
		oo	чн	оо	чн

это означает, что u

(t )

и j 1, n .

является решением системы ( 21 ) при любых C j

Для произвольного частного решения y (t)

системы ( 21 ) рассмотрим равенство

(t) y

оо (t) y

чн (t)

или

(t) y чн (t)

C j y j

(t) . (*)

j 1

Равенство (*) представляет из себя разложение элемента y (t) y чн (t) из H по базису

n
y j (t) j 1	пространства H . Следовательно, существуют единственные коэффициенты
n
C j j 1 этого разложения.
Итак, в силу доказанных пунктов 1),2) вектор-функция u (t )		является общим
		#
решением неоднородной системы ( 21 ) .

6.2.Нахождение частного решения неоднородной системы методом вариации постоянных.

Теорема 6.2. Пусть Y(t ) – фундаментальная матрица однородной системы ( 21о ). Тогда частное решение системы ( 21 ) имеет вид:

y чн (t) Y(t) Y-1 ( ) f ( )d , для любого t a, b (34 )

илюбого фиксированного t0 a, b .

# Пусть Y(t ) – фундаментальная матрица однородной системы ( 21о ). Тогда в силу

формулы ( 28 )

y оо (t) Y(t)С .

Будем искать частное решение неоднородной системы ( 21 ) в следующем виде:

y (t) Y(t)q (t) ,

где q (t) – неизвестная вектор-функция .

Найдем y

(t) Y (t)q (t) Y(t)q (t) , а в силу свойства 1o теоремы 5.3 получаем

y (t) A(t) Y(t)q

(t) Y(t)q (t)

(*) . Подставив (*) и y (t) Y(t)q

(t) в систему ( 21 ),

приводим ее к равенству A(t) Y(t)q (t) Y(t)q (t) A(t) Y(t)q

(t) f

(t) , тогда

Y(t)q (t)

(t) , а в силу свойства 3o теоремы 5.3

q (t ) Y-1

(t) f

(t ) .

Интегрируя последнее равенство, получаем q (t) t

Y-1 ( ) f ( )d

(**) для любых

t, t0 a, b

. Используя равенство (**) находим частное решение системы ( 21 ) в виде:

y чн (t) Y(t) t

Y-1 ( ) f ( )d ,

для любого t a, b .

Следствие 6.1. Пусть y j (t) j 1

– ФСР системы ( 21о ) .

Тогда справедливы следующие формулы:

y он (t) Y(t)С

Y(t) Y

-1

( ) f ( )d ,

(35 )

где Y(t ) – фундаментальная матрица однородной системы ( 21о ) ;

y он (t) Y(t) Y

-1

(t0 ) y (t0 )

Y(t) Y

-1

( ) f ( )d ;

или

(36 )

или y он (t) K(t, t0 ) y (t0 ) K(t, ) f ( )d , (37 )

где K(t, ) – матрица Коши.

# Формула ( 35 ) следует из формул ( 34 ), ( 33 ) и ( 28 ) . Формула ( 36 ) следует из формулы ( 35 ) с учетом формулы ( 29 ) .

			#
Формула ( 37	) следует из формул ( 36 ) и ( 30 ) .

6.3. Системы линейных ОДУ над множеством комплексных чисел.

Рассмотрим неоднородную систему

(t) A(t)w

(t) f

(t) ,

(21*)

где w

(t) u (t) i v (t) ,

(t) (t) i

(t) ,

A a

j k j,k 1

a j k (t) j k (t) i j k (t) , здесь uj (t),vj (t), j (t), j (t), j k (t), j k (t) – вещественные

функции действительной переменной t для любых

j, k 1, n .

При этом функции j , j , j k , j k C a, b

j, k 1, n .

Зафиксируем любое k 1, n ,

тогда (21*) можно записать в виде:

		n
w		a		(t)w		(t)
	k	k j			j
		j 1
u	(t) i v		(t)		n
u	(t) i v		(t)
k		k					k j
					j 1

fk (t) или после подстановки

(t ) i	k j	(t ) u	(t ) i v	(t )		(t ) i	.
	k j	j	j		k		k

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части:

(t )

k j

(t)u

(t)

k j

(t)v

(t)

(t) ,

j 1

k 1, n

(21)

(t)

k j

(t)u

(t)

k j

(t)v

(t)

j 1

Итак, получена неоднородная система 2n уравнений с 2n неизвестными функциями

u	(t), v (t) n		.
k	k	k 1
Тогда все результаты, полученные ранее, переносятся на систему ( 21 ) .
Следствие 6.2. Пусть				w (t) u (t) i v (t) – комплеснозначная функция
вещественной переменной t , которая является решением системы:
			w (t) A(t)w (t) ,		(21*0 )

где A(t ) – вещественная матрица.
Тогда вектор-функции				u (t) Re[w (t)]	и v (t) Im[w (t)]
являются решениями системы ( 21*0 ) .

#Утверждение следствия следует из формул ( 21 ), т.к. k j (t) 0 , k (t ) 0 и

				#
k (t ) 0	для любых j, k 1, n на a, b .			#

§ 7. Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим неоднородную систему вида:

			y	(t) A y	(t) f	(t) ,	t a, b ,
			y	(t) A y	(t) f	(t) ,	t a, b ,		(41 )

где	A a	n	является, вообще говоря, комплексная матрица, а y (t) ,					f	(t) –
		j k j,k 1

комплекснозначные вектор-функции.

7.1.Построение ФСР для однородной системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим однородную систему вида:

y (t) A y (t) ,

где y	(t) u	(t) i v (t) ,	A a	n		i
				j k j,k 1	j k		j k

(410 )

j,k 1


Решение однородной системы ( 410 ) существует и определено на . Будем искать
его в виде	y (t ) h e t ,			т.е. найдем вектор h	n и число				, причем h		0 .

Подставив	y	(t ) h e	t			h e	t	A h e	t	или A h h
Подставив	y	(t ) h e		в систему ( 410 ), получим		h e		A h e		или A h h

при h 0 .
Вывод 7.1. Для того чтобы вектор-функция					y	(t ) h		e t была решением системы (

410 ) необходимо и достаточно, чтобы число было бы собственным числом матрицы

A , а

вектор h – собственным вектором, соответствующим этому собственному числу.

Рассмотрим различные случаи построения ФСР однородной системы ( 410 ).

Случай 1

(Все собственные числа матрицы A – простые вещественные, т.е. их

алгебраическая кратность равна 1)

– собственные числа, а hj j 1

Теорема 7.1.

Пусть j j 1

соответствующие им

собственные векторы матрицы A , причем j

k при j k

для любых j, k 1, n .

y j (t ) hj e

j t

j 1 .

Тогда ФСР системы ( 410 ) будет иметь вид

# Для любого

(t ) hj

e j t является решением системы

j 1, n вектор-функция

y j

( 410 ) (см. Вывод).

Рассмотрим систему y j (t) j 1

и построим вронскиан при t 0

W (0) det

, ..., h

0 , поскольку

при

j k . Тогда в силу свойств 4o и 3o

y j (t) j 1

теоремы 5.5

– ФСР системы ( 410 ).

Случай 2 (Собственные числа матрицы A кратные, но матрица A диагонализируема,

т.е. геометрическая кратность каждого собственного числа равна алгебраической или

				n
существует базис пространства	n , состоящий из собственных векторов hj j 1
матрицы A .)
Теорема 7.2. Пусть A – диагонализируемая матрица или алгебраическая кратность
всех ее собственных чисел j n	совпадает с их геометрической кратностью , т.е.
j 1
			n
существует линейно независимая система hj j 1				, состоящая из собственных векторов
матрицы A .
Тогда вектор-функции y j (t ) hj e		j t
Тогда вектор-функции y j (t ) hj e			образуют ФСР однородной системы ( 410 ).

#Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 7.1,

n
т.к. hj j 1	является базисом пространства			n .			#
Случай 3	(Матрица A – не диагонализируемая, т.е. существует собственное число
p , у которого геометрическая кратность < алгебраической).
В линейной алгебре было приведено
Определение 7.1. Вектор		hp 1	называется присоединенным вектором к

собственному вектору hp , соответствующему собственному числу p матрицы A ,
если выполнено следующее равенство (A pE)hp 1						hp	.

Утверждение 7.1. (Теорема Жордана)
Для любой матрицы A a		n		i	n	существует базис пространства
		j k j,k 1	j k		j k j,k 1

n , состоящий из собственных и присоединенных векторов этой матрицы, причем собственному числу p с алгебраической кратностью k соответствует k линейно

независимых векторов (например, один собственный вектор hp

и k 1 присоединенных

векторов hp 1

, … , hp k 1

, удовлетворяющих следующим уравнениям:

E)h

0 ,

(*)

(A pE)hp j

hp j 1

j 1, k 1

# Без доказательства.	#
Теорема 7.3. Пусть матрица A имеет собственное число p	алгебраической

кратности k и геометрической кратности 1 ( p p 1 ... p k 1 ).

Тогда собственному числу p соответствует k линейно независимых решений однородной системы ( 410 ) вида:

t j

t j 1

j t

p j (t )

hp 1

...

hp j 1

hp j

, j 0, k 1 ,

(42 )

j !

( j 1)!

k 1

где hp – собственный вектор, а hp j j 1

– присоединенные векторы матрицы A .

При этом решения yq (t) q 1

, построенные таким образом для всех собственных

чисел q , образуют ФСР однородной системы ( 410 ) .

#Пусть p – собственное число матрицы A алгебраической кратности k , и hp –

собственный вектор, соответствующий этому собственному числу, а hp 1 , ..., hp k 1 –

присоединенные векторы к hp .

(t)

t j

t j 1

...

hp j

Обозначим

z p j

hp 1

hp j 1

, j 0, k 1 .

j !

( j 1)!

Очевидно, что

z p j

(t ) z p j 1

(t ) .

(**)

Рассмотрим вектор-функцию

p j

(t) z

p j

(t) e j t и найдем ее производную по t :

yp j

(t)

z p j

(t) e j t z p j

(t) je j t

z p j 1

(t) e j t

z p j

(t) je j t ,

для любого

j 0, k 1 , а произведение

A y p j (t ) A z p j (t ) e j t

t j 1

A hp 1 ...

A hp j e j t

A hp

A hp j 1

j !

( j 1)!

t j 1

]в силу равенств (*)[

php

( php 1

) ...

( php j 1

hp j 2

)

j !

( j 1)!

) e j t p z p j

(t) e j t z p j 1

(t) e j t ,

( php j

hp j 1

для любого

j 0, k 1 .

Следовательно,

y p j (t) A y p j (t) ,

для любого

j 0, k 1 .

Итак,

yp j

(t), ..., yp k 1

(t)

– решения однородной системы ( 410 ), соответствующие

собственному числу p .

Аналогично строятся остальные решения ys (t)

однородной системы ( 410 ),

соответствующие другим собственным числам s . По теореме Жордана все собственные

и присоединенные векторы hq n			образуют базис пространства		n .
		q 1

Тогда полученные решения однородной системы ( 410 ) образуют линейно независимую
систему yq	n	, поскольку при t 0 вронскиан Wy (0) det h1			, ..., hn	0 .
	q 1
		n
Итак, вектор-функции yq (t ) q 1							#
Итак, вектор-функции yq (t ) q 1				образуют ФСР однородной системы ( 410 ) .			#

Замечание 7.1. В ходе доказательства теорема 7.3 для построения ФСР однородной
		k

системы ( 410 ) нам нужны были вектор-многочлены z p j (t ) j 0 .
При j 0 z p (t) hp , где hp – собственный вектор, соответствующий собственному
числу p . Чтобы найти z p 1		(t) надо проинтегрировать (см. формулу (**))

вектор-многочлен z p (t) по t	и взять в качестве постоянного вектора присоединенный
вектор hp 1 . И так далее.


Замечание 7.2. На практике часто решения системы ( 410 ) , соответствующие

собственному числу p с алгебраической кратностью k и геометрической – 1, ищутся

(t) (С1

t k 1 С2

t k 2 ... Сk 1

t Сk

)e pt

в виде

, где С j

j 1, k – неизвестные

постоянные векторы, координаты которых находятся при подстановке в систему ( 410 ) этой вектор-функции и сравнении коэффициентов при одинаковых степенях t .

Замечание 7.3. В случае, когда алгебраическая кратность собственного числа p

равна k , а геометрическая равна l k , то решение будем искать в виде:

y (t) (С1 t k l С2 t k l 1 ... Сk l 1 t Сk l )e pt .

7.2.Выделение вещественных решений для однородной системы линейных ОДУ с вещественными коэффициентами.

Пусть в однородной системе

			y	(t) A y (t) ,		(430 )

матрица	A a	n	является вещественной с постоянными элементами a
		j k j,k 1			j k

для любых j, k 1, n .

Замечание 7.4. Если характеристическое уравнение det(A E) 0 с вещественной

матрицей A имеет корень i , то комплексно сопряженное число i также будет корнем этого уравнения.

Теорема 7.4. Пусть i – комплексное собственное число вещественной матрицы A и y (t) – соответствующее ему комплекснозначное решение однородной

системы (430 ) .

Тогда комплексно сопряженная вектор-функция y (t) является комплекснозначным

решением системы (430 ) , соответствующим собственному числу i . Более того u (t) Re[ y (t)] и v (t) Im[ y (t )] являются линейно независимыми

вещественными решениями однородной системы (430 ) .

# Если 0 – комплексное собственное число матрицы A , то в силу замечания 7.4

0 также является собственным числом матрицы A . Более того, пусть h0 –

собственный вектор, а h0 1 , ..., h0 k 1 – присоединенные векторы матрицы A ,

соответствующие собственному числу 0 . Тогда собственный вектор h0 должен удовлетворять однородной системе (A 0Е)h0 0 или (A 0Е)h0 0 , а в силу того, что матрица A вещественная, получим (A 0Е)h0 0 . Это означает, что h0

является собственным вектором матрицы A , соответствующим собственному числу 0 .

Аналогично для присоединенных векторов: из равенства (A 0Е)h0 1 h0 следует равенство (A 0Е)h0 1 h0 . И так далее. Наконец, из равенства

(A 0Е)h0 k 1 h0 k 2 следует равенство (A 0Е)h0 k 1 h0 k 2 . Это означает, что h0 1 , ..., h0 k 1 – присоединенные векторы матрицы A , соответствующие собственному числу 0 .

Теперь предположим, что y (t) есть решение однородной системы (430 ) ,

соответствующее собственному числу 0 ,

т.е.

(t) A y

(t) 0

, тогда справедливо

следующее равенство y

(t) A y (t) 0

или

(t) A y

(t) 0 .

Следовательно,

y (t) также является решением системы (430 ) .

Поскольку решение однородной системы (430 ) , соответствующее собственному числу

0 , представляется в следующем виде

y (t ) Рm (t )e 0t , где Рm (t) – вектор-многочлен

(t )e 0t

степени m , то вектор-функция вида y (t ) Рm

является решением однородной

0 , а так как собственные числа

системы (430 ) , соответствующим собственному числу

0 и 0

различные, т.е.

0 0 , то решения y

(t) и

y (t) будут линейно

независимыми.

Следовательно, будут линейно независимыми и вектор-функции

y (t)

(t)

Re[ y (t)] и

v (t)

(t)

Im[ y (t )] ,

u (t)

(t) y

которые являются решениями однородной системы (430 ) (как линейная комбинация

решений однородной системы (430 ) ).

Вывод 7.2. Для того, чтобы найти вещественные решения однородной системы (430 )

с постоянными коэффициентами, необходимо одним из методов, указанных в теоремах

7.1, 7.2, 7.3 , построить ФСР однородной системы (430 ) , вообще говоря, комплекснозначную. Затем в комплексно сопряженных решениях отделить действительные и мнимые части, получив тем самым n линейно независимых вещественных решений однородной системы (430 ) .

7.3. Решение неоднородных систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим неоднородную систему вида:

(t) A y (t) f

(t) ,

(43 )

где матрица

A a

, в общем случае, с комплексными элементами, а вектор-

j k j,k 1

функция f

(t) комплекснозначная, т.е.

(t) (t) i

(t) ,

j , j C a, b

для любого

j 1, n .

Как было доказано в теореме 6.1 общее решение неоднородной системы ( 43 ) имеет

вид:	y	он	(t) y	оо	(t) y	чн (t) ,	t a, b	(см. формулу ( 33 )) .

Предположим, что найдено общее вещественное решение y оо (t) однородной

системы (430 ) одним из способов, описанных в пунктах 7.1 и 7.2. Рассмотрим теперь способы нахождения частного решения системы ( 43 ).

I. Частное решение y чн (t ) неоднородной системы ( 43 ) может быть найдено методом вариации постоянных, описанном в пункте 6.2.

II. Рассмотрим еще один метод, часто применяемый на практике, – метод подбора частного решения системы ( 43 ) по виду вектор-функции f (t) .

Пусть неоднородность системы ( 43 ) имеет вид:

f (t) ( p0 p1 t ... pm t	m			t
f (t) ( p0 p1 t ... pm t			)e				,	(44 )
где p j – заданные комплексные векторы ,		j 1, m ; а a ib .
Тогда частное решение неоднородной системы ( 43 ) предлагается искать в виде:
y (t) (q0 q1 t ... qm l t		m l				t
y (t) (q0 q1 t ... qm l t				)e			,	(45 )
где q j – комплексные векторы с неизвестными координатами, j 1, m l ;								а
0, если не совпадает с собственным числом матрицы A ,								. (46)
l								. (46)
k, если есть собственное число матрицы A алгебраической кратности k
Замечание 7.5. Если вектор-функция f (t)					есть некоторая линейная комбинация

вектор-многочленов, умноженных на экспоненты с разными , то частное решение y чн (t ) надо искать в виде суммы комбинаций вида ( 45 ), своих для каждого .

Замечание 7.6. Если f (t) есть вещественная вектор-функция, полученная из ( 44 )

как ее действительная или мнимая часть, то вещественное решение может быть получено из ( 45 ) выделением соответственно действительной и мнимой частей равенства ( 45 ).

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в папке Ещё лекции

#
12.02.2026743.63 Кб0Глава__0.pdf
#
12.02.20261.1 Mб0Глава__I.pdf
#
12.02.20261.17 Mб0Глава__II.pdf
#
12.02.2026963.13 Кб0Глава__III.pdf
#
12.02.2026740.83 Кб0Глава__IV.pdf
#
12.02.20261.51 Mб0Глава__V.pdf
#
12.02.20263.99 Mб0ДУ-3-01.jpg
#
12.02.20263.64 Mб0ДУ-3-02.jpg