Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление

Файл:

Ещё лекции / Глава__II

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2026

Размер:

1.17 Mб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Глава II

Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

§ 4. Основные понятия. Задача Коши.

4.1. Обозначения и определения.

						y1 (t )
Обозначим вектор-функцию						.
Обозначим вектор-функцию				y	(t )	.	.
						.
						.


						yn (t )
Определение 4.1.	Вектор-функция y (t) называется непрерывной на a, b
						y j	C	a, b
(будем обозначать y		C	a, b	),	если	y j	C	a, b	для любого j 1, n .

Введем еще обозначения для вектор-функции:

y1(t )

(t )dt

(t )

y (t )dt

и для матрицы A(t) aij

(t) i , j 1

(t )

(t )dt

A(t )dt aij (t )dt .

A (t) aij

(t) i , j 1

i , j 1

Определение 4.2.

Нормой элемента x из некоторого линейного пространства

называется вещественное число

, удовлетворяющее следующим аксиомам:

для любых x, x1 и для любого

0 тогда и только тогда,

когда x ;

;

x x1

Примеры 4.1. Рассмотрим следующие нормы:

1) Для любых y j

a, b , j

1, n

нормой будет

y j

sup

y j (t)

a ,b

2) Для любой вектор-функции y C a, b при любом фиксированном t a,b нормой

		n
		n
будет	y (t)		yj (t)	.
		j 1
		j 1

3) Для любой матрицы A(t ) такой, что aij C a, b
	при любых i, j 1, n и любого

фиксированного t a,b нормой будет A(t) aij (t) .

i, j 1

Упражнение 4.1. Проверить, что нормы из примеров 4.1 введены корректно, т.е. удовлетворяют аксиомам 1*, 2*, 3*.

Утверждение 4.1. Для введенных выше норм справедливы следующие неравенства:

y ( )d

y ( )

A(t) B(t)

A(t)

B(t)

A(t) y (t)

A(t)

y (t)

# Без доказательства.

4.2. Задача Коши для системы линейных ОДУ первого порядка.


Рассмотрим систему
dy (t )
		1	a11(t ) y1(t ) . . . a1n (t ) yn (t ) f1(t ) ,
		dt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,				(21)

	dyn (t )		an1(t ) y1(t ) . . . ann (t ) yn (t ) fn (t )

		dt

где aij , fi C a,b

для любых i,

j 1, n или в векторной форме

dy (t)

A(t) y (t)

(t) .

Определение 4.3. Система ОДУ (21) называется нормальной системой линейных

ОДУ первого порядка с переменными коэффициентами

- однородной, если

fi (t) 0 для любых i 1, n

- неоднородной, если существует номер k

такой, что fk (t ) 0 .

Число n называется порядком нормальной системы (21) .

Определение 4.4.

Решением (частным решением) системы ( 21 ) ((21))

называется

вектор-функция y

(t) , которая

a, b и обращает систему ( 21 ) в верное

векторное тождество.

При этом вектор функция y (t)

задает в пространстве

n 1

некоторую кривую, называемую интегральной кривой системы ( 21 ) ((21)) .

					y (t	0	) y
					1	0	10
Рассмотрим еще условия:					. . . . . . . . .

					yn (t0 ) yn0
или	y	(t		) y	,		где t		a,b ,	y0	n .
			0		0			0

(22)

Задача Коши: Среди множества решений системы (21) найти такое, которое удовлетворяло бы условию (22).

Определение 4.5. Условие (22) называется начальным условием, а точка (t0 , y0 ) –

начальными данными или данными Коши.

Геометрическая интерпретация решения задачи Коши.

Среди множества интегральных кривых системы (21) найти ту, которая проходит через точку (t0 , y10 ,..., yn0 ) n 1 .

4.3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши (21),(22).

Теорема 4.1. (ТСЕ) Пусть

A(t), f

(t) непрерывны на a, b , т.е. aij , fi C a,b

для любых i, j 1, n .

n 1 существует единственное решение

Тогда для любой точки (t0 , y0 ) a, b D

задачи Коши (21),(22) на a, b .

При этом оно может быть получено методом последовательных приближений,

т.е.

(t) lim y

(t) ,

(t) y0 t A( ) ym 1

( ) d ,

( ) y0 .

где

( ) f

m 1, ,

# Доказательство разобьем на четыре этапа:

1-ый этап.

Рассмотрим уравнение ( 21 ) и проинтегрируем его для любых t0 , t a, b ,

т.е. y

(t)

t A( ) y

( ) f

( ) d С

, тогда из условия ( 22 ) при t t

и y

) y

получим С y0

и окончательно

y (t)

A( ) y ( )

( ) d y0 .

Итак,

) следует интегральное уравнение ( 23 ) .

из уравнения ( 21 ) и условия ( 22

Далее, если y (t)

a,b

тогда

удовлетворяет уравнению ( 23 ), то

продифференцируем ( 23 ) по t

и получим

dy (t )

A(t ) y (t ) f (t ) ,

т.е. уравнение ( 21 ).

Положим в ( 23 )

t t

, тогда

) y

, т.е. выполняется условие ( 22 ).

Таким образом, решение задачи Коши ( 21 ),( 22 ) эквивалентно решению интегрального уравнения ( 23 ) .

2-ой этап.

Докажем существование.

Применим метод итераций:

построим последовательные приближения вида:

, y0 ( ) y0 ,

(t ) y0

1, .

( 24

)

(t )

A( ) ym 1 ( ) f ( ) d

Рассмотрим функциональную последовательность и докажем ее равномерную

сходимость на a, b .

При m 1 из равенства ( 24 ) следует оценка:

(t) y0

М ,

(t)

A( ) y0

( ) f ( ) d

где

М sup

A( ) y0 f ( )

t a ,b

Далее при m 2 получим на основании ( 24 ) следующую оценку:

y (t ) y (t )

A( ) y

( ) y

( ) d

A( )

( ) y

( )

t t0

где sup

A(t)

Продолжая выводить оценки, получим на k -ом шаге:

t a ,b

k 2

k 1

yk (t) yk 1 (t)

A( ) yk 1 ( ) yk 2 ( ) d

t t0

(k 2)!

(k 1)!

Рассмотрим ряд

S (t) y0

yk (t) yk 1 (t) ,

k 1

для которого частичная сумма Sm (t) y0

yk (t) yk 1 (t) ym (t) .

k 1

При этом ряд ( 25 ) сходится равномерно на a, b по признаку Вейерштрасса, т.к.

k 1

М (b a)

мажорирующий его ряд

М (b a)

k 1

(k 1)!

p 0

сходится, где

Тогда последовательность ym (t ) сходится равномерно на a, b

к вектор-функции

a,b

(t ) такой, что

1 a,b , т.к.

для любого m ,

следовательно, возможен предельный переход в ( 24 ) под знаком интеграла.

Итак, y	(t) y	(t) t	A( ) y		( ) f	( ) d , т.е.	y	(t ) – решение уравнения ( 23 ),
*	0			*			*
		t0
		t0

а, следовательно, и задачи Коши.

3-ий этап.

Докажем единственность от противного.

Предположим, что существует еще одно решение z (t ) задачи Коши или

интегрального уравнения ( 23 ), т.е.

(t ) y

A( )z

( ) f

( ) d .

Рассмотрим разность z (t) ym (t) ,

тогда в силу формулы ( 24

) получим оценку:

z (t ) ym (t )

t A( ) z ( ) ym 1 ( ) d

A( )

z ( ) ym 1 ( )

тогда при m 1

следует

z (t) y1

(t)

A( )

z ( ) y0 ( )

М1

t t0

, где М1

sup

A( )z

( ) f

( )

и sup

A(t)

;

t a ,b

при m 2 получим

z (t ) y (t )

A( )

z ( ) y

( )

М 2

t t0

Продолжая оценивать разности на m -ом шаге получим неравенство:

t t0

z (t) y

(t)

для любого t a, b .

В пределе при m получаем

(t) y*

(t)

Итак,

z (t) y*

(t)

на a, b .

Единственность доказана.

4-ый этап.

Для получения точного решения задачи Коши (21),(22), необходимо построить

t A( ) ym 1

последовательные приближения

(t ) y0

( ) f

( ) d , m 1, ,

y0 ( ) y0

и затем взять предел от этого равенства при m .

Как было доказано

на 2-ом этапе эти приближения сходятся к точному решению y* (t ) интегрального

) (см. 1-ый этап).

уравнения ( 23 ), а значит и задачи Коши ( 21 ),( 22

При этом формула ( 26 ) дает оценку погрешности между точным решением и

приближением на m -ом шаге.

Итак, найдено единственное решение y*

(t )

поставленной задачи Коши (21),(22) . #

Замечание 4.1. Поскольку решение

y* (t )

определено на a, b , т.е. на области

определения задачи Коши, то оно является глобальным.

§ 5. Однородные системы линейных ОДУ (ОСЛОДУ).

5.1. Пространство решений однородной системы линейных ОДУ.

Рассмотрим однородную систему вида:

y (t) A(t) y (t)

a, b

( 21 )

ai j C a, b для любых i, j 1, n .

где A(t ) aij (t ) i , j 1

Лемма 5.1. Если решение системы ( 21о ) обращается в ноль хотя бы в одной точке

на a, b , то оно тривиально, т.е.			y (t ) 0	на	a, b .

# Пусть решение y y (t ) такое, что				y (t1 ) 0 .
	y	(t ) A(t) y (t ),
					.
Рассмотрим задачу Коши:	y	(t ) 0			.
	y	(t ) 0
		1

Тогда по теореме 4.1 существует единственное решение этой задачи Коши

y (t ) 0 для любого t a, b .

Обозначим через H множество решений системы ( 21о ). Из теоремы 4.1 следует,

что H . Введем операции сложения решений и умножения их на число из .

Лемма 5.2.

H – линейное пространство над множеством .

# Пусть y (t) и z (t )

– два произвольных решения системы ( 21о ). Тогда для

любых ,

линейная комбинация y

(t) z (t) есть решение системы ( 21о ),

действительно:

(t) z

(t)

y (t) z (t) A(t) y

y (t) A(t) y (t)

(t) A(t)z

(t)

0 0 0 .

Легко показать, что все 8 аксиом линейного пространства выполняются.

Итак, H – линейное пространство над множеством

Определение 5.1. Система вектор-функций 1 (t ), ..., n (t) называется

1) линейно зависимой на a, b , если существуют числа j j 1

такие, что

0 и 1 1 (t) ... n n (t) 0 на

a, b .

(*)

j 1

2) линейно независимой на a, b ,

если равенство (*) справедливо тогда и только тогда,

когда j 0 для любых

j 1, n .

Теорема 5.1. dimH n.

# Доказательство разобьем на две части.

I. Пусть dimH k n и

y1 (t), ..., yk (t ) – базис пространства H . Рассмотрим для

любого t0 a, b

значения y1 (t0 ), ..., yk

(t0 ) из

При этом система векторов

y j (t0 ) j 1

– линейно зависима, т.к. k n dim

n , т.е. существуют j j 1

такие,

что

0 , но

y j

(t0 ) 0 .

(*)

j 1

Обозначим

y (t) 1 y1 (t) ... k yk (t) , тогда в силу леммы 5.2 y (t)

является

y (t0 ) 0 .

решением системы ( 21о ), удовлетворяющим условию (*), т.е.

Тогда по лемме 5.1 y

(t) 0

на a, b ,

т.е. 1 y1

(t) ... k yk

(t) 0

для

любого t a, b ,

и при этом

0 .

Следовательно, система

y j (t ) j 1

– линейно

j 1

зависима на a, b . Это означает, что

dimH n .

II.

Пусть

e e j j 1

– базис пространства

n .

Рассмотрим задачи Коши:

y (t ) A(t ) y (t ) ,

для любого t0 a, b .

j 1, n

y (t0 ) e j

Тогда для любого

j 1, n существует единственное решение

y j (t)

соответствующей

задачи Коши.

Докажем, что вектор-функции y j (t)

образуют линейно независимую

систему y j (t) j 1 .

Доказательство проведем от противного, т.е. предположим, что система y j (t) j 1

является линейно зависимой. Тогда существуют j j 1

0 ,

j 1

y j

(t) 0

для любого t

a, b , тогда для любого t0 a, b

y j

(t0 ) 0

j 1

или je j 0

, но e j j 1

– линейно независимая система в

n , а это означает,

j 1

что e j 0

для любого

j 1, n – это противоречит предположению.

Следовательно, система

y j (t) j 1

является линейно независимой.

Тогда dimH n .

Итак,

из выводов пунктов I и II

следует равенство dimH n .

Замечание 5.1. При доказательстве пункта II использован метод построения линейно независимых решений системы ( 21о ).

Определение 5.2. Любая линейно независимая система из n решений системы ( 21о )

называется фундаментальной системой решений (ФСР) ОСЛОДУ ( 21о ) на a, b .

Следствие 5.1. ФСР для ОСЛОДУ ( 21о ) всегда существует и не одна.

# Следует из пункта II теоремы 5.1.

Определение 5.3.

Общим решением ОСЛОДУ ( 21о ) называется вектор-функция

(t,C1 ,C2 , ...,Cn )

такая, что

1) для любых C1

, … , Cn из

вектор-функция (t,C1 ,C2 , ...,Cn ) является решением

системы ( 21о );

2) для любого частного решения (t) системы ( 21о ) существуют постоянные C1 , ...,Cn

из

такие, что (t,C1 , ...,Cn ) (t) .

Пусть y j (t) j 1

Теорема 5.2.

– ФСР ОСЛОДУ ( 21о ) .

оо (t) C j y j

(t) ,

Тогда общее решение системы ( 21о )

(27 )

j 1

где

C j

– произвольные постоянные из

для любого j 1, n .

Поскольку

dimH n и H y j (t ) j 1

, которая является линейно независимой

системой, то y j (t) j 1

есть базис пространства H .

Тогда существуют C j j 1 такие,

что

(t) C j y j

(t) .

j 1

5.2. Фундаментальная матрица системы ( 21о ) и ее свойства.

y11 (t )

... yn1 (t )

Определение 5.4.

Матрица Y(t ) y

(t ), ..., y

(t )

...

... ...

y1n (t )

... ynn (t )

определенная на a, b , называется фундаментальной матрицей системы ( 21о ),

a, b .

если y1 (t ), ..., yn (t ) есть ФСР системы ( 21о ) на

Теорема 5.3. (Свойства)

Для матрицы Y(t ) справедливы следующие свойства:

d Y(t)

для любого t a, b ;

A(t) Y(t)

Y (t)

det Y(t ) 0

для любого t a, b ;

для любого t a, b существует Y-1 (t ) .

Общее решение системы ( 21о ) может быть записано в виде:

y оо (t ) Y(t )С , (28 )

где С

– произвольный постоянный вектор из

n .

5o Общее решение системы ( 21о ) можно записать еще в таком виде:

	y оо (t) Y(t) Y	-1	(t0 ) y (t0 ) для любого t0 a, b .
	y оо (t) Y(t) Y		(t0 ) y (t0 ) для любого t0 a, b .							(29 )

#	o
#	(1 ): Взяв поочередно каждый столбец матрицы Y(t ) и подставив его в ( 21о ),
получим верное векторное тождество.
								n
( 2o ) следует из линейной независимости вектор-функций ФСР y j (t) j 1									на a, b .
( 3o ) следует из свойства 2o .
( 4o ) – это есть матричная запись формулы ( 27 ) .
( 5o ): Возьмем произвольное значение						t0 a, b и положим t t0 в ( 28 ) .
Тогда y (t0 ) Y(t0 )С , откуда С Y-1 (t0 ) y (t0 ) . Подставив найденный вектор
										#
в формулу ( 28 ), получим формулу ( 29 ) .										#
Определение 5.5.			Матрица K(t, t	0	) Y(t)Y-1(t		0	) называется матрицей Коши.
				0			0
Следствие 5.1. Общее решение системы ( 21о ) может быть записано с помощью
матрицы Коши в следующем виде: y						оо (t ) K(t, t0 ) y (t0 ) для любого t0 a, b .
матрицы Коши в следующем виде: y						оо (t ) K(t, t0 ) y (t0 ) для любого t0 a, b .				(30 )

#										#
#	Формула ( 30 ) следует из формулы ( 29 ) и определения 5.5.									#
5.3.	Определитель Вронского системы вектор-функций и его свойства.

Определение 5.5. Определитель

					z11 (t )
W (t) det z	1	(t), ..., z	n	(t)	det ...
z	1		n
					z1n (t )

... zn1 (t )			t a, b
...	...	,	t a, b

...	znn (t )

называется определителем Вронского (вронскианом) для системы вектор-функций

n
z j (t) j 1	на a, b .

Теорема 5.4. Пусть Wy (t) – определитель Вронского для решений однородной


системы ЛОДУ ( 21о ) на a, b .
Тогда для любых t, t0 a, b имеет место формула Лиувилля:
			t

Wy (t) Wy (t0 )exp				Sp A( )d ,				(31 )
			t0
n
где Sp A( ) a j j ( ) –	след матрицы A( ) .
j 1							y (t)
							y (t)

# Рассмотрим W (t) det y						(t)	1
# Рассмотрим W (t) det y		1	(t), ..., y		n	(t)	det . . .	.
y		1			n

							yn (t )


			y (t )
			1
			. . .
	d Wy (t)	n
		n	d yk (t )
Тогда		det		]в силу (210 )[

	d t

		k 1	d t
			d t
			. . .

			yn (t )
			yn (t )

		y11(t )		. . .	yn1(t)
n		. . .		. . .	. . .

		akk y1k (t )	akn y1n (t )	. . . ak1 yn1(t )	akk ynk (t )
det ak1 y11	(t )
k 1		. . .		. . .	. . .

		y1n (t )		. . .	ynn (t)

akk (t) Wy (t) Wy (t)Sp A(t) .

k 1

Интегрируя начало и конец этой цепочки равенств по t , получаем

akn ynn (t )

t		а при t t0

Wy (t) C exp	Sp A( )d ,		находим C Wy (t0 ).
t0
Итак, формула ( 31 ) доказана.
Теорема 5.5.	(Свойства)
Определитель Вронского обладает следующими свойствами:
			n
1o Если система вектор-функций z j (t) j 1				линейно зависима на a, b , то

Wz (t) 0

на a, b .

			n
	o		(t) j 1 образуют линейно зависимую систему на a, b
2		Решения системы ( 21о ) y j	(t) j 1 образуют линейно зависимую систему на a, b
		тогда и только тогда, когда существует t0 a, b , для которого Wy (t0 ) 0 .
o							n	на a, b
o
3		Решения системы ( 21о ) образуют линейно независимую систему y j (t) j 1
		тогда и только тогда, когда Wy (t) 0 для любого t a, b .
					n
	o	Если для вронскиана Wy (t) системы решений y j (t) j 1
4		Если для вронскиана Wy (t) системы решений y j (t) j 1				ОСЛОДУ ( 21о ) существует
		t1 a, b , для которого Wy (t1 ) 0 , то Wy (t) 0			для любого t a, b .
		# Свойство 1o следует из того, что столбцы z1 (t ), ..., zn (t) образуют линейно
зависимую систему на a, b , а значит Wz (t) det z1					(t), ..., zn		(t) 0 для любого

t a, b .
			n
( 2o ): Необходимость. Пусть y j (t) j 1				– линейно зависимая система решений

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Ещё лекции

#
12.02.2026743.63 Кб0Глава__0.pdf
#
12.02.20261.1 Mб0Глава__I.pdf
#
12.02.20261.17 Mб0Глава__II.pdf
#
12.02.2026963.13 Кб0Глава__III.pdf
#
12.02.2026740.83 Кб0Глава__IV.pdf
#
12.02.20261.51 Mб0Глава__V.pdf
#
12.02.20263.99 Mб0ДУ-3-01.jpg
#
12.02.20263.64 Mб0ДУ-3-02.jpg