Ещё лекции / Глава__I
.pdf3.3. ОДУ, разрешенные относительно x . |
|
|
Пусть уравнение (10) можно свести к виду: x h( y, y ) . |
(14) |
|
Введем функцию p p( y) : |
p y , откуда получим dy pdx , а в силу равенства (14) |
|
x h( y, p) . |
Найдя отсюда dx , и подставив результат в равенство dy pdx , получим |
|||||||||||||
dy p( h dy h dp) или |
(1 p |
h)dy p |
h dp . |
(15) |
||||||||||
|
y |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
y |
p |
|
|
Из равенства (15) возможны следующие уравнения: |
|
|||||||||||||
|
либо |
dp |
|
|
1 phy |
|
при hp |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dy |
php |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
dy |
|
|
php |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
либо |
|
|
|
при h |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dp |
|
|
1 ph |
|
y |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оба этих уравнения есть ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной,
которые исследовались в § 2. |
|
Пусть ( y, p,C ) 0 есть общий интеграл ОДУ (15), |
||||||
|
x h( y, p) , |
|
можем получить |
|
|
|||
тогда из системы |
|
|
0 |
|
|
|||
|
( y, p,C) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
либо H ( x, y,C ) 0, если можно исключить p , |
|
|
||||||
|
x ( p,C ) |
|
|
|
|
. |
(16) |
|
|
, если y выражается из ( y, p,C ) 0 в явном виде |
|||||||
либо |
|
|
||||||
|
y ( p,C ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3.3. Решить дифференциальное уравнение: х 3( y )2 2 y . Решение. Обозначим y p , тогда из заданного уравнения получим равенство
х 3 p2 2 p . Продифференцировав это равенство, получим dx 6 pdp 2dp . (*) Замену перепишем по-другому: dy pdx .
Умножив равенство (*) на p , получим dy p(6 p 2)dp – это ОДУ с разделяющимися
переменными, решением которого будет функция y 2 p3 p2 |
С . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
х 3 p2 |
2 p , |
|
. |
|||
Окончательно получим решение в параметрическом виде: |
|
3 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
y 2 p |
|
p |
|
|
С |
|
|
3.4. |
ОДУ вида F ( x, y ) 0 или вида F ( y, y ) 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
I. Пусть F ( x, y ) 0 . |
|
|
|
|
|
(17) |
|||
При этом возможны случаи: |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
y f ( x) . |
Это уравнение было исследовано в § 2. |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
x h( y ) . |
Это уравнение исследовалось в пункте 3.3. |
|
|
|
|
|
|
|
в) F ( x, y ) 0 .
Пусть существуют функции (t ), (t ) такие, что F ( (t ), (t )) 0 .
Тогда положим x (t ) , y (t ) , откуда dy (t )dx или dy (t ) (t )dt . Проинтегрируем это уравнение и получим его решение в виде:
y (t) (t)dt С (t, С ) .
Следовательно, общее решение уравнения (17) задается в параметрическом виде:
х (t),
y (t,С) .
II. Пусть F ( y, y ) 0 . |
(18) |
||
Рассмотрим следующие возможные случаи: |
|
||
а) |
y f ( y) . |
Это уравнение исследовалось в § 2. |
|
б) |
y g( y ). |
Это уравнение было исследовано в пункте 3.2. |
|
в) F ( y, y ) 0 . |
|
||
Пусть существуют функции (t ), (t) такие, что F ( (t ), (t )) 0 . |
|||
Тогда положив y (t ) , y (t ) , получим dy (t )dx |
или (t )dt (t )dx . |
||
После разделения переменных и интегрирования получим
x(t) dt С (t,C ) .
(t)
Итак, общее решение уравнения (18) задается в параметрическом виде:
х (t,С ), |
. |
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
y |
|
|
|
|
3.5. Особые решения ОДУ первого порядка. |
|
|||
|
Рассмотрим задачу Коши: |
Найти функцию y y( x) , удовлетворяющую уравнению |
||
|
|
|
F ( x, y, y ) 0 на G |
(10) |
и начальному условию |
y( x0 ) y0 . |
(2) |
||
Определение 3.1. Интегральная кривая ОДУ (10) называется особой, если в любой ее точке нарушается единственность решения задачи Коши (10),(2) .
Решение ОДУ (10), которому соответствует эта кривая называется особым решением.
Пусть ( x, y, С ) 0 есть общий интеграл ОДУ (10),
Определение 3.2. Для однопараметрического семейства кривых
( x, y, С ) 0 |
|
(19) |
|||||
x u(t) |
, u |
2 |
v |
2 |
0 , |
t , |
называется огибающей семейства |
гладкая кривая: |
|
|
|||||
y v(t) |
|
|
|
|
|
|
|
(19), если в любой точке u(t ),v(t ) |
она касается кривой из семейства (19) и отлична от |
||||||
нее в сколь угодно малой окрестности этой точки.
Утверждение 3.1.
решением системы
Если существует огибающая семейства (19), то она является
( x, y,С ) 0
( x, y,С ) 0 .
С
# Доказательство было проведено в курсе математического анализа. |
# |
Замечание 3.2. Если семейство ( x, y, С ) 0 интегральных кривых ОДУ (10) |
|
имеет огибающую, то эта интегральная кривая является особой. |
|
Пример 3.3. Для уравнения Лагранжа особым решением является решение системы:
y xq(t) r(t) , |
|
|
|
y t r (t) r(t ) , |
. |
||
|
, а для уравнения Клеро – решение системы: |
|
|
q(t) t 0 |
x r (t) |
|
|