Ещё лекции / Глава__I

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление

Файл:

( x) С( x)exp

b(t)dt , где С ( x)

– неизвестная функция.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2026

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Глава I

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

§ 1. Общие понятия.

1.1. Обозначения.

Промежуток a, b – любое из множеств a, b a, b , a, b , a, b , a, b ,

где a b .

m – m-мерное евклидово пространство.

C(D) – класс функций непрерывных на множестве D .

	Cn (D) – класс функций				y y( x) : y, y , y , ..., y( n) C(D) .
1.2. Определения и примеры.
	Пусть F( x, p0 , p1 , ..., pn )				– функция n+2 независимых переменных
( x, p , p ,..., p ) G				n 2 ,	x a, b .
0		1	n
	Определение 1.1.			Равенство F( x, y( x), y ( x), ..., y( n) ( x)) 0 (*) при условии
	F	0	x a,b	называется обыкновенным дифференциальным уравнением

	y( n)

(ОДУ) n-ого порядка относительно искомой функции y y( x) , определенной на a, b .

Примеры 1.1. (1)

y 3 y(4 ) y5 cos( x) 0 .

(2)

(1 cos

sin

d 6 y

5 d 3 y

0 .

dx6

dx3

(3)

y(t) 3 y(t) y(t) ln t 0 .

Определение 1.2.

Пусть F C(G) . Решением (частным решением) ОДУ (*)

называется функция

y ( x) такая, что:

Cn ( a, b ) ;

(n)

( x)) G

x a, b ;

( x, ( x), ( x), ...,

( n)

( x)) 0

( x a,b

F( x, ( x), ( x), ...,

Определение 1.3. График решения y ( x) ОДУ (*) на плоскости называется

интегральной кривой уравнения (*).

Замечание 1.1. ОДУ (*) в общем случае есть неразрешенное относительно старшей производной y(n) .

ОДУ y( n) ( x) f ( x, y( x), y ( x), ..., y( n 1) ( x)) является разрешенным относительно старшей производной y(n) .

§ 2. ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Задача Коши.

2.1. Задача Коши. Теорема существования и единственности.

Пусть дано ОДУ

	y ( x)	dy	f ( x, y) ,	( x, y) D		2			(1)
	y ( x)		f ( x, y) ,	( x, y) D					(1)
		dx
или	P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 ,				( x, y) D		2	.
или	P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 ,				( x, y) D			.	1
Функции f , P, Q определены на области D 2 .
Задача Коши: Найти решение					y ( x) ,	C1 ( a, b )			ОДУ (1), удовлетворяю-
щее условию:
	( x0 ) y0 , ( x0 , y0 ) D .								(2)

Определение 2.1. Условие (2) называется начальным условием, а значения x0 , y0

– начальными данными или данными Коши.

Геометрическая интерпретация: Решить задачу Коши – это значит найти интегральную кривую, проходящую через точку ( x0 , y0 ) .

Замечание 2.1. При компьютерном построении решения задачи Коши применяется метод изоклин, который заключается в том, что в области D строится поле направлений, т.е. поле касательных

( ( x, y) D y f ( x, y) k ). Затем, используя поле касательных, строятся интегральные кривые, из которых выбирается та, которая проходит через точку ( x0 , y0 ) .

	Замечание 2.2. Решение задачи Коши может быть записано в виде:
1)	y ( x) – явный вид;
2)	( x, y) 0 – неявный вид;
3)	x (t ),	– параметрический вид.

	y (t )

Теорема 2.1. (Теорема существования и единственности (ТСЕ))

Пусть f , fy C(D) .

Тогда для любой точки ( x0 , y0 ) D существует единственное решение

y ( x) задачи Коши, определенное на некотором промежутке , a,b : x0 , .

#Доказательство будет проведено позже. #

2.2.Общее решение. Общий и частный интегралы.

Пусть в уравнении (1) f ,		f	C(D) ,	D	2 .

		y
Определение 2.2.	Общим решением ОДУ (1) называется функция вида y ( x, С ) ,
где С – произвольная постоянная такая, что
1) для любой фиксированной С функция					y ( x, С ) , x a, b	является решением
ОДУ (1);
2) для любого частного решения y ( x) ОДУ (1) существует постоянная С такая,
что ( x,С) ( x)	на a, b .
Определение 2.3.	Пусть функция ( x, y, z) определена на множестве D .
Тогда соотношение вида:				( x, y, С ) 0		(3)
называется общим интегралом ОДУ (1),				если функция y , найденная из условия (3),
является общим решением ОДУ (1).
Если в соотношении (3) С принимает конкретное значение из						, то это соотношение
называется частным интегралом ОДУ (1).

Пример 2.1. Пусть дано уравнение	y	2x	, x	1;5
Пример 2.1. Пусть дано уравнение	y	3 y2	, x	1;5
		3 y2
Найдем его решение.
Перепишем это уравнение в виде 3 y2dy 2xdx			и проинтегрируем обе его части.

Тогда получим y3 x2 С , откуда получим общий интеграл вида y3 x2 С 0 ,

а функция y 3x2 С является общим решением заданного уравнения.

2.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Определение 2.4. Уравнение вида y f1 x f2 y называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Поставим для данного уравнения задачу Коши:
y f1 x f2	y ,	x a, b	,	y c, d	(4)
y( x0 ) y0 ,	x0	a,b ,	y0 c,d		(2)
Теорема 2.2. (ТСЕ)
Пусть f1 C( a,b ) ,		f2 C( c,d	) ,	f2 y0 0 .
Тогда существует окрестность U( x0 , y0 )				точки ( x0 , y0 ) ,	в которой задача Коши (4),(2)

имеет единственное решение.

# Пусть

такая, что f2 y0 0 , тогда существует окрестность U( y0 ) этой точки,

в которой

f2 y 0 y U( y0 ) . В этом случае условие (4) можно переписать в виде

f1 x dx .

В силу приведенных выше условий существуют первообразные

f2 y

F2 y

f1 x dx , откуда F2 y F1 x С

т.е.

f2 y

F2 y F1

x С 0 – это есть общий интеграл уравнения (4).

При подстановке точки ( x0 , y0 ) . получим С F2 y0 F1 x0 ,

а из общего интеграла

получим частный интеграл вида

F2 y F1 x F2 y0 F1 x0 0 ,

который

является решением поставленной задачи Коши в неявной форме.

В этой записи функция F2 y

непрерывна и монотонна в U( y0 ) .

Тогда по теореме о

неявной функции существует единственная функция y F2-1 F1 x F2

y0 F1 x0 ,

которая является решением поставленной задачи Коши в явном виде.

Замечание 2.1. Если f2 y0 0 , то решение задачи Коши (4),(2) может быть

неединственным. Одним из решений будет функция y y0 .

Пример 2.2. Решить задачу Коши:

y(2) 4 .

Решение.

Перепишем уравнение в виде ydy xdx , тогда

x2 С .

Подставив в это равенство данные Коши, получим соотношение

4 С ,

из которого С 6 .

Окончательно y2 x2 12

есть решение поставленной задачи Коши в неявном

виде, а

x2 12

– решение в явной форме.

2.4. Однородные ОДУ.

Определение 2.5. Функция

f ( x, y) называется однородной степени m , если

выполняется равенство

f (tx, ty) t m f ( x, y) .

Уравнение

y f ( x, y) ,

(5)

где f ( x, y)

– однородная функция степени 0 называется однородным обыкновенным

дифференциальным уравнением.

Замечание 2.2. Уравнение

P( x, y)dx Q( x, y)dy 0

является однородным, если функции P( x, y) и Q( x, y) есть однородные функции одной и той же степени.

Теорема 2.3.		(ТСЕ)
Пусть f ,	f	C(D) ,	Пр0 x D (a, b) .
	y

Тогда существует единственное решение задачи Коши (5),(2) в промежутке

, a, b .

# Пусть f ( x, y)	– однородная функция степени 0 , тогда перепишем ее в виде
f ( x, y) f ( x 1, x	y	) x0	f (1,	y	) g(z) ,	где z	y	. Из последнего равенства

	x			x			x

получаем y z( x) x , откуда y z x z . Из уравнения (5) следует равенство

z x z g(z) или	z	g(z) z	(*).
		x

Рассмотрим два возможных случая:

1) Пусть g(z) z на a, b , тогда в силу (*)

dz g(z) z , а это есть ОДУ с dx x

разделяющимися переменными. Тогда по теореме 2.2 существует единственное

решение задачи Коши (5),(2) на некотором интервале ,				a, b .
2) Пусть	g(z) z на	a, b	, тогда из уравнения (5) получим		dy		y	, которое вновь
					dx	x

является ОДУ с разделяющимися переменными, а, следовательно, по теореме 2.2

существует единственное решение задачи Коши (5),(2) на некотором интервале

, a,b .							#
Пример 2.3. Решить следующие ОДУ:
а) ( x y) y x y – однородное уравнение первой степени.
			y			y
Решение. Предполагая x 0, вынесем x за скобки	x	1		y x	1		и,
Решение. Предполагая x 0, вынесем x за скобки	x	1		y x	1		и,
			x			x

обозначив z

и y z x z , получим

(1 z)(z x z ) 1 z . Из этого равенства

следует уравнение z

1 2z z2

После разделения переменных и интегрирования

получим

2 (z 1)2

1 x y

2 z 1

ln(Cx)

или

ln(Cx)

– это общий интеграл

2 z 1

2 1 x y

данного уравнения.

б) y y x – однородное уравнение нулевой степени. x

Решение. Произведем замену z

y z x z , тогда исходное уравнение

принимает вид z x z z 1

или

. Разделив переменные и

проинтегрировав dz

получим общее решение вида z ln(Cx) , а общее

решение исходного уравнения имеет вид

y x ln(Cx) .

Замечание 2.3.

К однородным ОДУ сводятся уравнения вида

y f

1 x 2 y 3

2.5. Линейные ОДУ первого порядка.
Определение 2.6. Уравнение
y b( x) y g( x) ,	(6)
называется линейным ОДУ первого порядка в общем виде.
При этом, если g( x) 0 , то уравнение y b( x) y 0	(60 )
называется однородным линейным ОДУ первого порядка, в противном случае
уравнение (6) называется неоднородным.
Теорема 2.4. (ТСЕ)
Пусть b, g C( a,b ) .
Тогда для любых начальных данных ( x0 , y0 ) a,b c,d	существует единственное
решение задачи Коши (6), (2).
# Доказательство разобьем на две части.

Сначала докажем существование решения задачи Коши (6),(2); которое будем искать в виде суммы общего решения ОДУ (60 ) и частного решения ОДУ (6), т.е.

yон yоо yчн
Решим вначале однородное ОДУ (60 )		y b( x) y ,
общим решением которого будет функция
оо				x
оо
y ( x) С exp	b( x)dx		С exp		b(t)dt .
				x0

Далее применим метод вариации постоянной: будем искать частное решение ОДУ (6)

		x

Найдем y	( x) С ( x)exp		b(t)dt
		x0

С( x)b( x)exp b(t)dt .

Подставим эти равенства в (6)

С( x)exp b(t)dt

С( x)b( x)exp

		x
b(t)dt	b( x)С( x)exp		b(t)dt	g( x)

		x0

или после сокращений получим С ( x)

Интегрируя это равенство найдем С( x)

Окончательно получим

			x

g( x)exp				b(t)dt .
		x0
	x				u

		g(u)exp				b(t)dt du .
	x0			x0

			x

y( x) С exp
			x0
	x		x

С exp		b(t)dt
	x0		x0

				x		x		u

b(t)dt	exp				b(t )dt		g(u)exp		b(t )dt du
			x0		x0		x0
		x0

g(u)exp			b(t )dt du , что является общим решением ОДУ (6).
		u

Положив x x0 , находим С y0 .			Следовательно, найдено решение задачи Коши (6),(2)
в виде:
	x			x		x0

y( x) y0 exp		b(t)dt			g(u)exp		b(t)dt du .
	x0			x0		u

Перейдем к доказательству единственности. Доказательство проведем от противного.

Пусть y y( x) – еще одно решение задачи Коши (6),(2), т.е. оно удовлетворяет условиям:

y b( x) y g( x),		.
	y0
y x0

Вычитая данное уравнение из условия (6), а начальное условие – из условия (2), получим


	( y y) b( x)( y y) 0,
задачу:				w ( x) b( x)w( x) 0,			, где	w y y .
				или
	y( x0 ) y x0 0			w( x0 )		0
Но полученная задача в силу теоремы 2.2 имеет единственное решение w( x) 0 ,
а, следовательно,		y( x) y( x) . Итак, единственность тоже доказана.						#
	Замечание 2.4.	К линейным ОДУ сводятся уравнения:
1)	уравнение Бернулли:		y b( x) y q( x) y 0 ,			и
2)	уравнение Риккати:		y b( x) y q( x) y2		g( x) .

2.6. ОДУ в полных дифференциалах.
Определение 2.7. Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 ,	(7)

называется ОДУ в полных дифференциалах, если существует функция u( x, y) такая,

что du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy .

Утверждение 2.1. Выражение P( x, y)dx Q( x, y)dy является полным дифференциалом некоторой функции u( x, y) в области D тогда и только тогда,

когда P	Q	в этой области.
y	x
# Это утверждение доказывается в математическом анализе.						#
Теорема 2.5.		(ТСЕ)
Пусть в ОДУ (7) P,Q C1 (D) , D – односвязная область в 2 ,			и	P	Q	в этой
				y	x

области.

Тогда для любых начальных данных ( x0 , y0 ) D существует единственное решение задачи Коши (7), (2).

# В силу утверждения 2.1 существует функция u( x, y)

du( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy , при этом u P( x, y) , а

такая, что

u Q( x, y) . (*)

Тогда находим функцию u( x, y) , интегрируя первое равенство из (*) u( x, y) P( x, y)dx R( y) x P(t, y)dt R( y) .

		x0
Далее	u	x	P
Далее		В силу теоремы 0.5		(t, y)dt R ( y)
Q( x, y)	y	В силу теоремы 0.5	y	(t, y)dt R ( y)
	y	x	y
		0

Q( x, y) Q( x0 , y) R ( y)

Сравнивая начало и конец этой цепочки равенств, получаем

			y
а тогда	R( y)			Q( x		, s)ds C .
					0
		y0
				x			y
Итак,	u( x, y)				P(t, y)dt			Q( x	, s)ds C .
								0
			x0				y0

В силу уравнения (7) и равенства (8), получаем выражение

x Q (t, y)dt R ( y)

x0 t

R ( y) Q( x0 , y) ,

(8)

которое является общим интегралом уравнения (7), а, положив x x0 , y y0 ,

		x		y
получим C1 0	, и, следовательно, выражение		P(t, y)dt		Q( x , s)ds 0
					0
		x0		y0

является частным интегралом уравнения (7) или решением задачи Коши (7),(2) в

неявном виде. Существование доказано.

Единственность следует из того, что интеграл от полного дифференциала не

зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек интегрирования. #

Замечание 2.5. Аналогично можно вывести формулу:

	y		x
u( x, y)		Q( x, s)ds		P(t, y0 )dt		С .	(9)
u( x, y)		Q( x, s)ds		P(t, y0 )dt		С .	(9)
	y0		x0
Замечание 2.6. Иногда условие				P	Q	не выполняется, но уравнение (7) может
				y	x

быть приведено к ОДУ в полных дифференциалах умножением этого уравнения на

некоторую функцию ( x, y) 0 ( x, y) D , C1 (D) .					Эту функцию называют
интегрирующим множителем.
Итак, условие P			Q не выполняется, умножим уравнение (7) на такую ( x, y) ,
		y	x
что для уравнение ( x, y)P( x, y)dx ( x, y)Q( x, y)dy 0					будет ОДУ в полных
дифференциалах, для которого выполнено ( P)				( Q)	или получим уравнение
			y	x
	P P	Q Q , из которого порой можно определить функцию ( x, y) .
y	y	x	x

Пример 2.4. Решить следующие ОДУ:

(2x3 xy2 )dx ( x2 y 2 y3 )dy 0 .

Решение Проверим

2xy

2 xy , следовательно это ОДУ в полных

дифференциалах.

Найдем функцию u( x, y)

(2t 3

ty2 )dt

( x2 s 2s3 )ds C

x2 y2

y4 C .

Тогда x4 x2 y2 y4 C 0 есть общий интеграл заданного уравнения.

§ 3. ОДУ первого порядка, неразрешенные относительно производной.

Рассмотрим уравнение вида:

F ( x, y, y ) 0 на G ,

x (a, b) Пр0 x G

(10)

3.1. ОДУ, поддающиеся разрешению относительно производной.

Пусть в равенстве (10) F 0 на G , и из равенства (10) можно выделить уравнения

вида y fk ( x, y) , k 1, m . (1k ) Тогда для любого k 1, m уравнения (1k ) являются ОДУ, разрешенные относительно производной y (см. материал из § 2).

	Пример 3.1. Решить дифференциальное уравнение: ( y )2 4x2 0 .
Решение.			Решая это уравнение как квадратное, получим два вида уравнений:
1)	y	2 x	,	откуда	y x2 С ;
	1				1	1
2)	y	2x ,		откуда	y	x2 С	2	.
	2				2		2

Ответ состоит из двух общих решений.

3.2. ОДУ, разрешенные относительно y .

Пусть уравнение (10) можно свести к виду:

y g( x, y ) .

(11)

Тогда введем новую функцию p p( x) :

y p( x) , с помощью которой из уравнения

(11) получим

y g( x, p) .

(11 )

Продифференцируем (11 ) по x и получим y

g p

или p g

(12)

p dx

p gx

при g p

либо

g p

Отсюда возможны уравнения

g p

либо

при g

p g

А каждое из этих уравнений исследовалось в § 2.

Предположим, что ( x, p,C ) 0 есть общий интеграл ОДУ (12), тогда для системы

y g( x, p) ,

возможны случаи

( x, p,C)

либо ( x, y,C ) 0,

если можно исключить p ,

x ( p,C )

(13)

если x выражается из ( x, p,C ) 0

либо

y ( p,C )

Пример 3.2. Решить дифференциальное уравнение: y ( y )2 cos y .

Решение.

Обозначим y p( x) , тогда

y p2 cos p . Дифференцируем это равенство

, откуда

2 pp cos p p

p sin p или p (2 p cos p p

sin p) p

откуда после сокращения на

p получаем

dx (2 cos p p sin p)dp .

Следовательно, после интегрирования получаем

x 2 sin p p cos p sin p C sin p p cos p C .

Итак, параметрически заданное решение имеет вид:

x sin p p cos p C

cos p

Замечание 3.1. К ОДУ типа (11) относятся уравнения

Лагранжа:

y xq( y ) r( y )

и 2) Клеро:

y xy r( y ) .

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Ещё лекции

#
12.02.2026743.63 Кб0Глава__0.pdf
#
12.02.20261.1 Mб0Глава__I.pdf
#
12.02.20261.17 Mб0Глава__II.pdf
#
12.02.2026963.13 Кб0Глава__III.pdf
#
12.02.2026740.83 Кб0Глава__IV.pdf
#
12.02.20261.51 Mб0Глава__V.pdf
#
12.02.20263.99 Mб0ДУ-3-01.jpg