Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление

Файл:

Ещё лекции / Глава__0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2026

Размер:

743.63 Кб

Скачать

☆

Глава 0 Интегралы, зависящие от параметра

§ 01. Собственные интегралы.

01.1. Определение интегралов, зависящих от параметра.

Пусть x a, b

, y c, d .

Определение 01.1.

Пусть функция f ( x, y) определена на a, b c, d G , и

для любого x a, b

f ( x, y) интегрируема по

y на c, d .

Тогда функция F ( x) d

f ( x, y)dy

(01)

определенная на a, b , называется интегралом, зависящим от параметра x .

Пример 01.1. Функция

F ( x) 1

2x2 ydy x2 есть интеграл, зависящий от

параметра x .

01.2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.

Теорема 01.1. Пусть функция

f ( x, y) непрерывна на a, b c, d G .

Тогда функция F ( x)

непрерывна на a, b , и при этом для любого x0 a, b

имеет

место следующее равенство lim

f ( x, y)dy

lim

f ( x, y)dy

f ( x0 , y)dy .

(02)

x x0

# Пусть f C

, тогда по теореме Кантора f ( x, y) – равномерно непрерывная

существует ( ) 0 такое,

функция на G относительно y , т.е. для любого

x x0

следует неравенство

что для любых точек ( x, y),( x0 , y) G , для которых

f ( x, y) f ( x0 , y)

что для любых точек x, x0 a, b ,

Тогда для любого 0

существует 0 такое,

для которых

x x0

следует неравенство

F ( x) F ( x0 )

f ( x, y) f ( x0 , y)

dy .

d c

Итак, формула (02) следует из равенства lim F ( x) F ( x0 ) .

x x0

Теорема 01.2. Пусть функция

f ( x, y) C a, b c, d , , C a, b

c ( x) ( x) d для любого x a, b .

( x )

Тогда функция F ( x)

f ( x, y)dy является непрерывной функцией на a, b .

( x )

# Возьмем любое фиксированное x0 a, b

и обозначим ( x0 ) 0 , ( x0 ) 0 .

( x )

Тогда рассмотрим F ( x)

f ( x, y)dy

f ( x, y)dy f ( x, y)dy .

( x )

Поскольку f C

, то по теореме Вейерштрасса существует константа М , для

которой справедливо следующее неравенство

f ( x, y)

М .

Оценим интегралы:

( x )

f ( x, y)dy

0 при x x0 ,

( x) 0

f ( x, y)dy

( x) 0

т.к. , C a, b . А по теореме 01.1

f ( x, y)dy

f ( x0 , y)dy при x x0 .

x x0

( x0 )

Итак, окончательно получаем

lim F ( x)

f ( x

, y)dy

для любого x

a, b

( x0 )

01.3. Интегрирование интегралов, зависящих от параметра.

Теорема 01.3. Пусть функция

f ( x, y)

непрерывна на a, b c, d G .

Тогда существует b F ( x)dx

b dx d

f ( x, y)dy d dy b

f ( x, y)dx f ( x, y)dxdy .

(03)

# В силу теоремы 01.1 F ( x) является непрерывной функцией на a, b . Тогда она

интегрируема на a, b , т.е. существует

b F ( x)dx b dx d

f ( x, y)dy d dy b

f ( x, y)dx f ( x, y)dxdy .

xb xa

Пример 01.2.

Вычислить следующий интеграл

ln x

Решение.

Преобразуем этот интеграл

xb xa

dx 1 dx b

x ydy b dy 1 x ydx b

b 1

ln x

0 a

y 1

a 1

Теорема 01.4. Пусть функция		f ( x, y) C a, b c, d ,	, C a, b ,
c ( x) ( x) d для любого x a, b .
b	b	( x )
Тогда существует F ( x)dx	dx f ( x, y)dy .
a	a	( x )
# Следует из теоремы 01.2, т.к.		F C a, b .	#

01.4. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Теорема 01.5. Пусть

f ,

C G

Тогда для любого x a, b существует производная

F ( x)

d f ( x, y)dy d

f ( x, y) dy .

(04)

Поскольку x C G , то в силу теоремы 01.1 можно ввести функцию

g( x)

x ( x, y)dy C a, b .

При этом функция g( x)

будет интегрируемой на a, b .

Зафиксируем любое x0 a, b

и рассмотрим для любого x a, b интеграл с

переменным верхним пределом

J ( x)

g(t)dt

(t, y)dy dt

]по теореме 01.3[

(t, y)dt

f ( x, y)dy

f ( x0

, y)dy .

(*)

Значит J C1 a, b

тогда найдем

Дифференцируя первое равенство выражения (*) и последнее, получаем

, а с учетом обозначения функции g( x) доказываем формулу (04),

g( x)

f ( x, y)dy

т.е. d f ( x, y) dy

f ( x, y)dy .

Теорема 01.6. Пусть f , fx C G , , x a, b .

Тогда для любого x a, b

d	( x )			f ( x, ( x)) ( x)
			f ( x, y)dy

dx		( x )

C1 a, b , c ( x) ( x) d для любого

	( x )	f ( x, y) dy .
f ( x, ( x)) ( x)		f ( x, y) dy .	(05)
	( x )	x
	( x )

Зафиксируем произвольное x0 a, b и обозначим ( x0 ) 0 , ( x0 ) 0 .

( x )

Рассмотрим функцию F ( x)

f ( x, y)dy и найдем ее производную

( x )

F ( x) F ( x0 )

( x )

( x0 )

F ( x) lim

lim

f ( x, y)dy

f ( x

, y)dy

x x

x x0

x x

x x0

( x )

x x

f ( x, y)dy ]по теореме 01.2[

lim

x x0

f ( x, y) f ( x

, y)

f ( x, y)dy

( x0

, y)dy

lim

( x )

f ( x, y)dy lim

( x )

f ( x, y)dy

x x0

f ( x0 , 0 ) ( x0 ) f ( x0 , 0 ) ( x0 ) .

( x0

, y)dy

Это справедливо, т.к. по теореме о среднем

( x )

f ( x, y*) ( x) ( x0 ) f ( x

lim

f ( x, y)dy lim

) ( x

) ,

x x0

1 .

где

( x) ( x )

( x )

Аналогично,

lim

f ( x, y)dy

f ( x0 , 0 ) ( x0 ) .

x x0

А поскольку x0

– любое из a, b

теорема доказана.

Замечание 01.2.

При доказательстве теорем 01.5 и 01.6 у нас x a, b .

Производная в концевых точках понимается как односторонняя.

Пример 01.3. Найти производную

x e y x dy x e y x dy e x2 x 2x 1 .

§02. Несобственные интегралы.

02.1.Равномерная сходимость несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра.

				Рассмотрим интеграл d
Пусть ( x, y) G a, b c, d .				Рассмотрим интеграл d		f ( x, y)dy .
					c

Определение 02.1. Пусть 1) функция f ( x, y)					определена на a, b c, d G ,
и неограничена на a, b d , d				для любого 0 ( d – неподвижная особенность);
			d
2) для любого 0 существует				f ( x, y)dy F	( x) (как собственный интеграл,
2) для любого 0 существует				f ( x, y)dy F	( x) (как собственный интеграл,
			c
зависящий от параметра x );
3) для любого x a, b существует lim F ( x) ( x) .
				0
Тогда интеграл
	( x) d	f ( x, y)dy				(06)
	c

называется несобственным интегралом второго рода, зависящим от параметра

x a, b .

Определение 02.2. Несобственный интеграл (06) называется равномерно сходящимся

относительно x a, b ,

если 0

: 0 d c ;

при этом (0, )

справедливо неравенство

f ( x, y)dy

для любого x a, b .

(07)

Теорема 02.1. (Критерий равномерной сходимости)

Несобственный интеграл ( x) d

f ( x, y)dy с неподвижной особенностью d

равномерно сходится относительно x a, b

тогда и только тогда, когда выполнено

условие Коши: 0

d c ; при этом для любых , таких, что

справедливо неравенство

f ( x, y)dy

для любого x a, b .

(08)

# Необходимость. В силу (07) 0

(0 d c) :

для любых , :

следуют неравенства

f ( x, y)dy

Тогда

f ( x, y)dy

Достаточность. Условие (07) следует из условия (08) при

0 ,

Теорема 02.2. (Мажорантный признак Вейерштрасса)

Пусть

1) в интеграле (06) функция

f ( x, y)

имеет в точке d неподвижную особенность

x a, b

;

2) существует функция g( y) 0 такая, что

f ( x, y)

g( y) для любой точки

( x, y) G a, b c, d ;

3) интеграл d

g( y)dy сходится как несобственный.

Тогда интеграл (06) сходится равномерно относительно x a, b .

# Интеграл d

g( y)dy сходится тогда и только тогда, когда 0

d c) :

(0, )

следует неравенство

g( y)dy .

Тогда для любого x a, b

f ( x, y)dy

f ( x, y)

dy d

g( y)dy

Следовательно, интеграл ( x) d

f ( x, y)dy сходится равномерно относительно

x a, b .

const

Следствие 02.1.

Если

f ( x, y)

, 1,

то интеграл f ( x, y)dy

d y

сходится равномерно относительно x a, b .

cos( xy)

Пример 02.1. Исследовать на равномерную сходимость интеграл

dy .

Решение.

Этот интеграл сходится равномерно относительно x

, т.к.

cos(

xy)

02.2.Непрерывность несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра.

Теорема 02.3. Пусть

1)в интеграле (06) функция f ( x, y) имеет в точке d неподвижную особенность;

2)f ( x, y) непрерывна на a, b c, d ;

3)несобственный интеграл (06) сходится равномерно относительно x a, b .

Тогда ( x) d

f ( x, y)dy

– непрерывная функция на a, b , и для любого x0 a, b

существует

lim

f ( x, y)dy

lim f ( x, y)dy

f ( x

, y)dy .

(09)

x x

# Рассмотрим

f ( x, y)dy

f ( x, y)dy F ( x) ( x) .

Тогда по теореме 01.1

F ( x) C a, b , т.е. для любого x0 a, b

0 существует

1 1( , x0 )

такое, что для любого x a, b :

x x0

1 следует

F ( x) F ( x0 )

Поскольку интеграл (06) сходится равномерно относительно x a, b , т.е. 0

(0, d c) для любого x a, b следует

f ( x, y)dy

( x)

Итак, 0

0 :

min 1 , такое, что для любого x a, b :

x x0

F ( x) F ( x0 ) ( x) ( x0 )

F ( x) F ( x0 )

следует

( x) ( x0 )

( x )

( x)

Следовательно, интеграл ( x) d

f ( x, y)dy является непрерывной функцией по x a, b ,

и из последнего неравенства следует формула (09).

02.3.Интегрируемость несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра.

Теорема 02.4. Пусть

1)в интеграле (06) функция f ( x, y) имеет в точке d неподвижную особенность;

2)f ( x, y) непрерывна на a, b c, d ;

3)несобственный интеграл (06) сходится равномерно относительно x a, b .

Тогда ( x) d	f ( x, y)dy является интегрируемой функцией.
c
При этом существует b ( x)dx b dx d			f ( x, y)dy d dy b	f ( x, y)dx f ( x, y)dxdy . (010)
	a	a c	c a	G

# Интеграл ( x) d

f ( x, y)dy по условию 3) сходится равномерно, т.е. 0

(0 d c) : (0, )

для любого x a, b

следует неравенство

f ( x, y)dy

Рассмотрим функцию ( x) f ( x, y)dy

f ( x, y)dy

f ( x, y)dy F ( x) ( x) .

По теореме 02.3

C a, b ,

тогда существует интеграл ( x) d

f ( x, y)dy .

Откуда следует, что

f ( x, y)dy

F ( x)dx ( ) ,

( ) 0 при 0 .

где

( )

( x)dx

f ( x, y)dy

(b a) , следовательно,

А по теореме 01.3 собственный интеграл dx

f ( x, y)dy

dy f ( x, y)dx .

Следовательно,

( x)dx lim

f ( x, y)dx lim ( ) , а это означает, что

справедлива формула (010) .

02.3.Дифференцируемость несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра.

Теорема 02.5. Пусть

1)в интеграле (06) функция f ( x, y) имеет в точке d неподвижную особенность;

2)функции f ( x, y), fx ( x, y) непрерывны на a, b c, d ;

3) несобственный интеграл (06) ( x) d

f ( x, y)dy сходится для любого x a, b ;

d f

4) интеграл x ( x, y)dy сходится равномерно относительно x a, b .

Тогда существует производная

f ( x, y)dy

( x, y)dy .

(011)

# По теореме 02.4 функция g( x) d

( x, y)dy непрерывна, а значит, и интегрируема

по x a, b , тогда для любых x, x0

a, b

существует интеграл J ( x) x

g(t )dt

f ( x0 , y)dy ,

(t, y)dy ]в силу формулы (010)[

(t, y)dt

f ( x, y)dy

но J ( x) x			g(t )dt есть интеграл с переменным верхним пределом, следовательно,
		x0
J C1 a, b , т.е. существует непрерывная производная J ( x) или
	d x			d d
		g(t)dt g( x)			f ( x, y)dy , а второе равенство из этой цепочки доказывает

	dx x			dx c
0
формулу (011).				#

Замечание 02.1. Теорема 02.5 справедлива и в случае, когда условие 3) имеет вид:

3) существует x0 a, b	такое, что интеграл ( x0 ) d	f ( x0 , y)dy сходится.
	c

02.5.Равномерная сходимость и свойства несобственных интегралов первого рода, зависящих от параметра.

Пусть ( x, y) a, b c, .

Определение 02.3. Пусть 1) функция f ( x, y) определена на a, b c, ,

для любого c (особенность в );

2) для любого c существует интеграл f ( x, y)dy F ( x) для любого x a, b (как

	c
собственный интеграл, зависящий от параметра x a, b );
3) существует lim F ( x) ( x)	для любого x a, b .

Тогда интеграл

( x) f ( x, y)dy		(012)

называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра x a, b .

Определение 02.4. Интеграл (012) называется равномерно сходящимся

относительно	x a, b ,	если 0		существует	c :	следует



неравенство	f ( x, y)dy		для любого x a, b .

Замечание 02.1. Для интеграла (012) справедливы критерий равномерной сходимости и мажорантный признак Вейерштрасса.

Утверждение 02.1. (Свойства несобственных интегралов первого рода).

Для интеграла (012): ( x) f ( x, y)dy справедливы следующие свойства:

1о

Если 1) функция

f ( x, y)

непрерывна на a, b c, c , т.е.

f С( a, b c, ) c ;

2) интеграл (012) сходится равномерно относительно x a, b .

Тогда функция ( x)

непрерывна на a, b , и для любого x0 a, b

справедливы

равенства: lim

f ( x, y)dy

lim f ( x, y)dy

f ( x

, y)dy .

(013)

x x

2о

Если 1) функция

f ( x, y)

непрерывна на a, b c, c ;

2) интеграл (012) сходится равномерно относительно x a, b .

Тогда функция ( x)

интегрируема на a, b , и существует интеграл

( x)dx dx

f ( x, y)dy dy f ( x, y)dx .

(014)

3о

Если 1) функции

f ( x, y),

( x, y)

непрерывны на a, b c, c ;

2) для любого x a, b интеграл (012) сходится ;

3) интеграл

x ( x, y)dy сходится равномерно относительно x a, b .

Тогда функция ( x)

дифференцируема на a, b , и существует производная

f ( x, y)dy .

( x)

f ( x, y)dy

(015)

#Доказательство этих свойств проводится аналогично доказательству теорем 02.3,

02.4 и 02.5.					#
	Примеры 2.1. (Эйлеровы интегралы)
1)	Бета-функция: ( p, q) 1	x p 1 (1 x)q 1 dx ,		p, q	( p 0, q 0)
	0
(несобственный интеграл второго рода, зависящий от параметров p и q ).

2)	Гамма-функция: ( p) x p 1e xdx ,		p	( p 0)
	0

(несобственный интеграл первого рода, зависящий от параметра p ).

Соседние файлы в папке Ещё лекции

#
12.02.2026743.63 Кб0Глава__0.pdf
#
12.02.20261.1 Mб0Глава__I.pdf
#
12.02.20261.17 Mб0Глава__II.pdf
#
12.02.2026963.13 Кб0Глава__III.pdf
#
12.02.2026740.83 Кб0Глава__IV.pdf
#
12.02.20261.51 Mб0Глава__V.pdf