Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление

Файл:

Ещё лекции / Глава__V

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2026

Размер:

1.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

G( x, y

, y )

G( x, y

, y )

( x) d x 0

для любого h C1

([a,b]) .

d x y

Итак, функция y0( x) является решением уравнения Эйлера для функционала

Лагранжа

L y( x) J y( x) K y( x) .

Пример 13.4. (Изопериметрическая задача)
Найти кривую y y( x) заданной длины l ,	для которой площадь S криволинейной
трапеции aCDb достигала бы максимума.
Р е ш е н и е . Исследуем на максимум функционал:
S y( x) b y( x)d x ,
a
с закреплением концов:	y(a) A ,		y(b) B
при дополнительном условии: b
при дополнительном условии: b		1 y ( x) 2 d x l .
	a

Составим функционал Лагранжа:

L y( x) у


1 y ( x)	2
1 y ( x)		d x

Поскольку подынтегральная функция явно не зависит от x , то в силу случая 5 пункта 12.4 у уравнения Эйлера для функционала L y( x) первым интегралом будет соотношение вида:

y ( x)

у 1 y ( x) 2

C1 или

у C1

1 y ( x)

y ( x)

Введем параметр t .

Полагая y tg t , получим у C

cos t .

Итак, экстремали функционала S y( x) находятся среди семейства кривых:

x C

sin t ,

L : ( x C2 )2

( у C1 )2 2 .

L :

cos t

или

у C1

Постоянные C1 ,

C2 и можно определить из условий: y(a) A ,

y(b) B и

1 y ( x) 2 d x l .

Следовательно, найдено возможное решение изопериметрической задачи.

§ 14. Достаточные условия слабого экстремума.

14.1. Вторая вариация функционала.

Рассмотрим функционал J y( x) , определенный в некоторой окрестности элемента

y0 B .

Определение 14.1. Говорят, что функционал J y( x)

имеет на элементе y0 вторую

вариацию, если приращение этого функционала представимо в виде:

J J y

J y

при

0 ,

где l h – линейный, а Q h

– квадратичный функционалы. При этом функционал Q h

называется второй вариацией функционала J y( x)

на элементе y0 . Вторую вариацию

будем обозначать:

2 J y

, h .

Замечание 14.1. Если вторая вариация 2 J y

, h существует, то ее можно найти по

формуле:

1 d 2

J y

t h

(100)

2 d t 2

t=0

0 функционала J

Теорема 14.1. Пусть первая вариация J y

, h

y( x)

для любых

допустимых приращений h B,

при этом y0

является точкой слабого минимума

(максимума) .

Тогда 2 J y

, h 0

( 2 J y

, h 0 ) .

#Рассмотрим приращение функционала:

J J y

h J

при

0 .

В силу того, что l

, h , а Q

2 J y

, h

. По условию же теоремы l

0 .

При этом, если элемент y0

доставляет функционалу слабый минимум, то по определению

J y

h J y

а поскольку

h 2 J y

, h становится главным членом

разложения

J , то

2 J y

, h 0

, т.е. является положительно определенным

квадратичным функционалом.

Аналогично, если элемент y0

доставляет функционалу слабый максимум, то по

определению

J y

h J y

0 , а значит 2 J y

, h 0 .

Итак, теорема полностью доказана.

Исследуем вариационную задачу 1 для функционала вида:

J y( x) b F ( x, y( x), y ( x))d x ,

(84)

с закрепленными концами:

y(a) A ,

y(b) B

(85)

Вычислим для этого функционала с краевыми условиями (85) вторую вариацию:

1 b 2 F

2 F

, h

( x, y

( x), y

( x))h

( x) 2

( x, y

( x), y

y 2

y y

2 F

( x, y

( x), y

( x)) h ( x) 2

d x

( y )2

или

1 b

d x ,

J y

, h

R( x)h ( x)

(101)

P( x)

2 F

где

R( x)

( y )

d x

y y

Следовательно,

вторая вариация 2 J y

, h для функционала J

y( x)

существует,

если F C3 ( )

где

[a, b]

Теорема 14.2.

Пусть для функционала (84) с краевыми условиями (85)

подынтегральная функция F C3 ( ) , и на

y ( x)

функционал (84) достигает слабого

минимума (максимума).

Тогда выполнено условие Лежандра:

2 F

( x, y0 ( x), y0

( x)) 0

2 F

для любого x [a, b] .

( x, y0

( x), y0 ( x)) 0

(102)

( y )

# Поскольку F C3 ( ) , то существует

вторая вариация 2 J y

, h

такая,

что

2 J y

, h

2 J y

, h 0

в случае, когда функционал достигает на

y ( x) слабого

минимума (максимума).

При этом J y

( x), y ( x))

( x), y

h( x)d x 0 ,

, h

( x, y

( x))

т.к. y0( x) является экстремалью, т.е. удовлетворяет уравнению Эйлера.

Тогда в силу формулы (101)	R( x)		F	d	F	0 , а


		y	y	dx	y

2	J y0	, h	1 b		2	d x 0	2				1 b
2							2	J y		, h
								J y		, h
			2						0		2
				a								a

P( x) h ( x)	2	d x 0
P( x) h ( x)		d x 0

при слабом минимуме (максимуме) при любых h C1 ([a, b]) .

		2 F				2 F		0
Следовательно,	P( x)			0	P( x)				, т.е. выполнены условие
Следовательно,	P( x)	( y )	2	0	P( x)	( y )	2		, т.е. выполнены условие
		( y )				( y )

Лежандра (102) .									#

14.2. Достаточные условия слабого экстремума функционала.

Среди достаточных условий слабого минимума (максимума) функционала (84) присутствует условие положительной (отрицательной) определенности второй

вариации 2 J y

, h из формулы (101), как квадратичной формы относительно h и h .

Определение 14.2. Точка x x*

называется сопряженной с точкой x x

, если

уравнение

R( x)h( x)

P( x)h ( x) 0

(103)

имеет нетривиальное решение h h( x) такое, что h( x

) 0 и h( x* ) 0 .

Замечание 14.2. Уравнение (103)

R( x)h( x)

P( x)h ( x) 0 или

2 F

h( x)

h ( x) 0

( y )

d x

y y

d x

называется уравнением Якоби, которое определяет наличие сопряженных точек.

В теории квадратичных форм имеет место следующая теорема:

Утверждение 14.1. Если P( x) 0 для любого x [a, b] , и отрезок [a, b] не содержит сопряженных точек, то квадратичный функционал (101):

b P( x) h ( x) 2	R( x)h2 ( x) d x
a
положительно определен для любого h( x) .
# Без доказательства.	#

Замечание 14.2. Оказывается, что условие отсутствия на [a, b] сопряженных точек является не только достаточным, но и необходимым условием положительной определенности квадратичного функционала (101).

На основании вышеизложенного сформулируем достаточные условия слабого

экстремума для вариационной задачи 1:

Теорема 14.3.

Пусть допустимая кривая y y0( x)

для функционала

J y( x) b F ( x, y( x), y ( x))d x ,

(84)

с закрепленными концами

y(a) A ,

y(b) B .

(85)

удовлетворяет условиям:

y y0( x) – экстремаль функционала (84) с закрепленными концами (85), т.е.

является решением краевой задачи (86),(85), где (86) – уравнение Эйлера:

( x, y0( x), y0

( x))

( x, y0( x), y0( x))

для любого x [a, b]

;

вдоль этой кривой

2 F

( x, y0( x), y0

( x)) 0

2 F

( x, y0( x), y0( x)) 0

(104)

( y )

(усиленное условие Лежандра);

отрезок [a, b] не содержит сопряженных точек (условие Якоби) .

Тогда на этой кривой функционал (84) достигает слабого минимума (слабого

максимума).

# Поскольку y y0( x)

является экстремалью функционала (84), на которой этот

функционал может достигать экстремума, то в силу условия (104) этот экстремум может

быть слабым минимумом при P( x) 0 или слабым максимумом при P( x) 0 .					А так как
выполняется условие Якоби, то в силу утверждения 14.1	2 J y	0	, h 0	2 J y	0	, h	0

при любом h C1 ([a, b]) .	Это означает, что функционал (84) достигает слабого минимума
(слабого максимума) .	#

Пример 14.1. Проверим выполняется ли условие Якоби для экстремали функционала

J y( x) y ( x) 2 y2 ( x) d x ,

проходящей через точки A(0, 0) и B(a, 0) .

Р е ш е н и е .

		d

Уравнение Якоби имеет вид:	2h( x) d x 2h ( x) 0 или		h	( x) h( x) 0 .
Общим решением этого уравнения является функция
h( x) С1 cos x C2 sin x
Из условия h(0) 0 следует С1	0 и h( x) C2 sin x .

Итак, h( x) обращается в ноль в точках x k , для любых k .

Следовательно, если 0 a , то на отрезке 0, a функция h( x) обращается в ноль только в точке x 0, т.е. условие Якоби выполняется.

Если же a , то функция h( x) обращается в ноль еще, по крайней мере, в одной точке x , а, следовательно, условие Якоби не выполняется.

14.3.Функция Вейерштрасса. Достаточные условия сильного экстремума функционала.

Предположим, что для вариационной задачи 1 с функционалом

J y( x) b F ( x, y( x), y ( x))d x ,

(84)

с закрепленными концами

y(a) A ,

y(b) B

(85)

y y0( x)

– экстремаль, у которой тангенс угла наклона касательной равен

p , т.е.

d y

p ,

и L : y y

( x) . Возьмем еще кривую

L : y y ( x) с тем же угловым

d x

коэффициентом p и рассмотрим приращение

J F ( x, y, y )d x F ( x, y, y )d x .

Рассмотрим вспомогательный функционал

y, p) (

d y

(105)

F ( x,

( x, y, p) d x

d x

который на экстремали L : y y0( x) обращается в функционал		F ( x, y, y )d x	, т.к. на

	L

экстремалях dd xy p .

При этом функционал

F ( x, y,

J1 из формулы (105) можно переписать в виде

p) p	F		F
p) p	p	( x, y, p) d x	p	( x, y, p)d y ,
	p		p

который является интегралом от полного дифференциала. Следовательно, он не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек.

Тогда

J y	( x)		F ( x, y	0	, y )d x		F ( x, y, p) ( p y ) F		(
0				0	0			p
		L1				L1		p

			F
	F ( x, y, y0 ) F ( x, y0	, p) ( y p)	p	( x, y,
L1			p

Рассмотрим подынтегральную функцию:

x, y, p) d x

p) d x .

E( x, y, y , p) F( x, y, y0 ) F( x, y0 , p) ( y p) F

( x, y, p)

(106)

Определение 14.3. Функция E( x, y, y , p)

из формулы (106) называется функцией

Вейерштрасса.

Тогда J y

( x)

E( x, y

, y

, p)d x ,

J y

( x) 0 , если

E( x, y

, y , p) 0 .

Аналогично, J y

( x) 0 ,

если

E( x, y

, y

, p) 0 .

Утверждение 14.2.

(Достаточные условия сильного экстремума функционала)

Если допустимая кривая y y0( x) для функционала

J y( x) b F ( x, y( x), y ( x))d x ,

(84)

с краевыми условиями

y(a) A ,

y(b) B

(85)

удовлетворяет условиям:

1) y y0( x) – экстремаль функционала (84) с закрепленными концами (85), т.е.

является решением краевой задачи (86),(85), где (86) – уравнение Эйлера:

( x, y0( x), y0

( x))

( x,

y0( x), y0( x)) 0

для любого

x [a, b] ;

близких к

2) функция Вейерштрасса E( x, y, y , p) не меняет знака для любого y( x)

y0( x) , причем E( x, y, y , p) 0

для минимума ( E( x, y, y , p) 0 для максимума) ;

3) отрезок [a, b] не содержит сопряженных точек (условие Якоби) .

Тогда на этой кривой функционал (84) достигает сильного минимума (сильного

максимума).

# Доказательство аналогично доказательству теоремы 14.3

Пример 14.1. Исследовать на экстремум следующий функционал:

1 ( y )2

J y( x)

d x

(*)

с краевыми условиями y(0) 0 ,

y( x2 ) y2 .

(Это есть задача о брахистохроне см. пример 12.10.)

Как было показано в примере 12.10 экстремалями этой задачи является семейство циклоид:

x	С1	q sin q ,			t sin t ,
x		q sin q ,
	2		или	x С1		,
L :	С1		или	L :	1 cos t	,
	С1	1 cos q		y С1	1 cos t

y	2

где С1

определяется из условия прохождения циклоидой точки ( x2 , y2 ) : x2 2 С1 .

Для данного функционала имеем

, а

2 F

> 0 для любого y .

( y )2

y 1 ( y )2

Следовательно, при x2 2 С1 на циклоиде

L : x С1 t sin t ,

y С1 1 cos t

функционал (*) достигает сильного минимума.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке Ещё лекции

#
12.02.2026743.63 Кб0Глава__0.pdf
#
12.02.20261.1 Mб0Глава__I.pdf
#
12.02.20261.17 Mб0Глава__II.pdf
#
12.02.2026963.13 Кб0Глава__III.pdf
#
12.02.2026740.83 Кб0Глава__IV.pdf
#
12.02.20261.51 Mб0Глава__V.pdf
#
12.02.20263.99 Mб0ДУ-3-01.jpg
#
12.02.20263.64 Mб0ДУ-3-02.jpg
#
12.02.20263.75 Mб0ДУ-3-03.jpg
#
12.02.20263.75 Mб0ДУ-3-04.jpg
#
12.02.20263.71 Mб0ДУ-3-05.jpg