Ещё лекции / Глава__V

Случай 4.

Пусть функция F зависит лишь от x и y ,

т.е.

F F ( x, y ) .

d

F ( x, y ) С1 .

Найдем уравнение Эйлера

F ( x, y )

0

, откуда

d x

y

Полученное уравнение не содержит функции y .

Решить его можно путем

непосредственного разрешения относительно y

и дальнейшего интегрирования,

либо методом введения подходящего параметра (см. § 3).

Пример 12.9.

Пусть функционал описывает время перемещения из точки с

абсциссой a в точку с абсциссой b по кривой y y( x) со скоростью x .

b

Поскольку

d s

x , то искомый функционал имеет вид:

1 ( y )2

d x .

t( y( x))

d t

x

a

d

Тогда найдем уравнение Эйлера

F ( x, y ) 0

, проинтегрировав это уравнение,

d x

y

получим

F( x, y ) С или

y

С .

Решим это уравнения методом введения

y

x 1 ( y )2

параметра p .

Положим y tg p ,

тогда х

1

y

sin p

или

х С1 sin p ,

где С1

1

.

С

1 ( y )2

C

С

Тогда

d y

tg p

или

d y tg p d x tg p С cos p d p С sin p d p .

d x

1

1

После интегрирования получаем

y С1 cos p С2 .

Итак, решение имеет вид: L :

x С1 sin p ,

или

L : x

2

( y С2 )

2

2

,

т.е.

y С cos p С

С1

2

1

это есть семейство окружностей с центром на оси Oy .

Случай 5.

Пусть функция F зависит от y и y ,

т.е.

F F ( y, y ) .

Найдем уравнение Эйлера:

F

2 F

2 F

y ( y, y

) y y ( y, y

) y ( x) y y ( y, y

) y

( x) 0 .

(*)

Умножим это равенство на y ,

тогда левая часть примет вид:

F

y ( x)

2 F

y ( x)

2

2 F

y ( x) y ( x)

d

y

F

F

.

y y

y y

y

d x

y

В силу равенства (*) имеет место уравнение

d

y

F

0 ,

F

d x

y

после интегрирования которого получим

F y

F

С1 .

J y( x) b F ( x, y( x), y ( x))d x ,

(84)

a

где F C2 ( ) , [a, b]

,

на функциях y y( x)

таких, что y C2 ([a, b]) и

выполнены краевые условия:

y(a) A ,

,

a, b, A .

(87)

y(b) произвольно

Теорема 12.2. Пусть

F C2 ( ) ,

y C2 ([a, b])

и y ( x)

является решением

0

вариационной задачи 2.

Тогда y0( x)

является решением уравнения Эйлера:

F

d

F

y

( x, y0( x), y0

( x))

y

( x, y0( x), y0( x)) 0

для любого x [a, b] ,

(86)

dx

удовлетворяющим условию 871 , т.е.

y(a) A

и условию свободного конца:

F

( x, y0( x), y0

0 .

y

( x))

(88)

x b

# Пусть y0( x)

– решение вариационной задачи 2, т.е. на y0( x) функционал J должен

достигать экстремума.

При этом из условия F C2 ( ) следует существование дифференциала Фреше

J ( y , h) , а в силу теоремы 11.2

J ( y , h) 0 для любой вариации h C1 ([a, b]) такой,

0

0

что h(а) 0 ,

поскольку y0( x) h( x)

А .

x

a

Как и при доказательстве теоремы 12.1 вычисляем

b

F ( x, y ( x), y ( x))

d

F

( x, y ( x), y

J ( y , h) ...

( x))

h( x)d x

0

y

0

0

d x

y

0

0

a

F

y

( x, y0( x), y0( x)) h( x)

(*) .

x b

F

d

F

y

( x, y0

( x), y0

( x))

y

( x, y0

( x), y0( x))

0

,

dx

F

( x, y0( x), y0

0

y

( x)) h( x)

x b

для любой вариации h C1 ([a, b])

или

F

( x, y0( x), y0

0 , т.е. условие (88).

y

( x))

x b

Итак, решение y0( x) вариационной задачи 2 является решением задачи

(84),( 871 ),(88) .

#

F

( x, y0( x), y0

0 называется

Определение 12.2. Условие (88), т.е.

y

( x))

x b

условием трансверсальности на правом конце x b .

Замечание 12.5.

Для задачи с левым незакрепленным концом или с обоими

незакрепленными концами условие трансверсальности остается прежним.

Пример 12.11. Пусть в задаче о брахистохроне левый конец закреплен в точке

M1 (0, 0) , а правый перемещается по прямой x x2 .

Р е ш е н и е .

Из примера 12.10 экстремалями функционала

x2

t( y( x))

1

1 ( y )2

d x

0

2g

y

являются циклоиды из семейства:

С

1

q sin q ,

x

2

L :

.

С1