Ещё лекции / Глава__V

Рассмотрим линейное пространство Y с элементами y j .

Определение 11.1.

Пространство Y называется нормированным, если в нем введена

операция норма

Y ,

обладающая свойствами (аксиомами нормы):

и для любого выполнено следующее

для любых y1 , y2 Y

1*

y1

Y 0 , при этом

y1

Y 0 тогда и только тогда, когда y1 ;

2*

y1

Y

y1

Y ;

3*

y1 y2

Y

y1

Y

y2

Y .

Определение 11.2.

Нормированное пространство Y называется банаховым, если

оно полно, т.е. любая фундаментальная последовательность сходится к элементу из Y .

Обозначим это пространство B .

Определение 11.3.

Говорят, что в области G B задан функционал J , если для

1) Задача о брахистохроне: Найти такую кривую в

2 , соединяющую точки M

1

и M

2

,

( ) 0 такое, что

для любого y G , для которого

y y0

следует

J ( y) J ( y0 )

, т.е.

lim

J ( y) J ( y0 )

0 .

y y0

0

2) непрерывным в G , если он непрерывен на любом элементе y G .

которому соответствует норма

. Например,

y

C([a ,b])

max

y( x)

или

x [a,b]

y

C1 ([a ,b]) max

y( x)

max

y ( x)

и так далее.

x [a,b]

x [a,b]

Пример 11.2.

Доказать, что функционал

J y( x) 1 y( x) 5 y ( x) d x ,

0

# 1) Докажем линейность. Для любых функций y , y

2

C1([0,1])

1

и для любых чисел

1

,

2

рассмотрим J

y

1

2

y

1

2

1

y

( x)

y

( x)

5

y

( x)

y

( x)

d x

1

y

( x) 5

y ( x)

d x

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

0

0

1

y

2

( x) 5

2

y

( x)

d x

J y

2

J y

.

Итак, линейность доказана.

2

2

1

1

2

0

2) Докажем непрерывность этого функционала на y0

x .

Для любого 0

существует число ( ) 0 такое,

что для любого y C1([0,1]) ,

для которого

y( x) x

и

y ( x) 1

должно быть

J ( y) J ( y0 )

.

1

1

0

J

y( x)

J y

J

y( x)

J

x

y( x) 5 y ( x) x 5 d x

y( x) x

d x

0

0

5 1

y ( x) 1

d x 5 .

0

Итак, если взять

, то

J y( x) J( y0 )

, т.е. заданный функционал является

непрерывным на y0

6

#

x .

J J( y0 h) J( y0 ) l(h) o(

)

при

h

0 ,

(81)

h

где l(h) – ограниченный линейный относительно h функционал l(h) l( y0 , h) .

При этом главная линейная по h часть l(h) приращения J

называется первой

вариацией функционала на элементе y0 G (сильным дифференциалом,

дифференциалом Фреше) .

Обозначается J ( y0 , h) .

Элемент h называется допустимой вариацией элемента y0 G .

Определение 11.8. Если существует предел

DJ( y , h) ,

(82)

lim J ( y0 ht) J ( y0 ) d

J( y ht)

def

t 0

t

d t

0

t 0

0

J ( y0 , h) (дифференциал Фреше), то существует у него и слабый дифференциал

DJ ( y0 , h) (дифференциал Гато), при этом J ( y0 , h) DJ ( y0 , h) .

(83)

# Пусть на элементе y0 G существует дифференциал Фреше J ( y0 , h) , т.е. для

любого h B такого, что элемент ( y0 h) G справедливо следующее равенство

J( y0 h) J( y0 ) J( y0, h) o(

) при

h

0 или для любого t

такого, что

h

( y0 ht ) G справедливо следующее равенство для приращения

J( y0 ht) J( y0 ) J( y0, ht) o(

) t J( y0, h) o(

) t J( y0,h) o(

) .

ht

t

h

t

Тогда DJ ( y

, h) lim

J ( y0 ht ) J ( y0 )

J ( y

, h) lim

o(

t

)

J ( y

, h) .

0

t 0

t

0

t 0

t

0

Следовательно, существует DJ ( y0 , h) ,

и справедлива формула (83) .

#

# Без доказательства.

#

Пример 11.3. Найти дифференциал Фреше и дифференциал Гато следующего

функционала J y( x) 1

y2 ( x)d x на элементе

y0 C([0,1]) .

0

1

1

1

1

J J ( y

h) J ( y

0

)

( y

( x) h( x))2 d x

y 2( x)d x 2

y

( x)h( x)d x

h 2( x)d x

0

0

0

0

0

0

0

0

1

В этом приращении главной линейной частью по h является функционал 2

y0

( x)h( x)d x

0

.

1

Следовательно, дифференциал Фреше

J ( y0 , h)

2

y0( x)h( x)d x .

0

Найдем теперь дифференциал Гато:

J ( y

ht ) J ( y

0

)

1

1

2 d x

1

y 2( x)d x

DJ ( y

, h) lim

0

lim

( y

( x) h( x)t)

0

t 0

t

t 0

t

0

0

0

0

lim

1

1

( x)h( x)t d x

1

h 2( x)t 2 d x

2

1

( x)h( x)d x .

2

y

y

t 0

t

0

0

0

0

0

Пусть функционал J ( y) определен на области G B , и множество U( y0 ) G

–

некоторая окрестность элемента

y0 .

Определение 11.9. Говорят,

что функционал J y

достигает на элементе y0

G

1) максимума (минимума), если существует окрестность U( y0 ) G

такая, что для

любого y U( y

0

0

J

0

) имеет место неравенство J y

y

J y

J

y

.

такая, что для любого y U( y

0

) имеет место неравенство

J y

J

y

J y

J

y

.

0

0

При этом максимальные и минимальные значения функционала J ( y)

называются

экстремумами этого функционала, а элементы, на которых они достигаются –

экстремалями .

существует дифференциал Гато и он равен DJ ( y0, h) J ( y0, h)

d

J ( y0 ht)

t 0

d t

переменной (см. математический анализ) f (t)

t 0

0 .

Тогда

d

J ( y0 ht )

t 0 0 , а значит J ( y0 , h) 0 для любого приращения h B,

d t

( y0 ht ) U( y0 ) .

#

при котором

Пример 11.4.

Найти экстремали функционала

J y( x) 1

y2 ( x)d x , т.е. элементы

0

пространства C([0,1]) , на которых заданный функционал может достигать экстремум.

Р е ш е н и е. Найденный в примере 11.3 дифференциал Фреше равен

J ( y0 , h) 2 1

y0( x)h( x)d x , а по теореме 11.2 J ( y0 , h) 0 .

0

1

Следовательно,

y0( x)h( x)d x 0 для любого h C([0,1]) .

0

Итак, экстремалью является функция y0( x) 0

для любого x [0,1] .

Если в этом пространстве ввести норму

y

C([a ,b]) max

y( x)

,

то C([a, b]) будет

x [a,b]

банаховым. Сходимость в этом пространстве по норме

C([a ,b])

есть равномерная

сходимость, т.е. последовательность

y

( x)

сходится к

по норме

y( x)

n

C([a ,b])

тогда и только тогда, когда yn( x) сходится равномерно при n к y( x) для

любого x [a, b] .

Пример 12.2. C1 ([a, b]) – пространство непрерывно дифференцируемых на [a, b]

функций. Оно является банаховым, если ввести норму

y

C1 ([a,b])

y

C([a,b])

y

C([a,b]) .

C1 ([a,b])

производных, т.е.

yn( x) y( x) тогда и только тогда, когда yn( x) сходится равномерно

n

при n к y( x)

и yn( x) сходится равномерно при n к

y ( x) для любого

x [a, b] .

Пример 12.3.

Рассмотрим функцию F ( x, y, z) C1 (D) ,

где D [a, b]

a x b, y

, z

.

Тогда функционал

J y( x) b F ( x, y( x), y ( x))d x (*)

a

является, вообще говоря, нелинейным, где y C1 ([a, b]) .

Пример 12.4.

Рассмотрим функционал

b

l(h)

F ( x, y, y )h( x) F

( x, y, y )h ( x) d x ,

(**) , где

y, h C1 ([a, b]) ,

y

y

a

является ограниченным линейным функционалом.

Доказательство.

Ограниченность:

b

l(h)

a( x)

h( x)

b( x)

h ( x)

d x M

h

1

для любого h C1 ([a, b]) ,

C ([a ,b])

a