ИДЗ / Исправленное / ИДЗ_КузнецовД.А

Задача 1

Решается задача управляемого перевода организма из исходного состояния S1 в конечное состояние S11 (лечение, нормализация состояния оператора). При этом существуют промежуточные состояния S2-S10, а

возможные переходы из состояния в состояние изображены на рисунке в виде ориентированного графа.

На ребрах графа проставлено время, требуемое для перевода организма из одного состояния в другое. В каждом состоянии Sj имеется несколько управляющих воздействий Vij, которым соответствуют определенные наборы вероятностей перехода. Эти наборы приведены в таблице. Сумма вероятностей в каждом из них равна 1.

Требуется каждому состоянию сопоставить одно оптимальное управляющее воздействие, при которых общее среднее время перехода из S1 в S11, будет минимально, а также определить это время.

Решение задачи 1

Согласно графу переходов и принятым обозначениям времена перехода

организма в состояние i из состояния j равны :

118 = 4; 119 = 3; 1110 = 3;

105 = 3; 106 = 5; 107 = 6;

42 = 6; 43 = 5; 52 = 8; 53 = 11;

62 = 4; 63 = 2; 72 = 2; 73 = 4; 21 = 9; 31 = 9;

Условную оптимизацию, начнём с последнего, 4-го шага управления. Из условия задачи видно, что на 4-м шаге управление вынужденное, поэтому:

̅̅̅̅4( 8) = 4; ̅̅̅̅4( 9) = 3; ̅̅̅̅4( 10) = 3;

Условную оптимизацию на 3-м шаге проводим с помощью рекуррентного уравнения, которое на этом шаге приобретает вид:

̅̅̅̅3( 4| 14) = (7 + 4) 1 + (9 + 3) 0 =

̅̅̅̅3( 4| 24) = (7 + 4) 0.2 + (9 + 3) 0.8 = 11.8

̅̅̅̅3( 4| 34) = (7 + 4) 0.4 + (9 + 3) 0.6 = 11.6

̅̅̅̅3( 5| 15) = (8 + 4) 0.3 + (1 + 3) 0.3 + (3 + 3) 0.4 = .

̅̅̅̅3( 5| 25) = (8 + 4) 0.5 + (1 + 3) 0.2 + (3 + 3) 0.3 = 8.6

̅̅̅̅3( 6| 16) = (4 + 4) 0 + (6 + 3) 1 + (5 + 3) 0 = 9

̅̅̅̅3( 6| 26) = (4 + 4) 0.5 + (6 + 3) 0.1 + (5 + 3) 0.4 = .

̅̅̅̅3( 6| 36) = (4 + 4) 0.7 + (6 + 3) 0.3 + (5 + 3) 0 = 8.3

̅̅̅̅3( 7| 17) = (3 + 4) 0.2 + (8 + 3) 0.8 + (6 + 3) 0 = 10.2

̅̅̅̅3( 7| 27) = (3 + 4) 0.3 + (8 + 3) 0.2 + (6 + 3) 0.5 = 8.8

̅̅̅̅3( 7| 37) = (3 + 4) 0.9 + (8 + 3) 0 + (6 + 3) 0.1 = .

Таким образом, на 3 шаге наилучшими результатами будут:

̅̅̅̅3( 4| 14) = ; ̅̅̅̅3( 5| 15) = .

̅̅̅̅3( 6| 26) = . ; ̅̅̅̅3( 7| 37) = .

Принимая в учёт данные значения, проведём оптимизацию для 2-го

шага:

̅̅̅̅2( 2| 12) = (6 + 11) 0.2 + (8 + 7.2) 0.2 + (4 + 8.1) 0.2 + (2 + 7.2)0.4 = .

̅̅̅̅2( 2| 22) = (6 + 11) 0.3 + (8 + 7.2) 0 + (4 + 8.1) 0.5 + (2 + 7.2) 0.2 = 12.99

̅̅̅̅2( 2| 32) = (6 + 11) 0.3 + (8 + 7.2) 0.4 + (4 + 8.1) 0.3 + (2 + 7.2) 0 = 14.81

̅̅̅̅2( 2| 42) = (6 + 11) 0.5 + (8 + 7.2) 0 + (4 + 8.1) 0 + (2 + 7.2) 0.5 = 13.1

̅̅̅̅2( 3| 13) = (5 + 11) 0.1 + (11 + 7.2) 0 + (2 + 8.1) 0.9 + (3 + 7.2) 0 = .

̅̅̅̅2( 3| 23) = (5 + 11) 0.2 + (11 + 7.2) 0.1 + (2 + 8.1) 0.1 + (3 + 7.2)0.6 = 12.15

̅̅̅̅2( 3| 33) = (5 + 11) 0 + (11 + 7.2) 0.5 + (2 + 8.1) 0.1 + (3 + 7.2)0.4 = 13.39

̅̅̅̅2( 3| 43) = (5 + 11) 0.1 + (11 + 7.2) 0.7 + (2 + 8.1) 0.2 + (3 + 7.2)0 = 16.36

Таким образом, на 2 шаге наилучшими результатами будут:

̅̅̅̅2( 2| 12) = .

̅̅̅̅2( 3| 13) = .

Принимая в учёт данные значения, проведём оптимизацию для 1-го

шага:

̅̅̅̅1( 1| 11) = (9 + 12.54) 1 + (9 + 10.69) 0 = 21,54

̅̅̅̅1( 1| 21) = (9 + 12.54) 0.5 + (9 + 10.69) 0.5 = 20.615

̅̅̅̅1( 1| 31) = (9 + 12.54) 0.25 + (9 + 10.69) 0.75 = .

Таким образом, на 1 шаге наилучшим результатом будет:

̅̅̅̅1(1| 31) = .

Результат условной оптимизации показан на рисунке 1, в кружочках проставлены результаты условных минимумов ̅̅̅, под кружочками необходимые воздействия, над стрелками переходов – вероятности этих переходов, последний (серый) кружок – необходимое состояние:

Рисунок 1 – Результат условной оптимизации

Из рисунка видно, что на первом шаге необходимо применить воздействие V31, которое с вероятностью 0.25 приведёт пациента к состоянию

S2 и с вероятностью 0.75 к состоянию S3. В случае, если пациент попал в состояние S2, то необходимо применить воздействие V12, которое с вероятностями 0.2 приведёт пациента к состоянию S4, S5 или S6, и с вероятностью 0.4 к состоянию S7. В случае, если пациент попал в состояние S3,

то необходимо применить воздействие V13, которое с вероятностью 0.1

приведёт пациента к состоянию S4 и с вероятностью 0.9 к состоянию S7. Далее,

если пациент попал в состояние S4, то необходимо применить воздействие V14,

которое гарантировано приведёт пациента к состоянию S8. В случае, если

пациент попал в состояние S5, то необходимо применить воздействие V15,

которое с вероятностями 0.3 приведёт пациента к состоянию S8 или S9 и с вероятностью 0.4 к состоянию S10. Если пациент попал в состояние S6, то необходимо применить воздействие V26, которое с вероятностью 0.5 приведёт пациента к состоянию S8, с вероятностью 0.1 к состоянию S9 и с вероятностью

0.4 к состоянию S10. Если же пациент попал в состояние S7, то необходимо применить воздействие V37, которое с вероятностью 0.9 приведёт пациента к состоянию S8 и с вероятностью 0.1 к состоянию S10. Далее необходимо к любому из полученных состояний применить единственное возможное воздействие, которое гарантированно переведёт пациента в искомое состояние

S11. Минимальное среднее время перевода пациента из состояния S1 в

состояние S11 при этом составляет 20.1525.

Задача 2

Больной находится в одном из двух состояний S1, S2 с вероятностями

P(S1) = p, P(S2) = (1 - p). Надо принять обоснованное решение, проводить ли срочную хирургическую операцию, если для этих двух состояний матрица смертельных исходов T в случае проведения операции A1 и отказе от нее A2

имеет вид:

p - неизвестно.

Метод решения - теория игр (использовать сочетанный показатель полезности f). Дать геометрическую интерпретацию решения игры.

Матрица Т в таком случае выглядит так: