МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра биотехнических систем

ОТЧЁТ

По индивидуальному домашнему заданию

по дисциплине «Управление в биотехнических системах»

Вариант 8

Студенты гр. 2503		Ковалёва Д.Д.
Преподаватель		Корнеева И.П.

Санкт-Петербург

2025

Задача 1

Больной находится в одном из трех состояний {S1, S2, S3}, а у врача есть три плана лечения {A1, A2, A3}. Применяя лечение Ai к больному, находящемуся в состоянии Sj приводит к выздоровлению с вероятностью a(i,j).

Матрица Ma = [a(i,j)] имеет следующий вид:

┌────┬──────┬───────┬──────┐

│ │ S1 │ S2 │ S3 │

├────┼──────┼───────┼──────┤

│ A1 │ 0,8 │ 0,7 │ 0,3 │

│ │ │ │ │

│ A2 │ 0,5 │ 0,4 │ 0,8 │

│ │ │ │ │

│ A3 │ 0,1 │ 0,8 │ 0,5 │

└────┴──────┴───────┴──────┘

Рассчитать оптимальную смешанную стратегию врача в данном случае для показателя a(i,j).

Метод решения: теория игр с применением линейного программирования.

Решение задачи 1

Предположим, что цена игры положительна. В таком случае можно сказать, что, если природа применяет чистую стратегию, а мы смешанную, то наш средний выигрыш будет равен:

Так как средний выигрыш не может быть ниже цены игры:

Разделив всё на цену игры и введя обозначение получаем ограничения:

Целевая функция, которую надо минимизировать:

Приведём уравнения к каноническому виду:

Выберем свободными переменными , а .

Опорное решение   не подходит т.к. s_i становятся < 0

Обменяем свободные и базисные переменные x₃ и s₃:

Опорное решение   не подходит.

Обменяем свободные и базисные переменные x₁ и s₁:

Опорное решение   подходит, при этом: Вычислим целевую функцию:

Так как коэффициент перед , то увеличив можно ещё сильнее уменьшить L. При этом надо сделать равной нулю какую-то переменную из базисных. Из уравнений видно, что быстрее всего обнулится переменная . Поэтому обменяем свободные и базисные переменные x₂ и s₂:

​ Получаем результат:

В таком случае значение целевой функции . Это решение является оптимальным, так как любое увеличение свободных переменных не приведёт к уменьшению целевой функции, а меньше 0 они быть не могут.

Так как оптимальное решение найдено, произведём обратную замену к исходным переменным:

При этом

Таким образом оптимальной стратегией врача является смешанная стратегия выбора планов лечения A1, A2 и A3 с соответствующими вероятностями , при этом цена игры в данном случае равна 0.568.

Задача 2

Решается задача управляемого перевода организма из исходного состояния S1 в конечное состояние S10 (лечение, нормализация состояния оператора). При этом существуют промежуточные состояния S2-S9, а возможные переходы из состояния в состояние изображены на рисунке в виде ориентированного графа. На ребрах графа проставлено время, требуемое для перевода организма из одного состояния в другое. Предполагается, что выбор маршрута переходов из состояния в состояние полностью управляем. Требуется определить оптимальную траекторию перевода организма из S1 в S10 при которой общее время этого перевода будет минимально.

Метод решения - динамическое программирование.

Рисунок 1 - Переходы из одного состояния в другое

Решение задачи 2

1. Перечисление шаговых управлений

Начнем решение этой задачи с перечисления шаговых управлений, начиная с последнего шага и указывая результат этого управления. Запись x_i = {S_k → S_j} будет означать, что управление x_i (на i – м шаге) переводит G из S_k S_J:

Всего 4 шага, рассмотрим их

x₄¹ = {S8 → S10} x₄² = {S9 → S10} x₃¹ = {S5 → S9} x₃² = {S6 → S9} x₃³ = {S7 → S9} x₃⁴ = {S5 → S8}

x₃5 = {S6 → S8} x₃6 = {S7 → S8} x₂¹ = {S2 → S5} x₂² = {S3 → S5} x₂³ = {S2 → S6} x₂⁴ = {S3 → S6}

x₂5 = {S4 → S6} x₂6 = {S3 → S7} x₂7 = {S4 → S7} x₁¹ = {S1 → S2} x₁² = {S1 → S3} x₁3 = {S1 → S4}

2. Для каждого шага записываем временные затраты w_i в функции от состояния на предыдущем шаге и шагового управления. Обозначим их в соответствии с шаговыми управлениями.

W41 = 6 W42 = 5 W31 = 4 W32 = 5 W33 = 2 W34 = 8

W35 = 3 W36 = 7 W21 = 11 W22 = 1 W23 = 4 W24 = 8

W25 = 10 W26 = 10 W27 = 11 W11 = 3 W12 = 6 W13 = 10

3. Основное рекуррентное уравнение динамического программирования, используемое для условной оптимизации. W_I(S_i-1) = min {w_i + W_i+1(S_i)}

Проведем условную оптимизацию, начиная с последнего, 4-го шага.

W₄(W₄¹) = 6

W₄(W₄²) = 5

Оптимизируем 3 шаг

W₃(W₄(S₈) + W₃⁴) = 6 + 8 = 14

W₃(W₄(S₈) + W₃⁵) = 6 + 3 = 9

W₃(W₄(S₈) + W₃⁶) = 6 + 7 = 13

W₃(W₄(S₉) + W₃¹) = 5 + 4 = 9

W₃(W₄(S₉) + W₃²) = 5 + 5 = 10

W₃(W₄(S₉) + W₃³) = 5 + 2 = 7 (min)

Оптимизируем 2 шаг. Поймем, что минимальное время затраты после S₅= S₆= 9 и после S₇ = 7

W₂(W₃(S₅) + W₂¹) = 9 + 11 = 20

W₂(W₃(S₅) + W₂²) = 9 + 1 = 10 (min)

W₂(W₃(S₆) + W₂³) = 9 + 4 = 13 (min)

W₂(W₃(S₆) + W₂⁴) = 9 + 8 = 17

W₂(W₃(S₆) + W₂⁵) = 9 + 10 = 19

W₂(W₃(S₇) + W₂⁶) = 7 + 10 = 17

W₂(W₃(S₇) + W₂⁷) = 7 + 11 = (18 min)

Оптимизируем 1 шаг. Заметим, что после S₃ минимальное время затраты = 10; после S₂ = 13; после S₄= 18

W₁(W₂(S₂) + W₁¹) = 13 + 3 = 16

W₁(W₂(S₃) + W₁²) = 10 + 6 = 16

W₁(W₂(S₄) + W₁³) = 18 + 10 = 28

4. Тогда нарисуем 2 траектории (рис.2) с минимальными временными затратами (16 единиц) {S1 - S2 - S6 - S8 - S10} и {S1 - S3 - S5 - S9 - S10}.

Рисунок 2 - траектория

Вывод

В ходе решения индивидуального домашнего задания были рассмотрены различные способы решения задач по управлению в биотехнических системах.

Была решена игровая задача 3х3 методом линейного программирования. В ходе задачи было произведено выявление оптимальной стратегией врача, таковой является смешанная стратегия выбора планов лечения A1, A2 и A3 с соответствующими вероятностями , при этом цена игры в данном случае равна 0.568.

Во второй задаче решена задача управляемого перевода организма из исходного состояния S1 в конечное состояние S10. Оптимальной траекторией была выбрана траектория с минимальными временными затратами (16 единиц) {S1 - S2 - S6 - S8 - S10} и {S1 - S3 - S5 - S9 - S10}.