МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра биотехнических систем

ОТЧЁТ

По индивидуальному домашнему заданию

по дисциплине «Управление в биотехнических системах»

Вариант 15

Студенты гр. 2503		Новикова С.Л.
Преподаватель		Корнеева И.П.

Санкт-Петербург

2025

Задача 1

В условиях массового заболевания имеется 2 категории врачей А1 и А2, которые обслуживают 3 группы больных В1, В2, В3 (различающихся по стадиям заболевания). Дневное число вызовов по группе больных Bj составляет Nj. Число врачей в группе Аi составляет Ki. Каждый врач в день может обслужить n больных. Считается, что общее число вызовов точно равно общему числу выездов, т.е (К1 + К2)n = N1 + N2 + N3.

Пусть Xij - число больных из группы Вj, которых обслуживает врач из категории Аi. Пусть также качество обслуживания Cij больного из группы Вj врачем из категории Ai определяется матрицей [Cij].

Нужно рассчитать оптимальное (наилучшее с точки зрения получения наибольшего суммарного качества обслуживания) распределение врачей по группам больных, т.е оптимальные значения элементов матрицы [Хij], если

K1 = 3, K2 = 2, N1 = 30, N2 = 20, n = 20, N3 = 50,

C = [c(i, j)] =

	B1	B2	B3
A1	1	0,3	0,1
A2	0,2	0,6	1

Метод решения - линейное программирование.

Решение задачи 1

Сформулируем задачу как ОЗЛП:

Приведём к линейному уравнению с 2 неизвестными:

Отсюда приводим уравнение для целевой функции:

Обозначим все условия на плоскости (рисунок 1). Затем отобразим ОДР, целевую прямую и направление увеличения её значения (рисунок 2). Очевидно, что целевая функция достигает максимума, когда пересекает точку О (30, 20). В этом случае .

Рассчитаем значения переменных и сведём их в таблицу 1.

Рисунок 1 – Ограничения

Рисунок 2 – Область допустимых решений и целевая функция

Таблица 1 – Полученные значения переменных

Переменная	x(1,1)	x(1,2)	x(1,3)	x(2,1)	x(2,2)	x(2,3)	Z
Значение	30	20	10	0	0	40	77

Значит 30 больных категории 1 будут проходит лечение у врачей группы 1, 20 больных категорий 2 будут проходит лечение у врачей категории 1, 10 больных категории 3 будут проходить лечение у врачей категории 1 и 40 больных категории 3 будут проходит лечение у врачей категории 2. Максимальная эффективность в данном случае – 77.

Задача 2

Больной находится в одном из четырех состояний {S1, S2, S3, S4}, а у врача есть два варианта лечения A1 и A2. Применение лечения Ai к больному, находящемуся в состоянии Sj приводит к выздоровлению с вероятностью a(i,j).

Матрица Ma = [a(i,j)] имеет следующий вид:

	S1	S2	S3	S4
А1	0.2	0.8	0.4	0.6
А2	0.7	0.6	0.3	0.2

Расчетным путем обосновать оптимальное решение врача в данной ситуации:

1) при использовании минимаксной смешанной стратегии для показателя a(i,j) и для показателя полезности f(i,j) = a(i,j) - r(i,j), где r(i,j) - риск , r(i,j) = bj - a(i,j), bj=max{a(i,j)};

2) В случае, когда известны априорные вероятност состояний: P(S1)=0,2; P(S2)=0,4; P(S3)=0,3; P(S4)=0,1 на основе максимизации среднего значения a(i,j).

3) В случае, когда все состояния равновероятны.

Решение задачи 2

1. По матрице игры определим нижнюю α и верхнюю β цены игры:

Нижняя α и верхняя β цены игры не равны, а значит игра не имеет седловой точки, следовательно игра не имеет решений в чистых стратегиях.

Решим задачу при использовании минимаксной смешанной стратегии, используем таблицу выживаемости для вычисления наибольших вероятностей выбора каждой из стратегий. Если вероятность выбора стратегии A1 обозначить как x, тогда вероятность выбора стратегии A2 можно определить как 1-x. Найдём точки пересечения уравнений i и j, с обозначением p(i,j):

Рассчитаем суммы для каждого из вариантов, попадающих в интервал [0; 1], найдём для каждого варианта наименьшую сумму и выберем среди них наибольшую, это и будет ответ с точки зрения показателя выигрыша:

p(i,j)					min	max(min)
0.143	0.628	0.628	0.314	0.257	0.257	0.367, при p = 0.667
0.333	0.533	0.667	0.333	0.333	0.333
0.555	0.422	0.711	0.355	0.422	0.355
0.667	0.367	0.733	0.367	0.467	0.367

Подтвердим результат графически, наибольшая точка, лежащая на нижней границе игры, и есть нужная там точка (рисунок 3):

Рисунок 3 – Графическое подтверждение решения

Решим задачу другим методом. Рассчитаем матрицу риска, где :

	S1	S2	S3	S4
A1	0.5	0	0	0
A2	0	0.2	0.1	0.4

Теперь рассчитаем матрицу полезности, где :

	S1	S2	S3	S4
A1	-0.3	0.8	0.4	0.6
A2	0.7	0.4	0.2	-0.2

В этом случае

Найдём точки пересечения уравнений и рассчитаем суммы для каждого из вариантов, найдём для каждого варианта наименьшую сумму и выберем среди них наибольшую, это и будет ответ с точки зрения показателя полезности:

pij						min	max(min)
0.214	0.486	0.485		0.242	-0.029	-0.029	0.2, при p = 0.5
0.416	0.283	0.566		0.283	0.133	0.133
0.5	0.2	0.6		0.3	0.2	0.2
0.667	0.033	0.667		0.333	0.333	0.033

Подтвердим результат графически, наибольшая точка, лежащая на нижней границе игры, и есть нужная там точка (рисунок 4):

Рисунок 4 – Графическое подтверждение решения

2. В случае, когда известно значение априорных вероятностей, рассчитаем значения среднего выигрыша по формуле:

Значит врач выберет A1, так как она обеспечивает больший средний выигрыш.

3. Аналогичным образом проведём расчёт для вероятностей P(Si) = 0.25:

Значит врач выберет A1, так как она обеспечивает больший средний выигрыш.

Вывод

В ходе решения индивидуального домашнего задания были рассмотрены различные способы решения задач по управлению в биотехнических системах.

Была решена задача на линейное программирование в частном случае графическим методом. В ходе задачи было выявлено оптимальное распределение больных на лечение и рассчитана эффективность в 77.

Во второй задаче различными методами при различных условиях было выбрано наилучшее решение по проведению одного из двух видов лечения. При использовании минимаксной смешанной стратегии были рассчитаны вероятности проведения операции для наивысших показателей выживаемости (p = 0.667) и полезности (p = 0.5). В случае известных априорных вероятностей в первом случае было выяснено, что наилучшим решением будет провести лечение по плану 2, а во втором случае проводить лечение по плану 1.