МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра биотехнических систем

ОТЧЁТ

По индивидуальному домашнему заданию

по дисциплине «Управление в биотехнических системах»

Вариант 12

Студенты гр. 2503		Малышев К.А.
Преподаватель		Корнеева И.П.

Санкт-Петербург

2025

Задача 1

Имеется N больных, находящихся в трех состояниях B1, B2, B3.

Число больных каждого вида равно N1, N2, N3. Имеется три плана лечения P1, P2, P3, которые предполагают использовать три вида медикаментов. Запасы их в условных единицах составляют M1, M2, M3.

Эффективность имеющихся планов лечения задается матрицей A=[a(i,j)], а требуемое количество каждого лекарства – матрицей V=[v(i,j)], где v(i,j)=(v1(i,j),v2(i,j),v3(i,j)).

Нулевые элементы матрицы A, соответствующие прочеркам в матрице V, связаны с отсутствием планирования данных планов лечения к соответствующим группам больных в связи с очевидной неэффективностью такого применения. Пусть x(i,j) - относительное число больных, находящихся в состоянии B_j, к которым применяется лечение по плану P_i. Найти оптимальные значения x(i,j) , при которых отношение выздоровевших больных к общему числу больных будет максимально. Оценить эффективность выбранной схемы лечения.

Метод решения - линейное программирование.

N=100; N1=60; N2=20; N3=20; M1=2000; M2=1000; M3=2500;

	B1	B2	B3
A1	0,8	0	0
A2	0	1	0,9
A3	1	0	1
P1	{20, 10, 0}	---	---
P2	---	{0, 30, 10}	{10, 10, 30}
P3	{30, 0, 10}	---	{20, 0, 40}

Решение задачи 1

Сформулируем задачу как ОЗЛП:

Приведём к линейному уравнению:

Отсюда приводим уравнение для целевой функции:

Обозначим все условия на плоскости (рисунок 1). Затем отобразим ОДР, целевую прямую и направление увеличения её значения (рисунок 2). Очевидно, что целевая функция достигает максимума, когда пересекает точку О (0, 20). В этом случае .

Рассчитаем значения переменных и сведём их в таблицу 1.

Рисунок 1 – Ограничения

Рисунок 2 – Область допустимых решений и целевая функция

Таблица 1 – Полученные значения переменных

Переменная	x(1,1)	x(1,2)	x(1,3)	x(2,1)	x(2,2)	x(2,3)	x(3,1)	x(3,2)	x(3,3)	Z
Значение	0	0	0	0	20	20	60	0	0	98

Значит 60 больных категории 1 будут проходит лечение 3, и по 20 больных категорий 2 и 3 будут проходить лечение по программе 2. Максимальная эффективность в данном случае – 98.

Задача 2

Больной находится в одном из трех (недиагностируемых) состояний {S1, S2, S3}, которые соответствуют трем несовместимым заболеваниям:

• S1 - острое заболевание, при котором срочная операция необходима,

• S2 - заболевание, при котором срочная операция не требуется,

• S3 - заболевание, при котором срочная операция противопоказана.

Врачу необходимо принять решение, проводить ли срочную хирургическую операцию. При этом у него имеется две стратегии:

• A1 - проводить срочное оперативное вмешательство,

• A2 - отказаться от срочной операции.

Матрица Mc = [c(i,j)] вероятностей летального исхода при разных сочетаниях A1, A2 и S1, S2, S3 имеет следующий вид:

	S1	S2	S3
А1	0.05	0.08	0.3
А2	0.2	0.05	0

Расчетным путем обосновать оптимальное решение врача в данной ситуации:

1) При использовании минимаксной смешанной стратегии для показателя выигрыша a(i,j) (вероятность выздоровления больного, a(i,j)=1-c(i,j)) и для показателя полезности f(i,j)= a(i,j) - r(i,j), где r(i,j) - риск, r(i,j)=bj - a(i,j), bj=max{a(i,j)};

2) В случае, когда известны априорные вероятности состояний: P(S1) = 0.6; P(S2) = 0.3; P(S3) = 0.1 на основе максимизации среднего значения выигрыша;

3) В случае, когда P(S1) = P(S2) = P(S3) = 1/3.

Решение задачи 2

1. Сначала переведём матрицу смертности (проигрыша) в матрицу выживаемости (выигрыша):

	S1	S2	S3
А1	0.95	0.92	0.7
А2	0.8	0.95	1

По матрице игры определим нижнюю α и верхнюю β цены игры:

Нижняя α и верхняя β цены игры не равны, а значит игра не имеет седловой точки, следовательно игра не имеет решений в чистых стратегиях.

Решим задачу при использовании минимаксной смешанной стратегии, используем таблицу выживаемости для вычисления наибольших вероятностей выбора каждой из стратегий. Если вероятность выбора стратегии A1 обозначить как p, тогда вероятность выбора стратегии A2 можно определить как 1-p. Найдём точки пересечения уравнений:

Рассчитаем суммы для каждого из вариантов, найдём для каждого варианта наименьшую сумму и выберем среди них наибольшую, это и будет ответ с точки зрения показателя выигрыша:

pi				min	max(min)
0.185	0.828	0.944	0.944	0.828	0.867, при p = 0.444
0.444	0.867	0.937	0.867	0.867
0.833	0.925	0.925	0.75	0.75

Подтвердим результат графически, наибольшая точка, лежащая на нижней границе игры, и есть нужная там точка (рисунок 3):

Рисунок 3 – Графическое подтверждение решения

Решим задачу другим методом. Рассчитаем матрицу риска, где :

	S1	S2	S3
A1	0	0.03	0.3
A2	0.15	0	0

Теперь рассчитаем матрицу полезности, где :

	S1	S2	S3
A1	0.95	0.89	0.4
A2	0.65	0.95	1

В этом случае

Найдём точки пересечения уравнений и рассчитаем суммы для каждого из вариантов, найдём для каждого варианта наименьшую сумму и выберем среди них наибольшую, это и будет ответ с точки зрения показателя полезности:

pi					min	max(min)
0.0926	0.678	0.944		0.944	0.678	0.767, при p = 0.389
0.389	0.767	0.927		0.767	0.767
0.833	0.9	0.9		0.5	0.5

Подтвердим результат графически, наибольшая точка, лежащая на нижней границе игры, и есть нужная там точка (рисунок 4):

Рисунок 4 – Графическое подтверждение решения

2. В случае, когда известно значение априорных вероятностей, рассчитаем значения среднего выигрыша по формуле:

Значит врач выберет A1, так как она обеспечивает больший средний выигрыш.

Подтвердим результат графически, наибольшая точка линейной функции распределения вероятности по аналогии с пунктом 1, и есть нужная там точка (рисунок 5):

Рисунок 5 – Графическое подтверждение решения

3. Аналогичным образом проведём расчёт для вероятностей P(Si) = 1/3:

Значит врач выберет A2, так как она обеспечивает больший средний выигрыш.

Подтвердим результат графически, наибольшая точка линейной функции распределения вероятности по аналогии с пунктом 1, и есть нужная там точка (рисунок 5):

Рисунок 5 – Графическое подтверждение решения

Вывод

В ходе решения индивидуального домашнего задания были рассмотрены различные способы решения задач по управлению в биотехнических системах.

Была решена задача на линейное программирование в частном случае графическим методом. В ходе задачи было выявлено оптимальное распределение больных на лечение и рассчитана эффективность в 98.

Во второй задаче различными методами при различных условиях было выбрано наилучшее решение по проведению или непроведению операции. При использовании минимаксной смешанной стратегии были рассчитаны вероятности проведения операции для наивысших показателей выживаемости (p = 0.444) и полезности (p = 0. 0.389). В случае известных априорных вероятностей в первом случае было выяснено, что наилучшим решением будет провести операцию, а во втором случае не проводить.