Глава 4: Заключение
Проведённое исследование подтвердило, что дискретное логистическое уравнение, несмотря на свою простую форму, способно демонстрировать исключительно богатое и сложное динамическое поведение. В ходе работы была успешно построена и проанализирована бифуркационная диаграмма, наглядно иллюстрирующая каскад удвоения периода – лестницу Ламерея. Расчёт показателей Ляпунова позволил количественно охарактеризовать переходы от устойчивых состояний к периодическим колебаниям и далее к хаотическому режиму при изменении параметра роста. Полученные графики временных рядов для различных значений параметра стали практическим подтверждением теоретических выводов.
С биологической точки зрения, результаты работы подчёркивают, что даже в идеализированных условиях популяция с дискретным циклом размножения может проявлять как стабильность, так и сложные колебания и хаос, что является важным фактором для экологического прогнозирования и управления. Разработанная модель служит эффективным инструментом для демонстрации фундаментальных принципов нелинейной динамики.
Для дальнейшего развития исследования целесообразно усложнить модель, добавив факторы стохастичности и сезонной изменчивости параметров, что повысит её адекватность реальным биологическим системам. Также перспективным направлением является оптимизация вычислительного алгоритма и визуализация данных в трёхмерном пространстве для анализа влияния нескольких параметров одновременно. Таким образом, работа закладывает основу для более детального и комплексного моделирования динамики популяций.
Список литературы
1. Ризниченко Г. Ю. Лекция 3. Модели роста популяций // Курс лекций: Математические модели в биологии. URL: https://spkurdyumov.ru/education/kurs-lekcij-matematicheskie-modeli-v-biologii/3/ (дата обращения: 06.12.2025).
2. Практическое занятие 3. Модели динамики популяций // Семинар по математической биологии, Кафедра биофизики МГУ. URL: https://mathbio.ru/seminar/2008/pract3.pdf (дата обращения: 06.12.2025).
3. Ласунский А. В. О периоде решений дискретного периодического логистического уравнения // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. 2012, вып. (№) 4. С. 67–73.
4. Курс лекций по математическим моделям в биологии / сост.: А. В. Сергеев // Кафедра дифференциальных уравнений Механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. URL: https://math.msu.ru/sites/default/files/kafedra_diffurov_-_sergeev.pdf (дата обращения: 07.12.2025).
Приложение Листинг программы
clear;
clc;
%% Параметры модели
lambda_min = 2.5; % минимальное значение параметра
lambda_max = 4.0; % максимальное значение параметра
num_lambda = 100; % количество точек по параметру
N = 400; % количество итераций
transient = 200; % длина переходного (транзиентного) участка
x0 = 0.5; % начальное состояние
% Массив значений параметра
lambda_values = linspace(lambda_min, lambda_max, num_lambda);
%% Основной цикл программы. Бифуркационная диаграмма
% Подготовка окна графика
figure ("Name", "Бифуркационная диаграмма ");
hold on;
for i = 1:num_lambda
lambda = lambda_values(i);
x = x0;
sum_log_deriv = 0; % накопитель для Ляпунова (сумма логов производной)
valid_lyap_count = 0;
for n = 1:N
% Главное логистическое уравнение
x = lambda * x * (1 - x);
df_dx = lambda * (1 - 2*x);
% Отбрасываем переходный процесс
if n > transient
plot(lambda, x, '.k', 'MarkerSize', 1);
% исключаем случаи df_dx == 0
if abs(df_dx) > 0
sum_log_deriv = sum_log_deriv + log(abs(df_dx));
valid_lyap_count = valid_lyap_count + 1;
end
end
end
% Ляпунов: среднее логарифма производной по стационарной части
if valid_lyap_count > 0
lyap(i) = sum_log_deriv / valid_lyap_count;
else
lyap(i) = NaN;
end
end
title('Бифуркационная диаграмма (лестница Ламерея)');
xlabel('\lambda');
ylabel('x');
grid on;
hold off;
%% Основной цикл программы. Диаграмма показателей Ляпунова
%Подготовка окна
figure ("Name", "Диаграмма показателей Ляпунова ")
plot(lambda_values, lyap, '-b', 'LineWidth', 1);
hold on;
yline(0,'--r','LineWidth',1);
xlabel('\lambda');
ylabel('\lambda Ляпунова');
title('Диаграмма показателей Ляпунова');
xlim([min(lambda_values) max(lambda_values)]);
grid on;
hold off;
%% Основной цикл программы. Примеры графиков
%Подготовка окна
figure ("Name", "Графики")
%График стабильного значения
subplot(3,1,1);
x=x0;
lambda = 2.5;
for n = 1:N
% Главное логистическое уравнение
x = lambda * x * (1 - x);
temp(n,1) = x;
temp(n,2) = n;
end
plot(temp(:,2), temp(:,1), '-b', 'LineWidth', 1);
hold on;
xlabel('n');
ylabel('X');
ylim([0.55, 0.65]);
title('Пример графика, \lambda = 2.5');
grid on;
hold off;
%График переходного значения (4 состояния)
subplot(3,1,2);
x=x0;
lambda = 3.45;
for n = 1:N
% Главное логистическое уравнение
x = lambda * x * (1 - x);
temp(n,1) = x;
temp(n,2) = n;
end
plot(temp(:,2), temp(:,1), '-b', 'LineWidth', 1);
hold on;
xlabel('n');
ylabel('X');
title('Пример графика, \lambda = 3.45');
grid on;
hold off;
%График хаоса
subplot(3,1,3);
x=x0;
lambda = 3.72;
for n = 1:N
% Главное логистическое уравнение
x = lambda * x * (1 - x);
temp(n,1) = x;
temp(n,2) = n;
end
plot(temp(:,2), temp(:,1), '-b', 'LineWidth', 1);
hold on;
xlabel('n');
ylabel('X');
title('Пример графика, \lambda = 3.72');
grid on;
hold off;