Глава 3: Результаты
Проанализируем результат работы программы. Со следующими заданными параметрами:
lambda_min = 2.5 – минимальное значение параметра
lambda_max = 4.0 – максимальное значение параметра
num_lambda = 100 – количество точек по параметру
N = 400 – количество итераций
transient = 200 – длина переходного (транзиентного) участка
x0 = 0.1 – начальное состояние
На рисунке 1 изображены 3 графика, соответствующие состояниям системы в разных точках n (дискретных отсчётах) при 3 различных значениях параметра: для стабильной работы, точки бифуркации и значения параметра, приводящему систему в хаотичное движение:
Рисунок 1 – Графики переходных процессов при разных значениях параметра
Как
видно из графиков, при
процесс быстро стабилизируется и роста
численности популяции не наблюдается.
При
наблюдается периодическое изменение
численности популяции между 4 состояниями,
достигнуто состояние бифуркации. При
наблюдается состояние системы, близкое
к хаосу и непредсказуемому поведению.
Хоть и наблюдается некоторая периодичность,
однако данное состояние нельзя назвать
устоявшимся.
Рассмотрим диаграмму показателей Ляпунова в зависимости от изменяемого параметра, изображённую на рисунке 2:
Рисунок 2 – Диаграмма показателей Ляпунова
Как
видно из графика, для
показатель находится ниже нуля, что
говорит о стабильности системы. Для
показатель находится близко к нулю, при
этом наблюдается состояние, при котором
система ещё не хаотична, но при этом не
стабилизируется во времени. Для
показатель находится выше нуля, при
этом система показывает хаотичную
природу. Эти данные доказывают взаимосвязь
между показателем Ляпунова и состоянием
система.
Интересным наблюдением также является тот факт, что при некоторых для показатель опускается ниже нуля, при условии, что до этого он был выше. Значит при каких-то значениях для система может вернуться в стабильное состояние.
Данное явление хорошо прослеживается на бифуркационной диаграмме (рисунок 3):
Рисунок 3 – Бифуркационная диаграмма
Как
видно на диаграмме, при
значения выстраиваются в одну линию,
что говорит о стабильности система. При
наблюдается разделение значений на 2
группы, что говорит о непосредственно
бифуркации. При
наблюдается разделение значений на 4
группы – повторная бифуркация. При
значения сначала делятся на 8, потом на
16 и т.д. групп, что переводит систему в
состояние хаоса. В некоторых местах
наблюдаются «белые пятна». При таких
значениях
система опять возвращается к разделению
значений на относительно стабильные
2-4 группы, что также прослеживается на
диаграмме показателей Ляпунова как
опускание показателя ниже нуля.
Данные графики подтверждают предположения, сделанные раньше, а значит систему, при точной настройке, можно использовать для анализа стабильности экосистем при различных воздействиях. Однако данная модель не учитывает различные изменения параметра со временем.
Для улучшения системы можно:
1. Добавить шум к изменению размера популяции, что придаст некоторую случайность, происходящую в природе (не всё потомство выживает, не всегда рождаемость стабильна).
2. Добавить сезонную смену изменения параметра, например по синусоидальному закону.
3. К предыдущим пунктам стоит добавить изменение параметров шума и сезонной изменчивости, для более точного анализа
4. Графики стоит перестроить в 3-х мерный вид чтобы анализировать систему не только по изменению параметра , но и по изменению других параметров.
5. Разработать программу на других языках программирования и сделать её более эффективной с точки зрения затратности ресурсов системы, так как увеличение числа и шага изменения параметров приводит к более долгой обработке кода системой, что может привести к нестабильности работы уже самой программы. При предельном увеличении числа параметров и уменьшении шага изменения, ресурсов компьютера может просто не хватить для обработки, что сделает анализ невозможным.