1.2 Дискретное логистическое уравнение и «лестница Ламерея»

Дискретное логистическое уравнение, также называемое логистическим отображением, является одной из фундаментальных моделей нелинейной динамики в биологических системах. В отличие от непрерывной логистической модели Ферхюльста, оно описывает развитие популяции во времени скачкообразно – от одного дискретного поколения к следующему. Модель задаётся рекуррентным соотношением:

где – численность (или нормированная численность) популяции в момент времени , – коэффициент размножения (темп роста), – ёмкость среды.

Часто используется безразмерная форма уравнения:

где параметр объединяет биологические характеристики роста и ограничений среды. При изменении параметра дискретное логистическое уравнение демонстрирует принципиально различное поведение системы. Последовательное удвоение периода при плавном изменении параметра называется каскадом бифуркаций.

Так называемая «лестница Ламерея» (часто также именуемая лестницей Фейгенбаума, или каскадом удвоения периода) представляет собой последовательность бифуркаций, при которых система последовательно переходит от устойчивого стационарного режима к колебаниям с периодами:

При этом значения параметра , в которых происходят бифуркации, стремятся к предельному значению . Интервалы между последовательными бифуркациями уменьшаются по универсальному закону, описываемому постоянной Фейгенбаума:

С биологической точки зрения это означает, что при увеличении интенсивности размножения популяция может последовательно перестать быть стабильной, начать колебаться между двумя значениями численности, затем между четырьмя, восьмью и далее, вплоть до хаотических флуктуаций. Такие эффекты могут наблюдаться в реальных экосистемах, особенно у видов с высокой чувствительностью к плотности популяции и быстрым жизненным циклом. [1-4]

Глава 2: Разработка системы или модели

В качестве основной математической конструкции в данной работе используется дискретное логистическое отображение, которое является естественным развитием классической логистической модели Ферхюльста. Выбор именно этой модели обусловлен тем, что она позволяет качественно описывать динамику популяции с дискретными поколениями и демонстрирует богатое динамическое поведение, отсутствующее в непрерывных моделях.

Целью построения модели является демонстрация эффекта каскада удвоений периода, известного как «лестница Ламерея», а также изучение перехода системы от устойчивого равновесного состояния к регулярным колебаниям и далее – к хаотическому режиму. С помощью модели планируется наглядно показать, каким образом простое нелинейное правило роста может приводить к сложной, на первый взгляд, случайной динамике.

В качестве базовой математической формы используется рекуррентное соотношение логистического типа:

где – нормированная численность популяции в момент дискретного времени , а параметр интерпретируется как интенсивность размножения.

Ожидаемым результатом работы модели является последовательное появление режимов с различной периодичностью: сначала устойчивого стационарного состояния, затем колебаний с периодом 2, далее с периодами 4, 8 и так далее, вплоть до перехода к хаотическим флуктуациям. Именно эта последовательность и формирует визуальный и математический образ «лестницы Ламерея». [3, 4]

Принцип работы модели заключается в последовательном итеративном применении одного и того же правила к текущему значению численности популяции. При плавном увеличении параметра система теряет устойчивость стандартного равновесия и начинает демонстрировать всё более сложные режимы движения, что и позволяет исследовать структуру бифуркаций и природу детерминированного хаоса в биологических системах.

Разработанная программа работает следующим образом:

1. Выбирается диапазон значений , в котором будет происходить расчёт.

2. Для каждого из значений производится симуляция из N шагов, первые m которых отбрасываются, так как предполагается, что система ещё не успела устояться.

3. Строится бифуркационная диаграмма – график по оси абсцисс которого откладывается изменяемый параметр ( ), а по оси ординат – все точки, соответствующие модели с данным параметром, рассчитанные в предыдущем пункте. Таким образом отражаются состояния системы, между которыми происходят переходы и случай хаоса.

4. Для более формальной оценки стабильности системы строится диаграмма показателей Ляпунова (величина, характеризующая скорость удаления друг от друга траекторий; положительность показателя Ляпунова обычно свидетельствует о хаотическом поведении системы), которые рассчитываются по формуле:

где .

5. Для примера, строится 2 графика: из области стабильности и из области хауса.

Данная программа позволит проанализировать работоспособность модели и ещё стабильность в зависимости от разного уровня . Логистическое уравнение описывает, как численность популяции меняется со временем с учётом ограниченных ресурсов. Исследование его позволяет:

 Определить устойчивые состояния (точки равновесия), к которым стремится популяция.

 Выявить колебания и циклы, которые могут наблюдаться в реальных популяциях (Если добавить сезонность в изменении параметра, то, например, сезонные колебания численности).

 Понять, при каких условиях система становится хаотической, то есть когда малые изменения в численности или условиях могут приводить к резким непредсказуемым колебаниям.

В биологических исследованиях это важно для:

 Управления численностью животных или растений.

 Планирования мер охраны редких видов.

 Предсказания вспышек болезней или размножения вредителей.

 Предсказания воздействия человека на экологические системы.