МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра биотехнические системы и технологии
Курсовая РАБОТА
по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем»
Тема: Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея.
Студент гр. 2503 |
|
Кузнецов Д.А. |
Преподаватель |
|
Палогианнидис Д. |
Санкт-Петербург
2025
ЗАДАНИЕ
на курсовую работу
Студент Кузнецов Д.А. |
||
Группа 2503 |
||
Тема работы: Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея (построение временной зависимости для численности по графику зависимости, анализ устойчивости положения равновесия) |
||
Исходные данные: Требуется на основе модели дискретного логистического уравнения построить временную зависимость для численности по графику зависимости, проанализировать устойчивость положения равновесия |
||
Содержание пояснительной записки: «Содержание», «Введение», «Теоретическая часть», «Разработка модели», «Результаты», «Заключение», «Список использованных источников» |
||
Предполагаемый объем пояснительной записки: Не менее 20 страниц. |
||
Дата выдачи задания: 06.10.2025 |
||
Дата сдачи реферата: 08.12.2025 |
||
Дата защиты реферата: 15.12.2025 |
||
Студент(ка) |
|
Кузнецов Д.А. |
Преподаватель |
|
Палогианнидис Д. |
Аннотация
В данной работе исследуется дискретное логистическое уравнение для анализа динамики популяций с неперекрывающимися поколениями. Основной целью является моделирование и визуализация каскада бифуркаций удвоения периода – лестницы Ламерея. Метод исследования включает численное моделирование в среде MATLAB, построение бифуркационной диаграммы и расчет показателей Ляпунова. Полученные результаты наглядно демонстрируют переход системы от устойчивого равновесия через режимы с удваивающейся периодичностью к хаотическому поведению при изменении параметра роста.
Summary
In this paper, we study a discrete logistic equation for analyzing the dynamics of populations with non-overlapping generations. The main goal is to model and visualize the cascade of period doubling bifurcations – the Lameray ladder. The research method includes numerical modeling in the MATLAB environment, the construction of a bifurcation diagram and the calculation of Lyapunov exponents. The results obtained clearly demonstrate the system's transition from stable equilibrium through regimes with doubling frequency to chaotic behavior when the growth parameter changes.
Содержание
|
Введение |
5 |
1 |
Теоретическая основа |
6 |
1.1. |
Модели популяций |
6 |
1.2. |
Дискретное логистическое уравнение и «лестница Ламерея» |
10 |
2 |
Разработка системы или модели |
12 |
3 |
Результаты |
15 |
|
Заключение |
19 |
|
Список использованных источников |
20 |
|
Приложение. Листинг программы |
21 |
Введение
Целью данной курсовой работы является исследование сложного динамического поведения, присущего простым нелинейным системам в биологии, на примере дискретного логистического уравнения.
Актуальность работы обусловлена необходимостью понимания механизмов, лежащих в основе колебаний численности популяций в природе, включая переход к квазислучайным, хаотическим изменениям.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие основные задачи:
Построение математической модели на основе логистического отображения;
Проведение численного эксперимента для визуализации бифуркационной диаграммы (лестницы Ламерея);
Анализ устойчивости положений равновесия системы с помощью расчёта показателей Ляпунова;
интерпретация полученных результатов с биологической точки зрения.
Методологической основой решения этих задач послужил аппарат нелинейной динамики и теория бифуркаций. Практическая реализация модели и вычисления были выполнены с помощью среды программирования MATLAB, что позволило наглядно проанализировать зависимость долгосрочного поведения системы от ключевого параметра – коэффициента размножения.