Глава 2: Разработка модели

2.1 Анализ выбранной модели

На основе анализа различных моделей, за основу данной работы была выбрана модель Уилсона-Коуэна, так как она достаточно проста в реализации и имеет по собой биологическую основу, что делает её более биологически правдоподобной, чем простые осцилляторы. Эта модель также важна с исторической точки зрения, поскольку в ней используются методы фазовой плоскости и численные решения для описания реакции популяций нейронов на раздражители. Поскольку нейроны в модели простые, прогнозируется только элементарное предельное циклическое поведение, то есть нейронные колебания, а также вызванные реакции, зависящие от раздражителя. Ключевые выводы включают в себя наличие нескольких стабильных состояний и гистерезис в реакции популяции.

В рамках данной модели взаимодействие крупных отделов мозга описывается системой связанных нелинейных дифференциальных уравнений. Предполагается, что внутри каждого из таких отделов мозга существуют участки однородных нервных клеток (нейронные популяции). Допустим, что существуют две нейронные популяции: возбудительная и тормозная. Состояние каждой из этих популяций характеризует величина, равная отношению числа активных нейронов к их общему числу.

Общая форма уравнений данной модели выглядит следующим образом:

Здесь * – свёртка по пространственной переменной, – ядро пространственной связи, – параметры, связанных с рефрактерностью, – временные масштаб-факторы (аналог мембранного времени), – внешние входы, а – функции отклика (сигмоиды).

Однако в данной работе будет использоваться упрощённая одноузловая модель, выражающаяся через упрощённые формулы:

Данные уравнения отражают изменение популяции возбуждающих и тормозящих нейронов во времени с учётом силы связи между популяциями и времени релаксации между активациями каждой из групп. При упрощении часто берут или даже (т.е. без явной рефрактерности) – в литературе встречаются оба варианта.

В качестве сигмоидальной функции отклика часто используется:

Эта форма сдвинута на константу , чтобы . В данной формуле – крутизна, – порог. Однако, для изменения выходного сигнала, можно использовать как другие формы сигмоидальной функции, так и другие функции отклика в целом. [8]

Данная модель не даёт распределение потенциалов напрямую, однако можно предположить, что ток линейно зависит от количества нейронов в возбуждающей популяции. В таком случае можно допустить, что , то есть приравнять сигнал электрода к изменению популяции возбуждающих нейтронов.

Ещё одна проблема – данная модель, при постоянном входе способна генерировать либо затухающие колебания, либо автоколебания, что не подходит для модели ЭЭГ, частотный состав которой может изменяться во времени. В данной работе, для обеспечения получения более хаотичного сигнала, в качестве входных воздействий был использован Гауссовский шум.

2.2 Реализация модели

Модель была реализована с помощью языка C++ и стандартных библиотек. Программа состоит из следующих частей:

• Структура WC_args – шаблон набора параметров, необходимых для генерации модели.

• Класс EEG_pattern_factory необходим для автоматического создания заранее спроектированных структур WC_args и хранения их. В случае необходимости, к ней можно обратиться по названию конкретной структуры, для получения набора параметров, её характеризующих.

• Класс EEG – основный класс модели. Он хранит набор параметров для генерации сигнала, при этом изначально, в отличии от фабрики, его набора параметров пуст и требует заполнения для генерации. Класс включает методы для добавления и удаления наборов параметров, а также для генерации сигнала с заданной частотой дискретизации и заданной длиной по набору параметров.

Класс EEG содержит несколько функций, но необходимые из них для генерации сигнала лишь следующие:

Функция calk – публичная и доступна для вывода из вне. Это функция, инициализирующая расчёт сигнала по заданным параметрам: частоте дискретизации, максимальной длине сигнала и названию набора параметров.

Сначала функция ищет набор параметров и, если находит его, то переходит к этапу расчёта. Так как модель основывается на дифференциальных уравнениях, то для расчёта функции будет использоваться расчёт по методу Эйлера. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией – так называемой ломаной Эйлера. В таком случае дифференциальные уравнения заменяются на пошаговый расчёт приращений:

Для такого способа расчёта должны быть заданы исходные значения размеров популяций E и I. Для расчёта были взять .

Каждое следующее приращение рассчитывается через цикл вызова приватной функций step. В функции используются следующие формулы:

Они необходимы для расчёта значений, передаваемых в функции активаций соответствующих параметров. Здесь n – номер шага. Значения P(n) и Q(n) рассчитываются каждый шаг и представляют собой одно значение Гауссовского шума, рассчитанного по формуле:

Здесь rand – случайное число в интервале , а – стандартное отклонение Гауссовского шума. Масштабирующий коэффициент 0.2 необходим для уменьшения влияния шума на выходной сигнал.

Далее внутри функции step вызывается приватные функции S_E и S_I для расчёта функций отклика каждого из параметров. В них передаются параметры XE и XI соответственно. Данный расчёт выведен в отдельную функцию для упрощения изменения функции отклика при необходимости.

Из функций S_E и S_I возвращаются значения функций отклика, которые далее используются в функции расчёта отсчёта step. Далее, предыдущие значения размера популяций изменяются по формулам:

Если сгенерировано более 1 секунды сигнала, значения записываются в выходной массив. Это сделано с целью исключения начального периода настройки осцилляций в начале сигнала. После полной генерации массива, он проходит процедуру сглаживания линейно-взвешенным скользящим фильтром с окном 3 значения.