МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра биотехнических систем
отчет
По лабораторной работе №3
По дисциплине «Теория случайных процессов»
Тема: ЦЕПИ МАРКОВА И СИСТЕМЫ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
Вариант 2
Студенты гр. 2503 |
|
Малышев К.А. |
|
|
Новикова С.Л. |
|
|
Ковалёва Д.Д. |
Преподаватель |
|
Скоробогатова А.И. |
Санкт-Петербург
2024
Лабораторная работа №3.
Цель работы: Цель лабораторной работы – изучить методы создания и анализа цепей Маркова, а так же методы анализа СМО.
Базовые теоретические сведения
1. Цепи маркова
Цепь Маркова – последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что, говоря нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого.
Статистические характеристики
Переходы в цепях Маркова могут быть заданы при помощи матрицы переходов, в которой каждый элемент матрицы pij показывает вероятность перехода цепи из состояния i в состояние j.
2. Системы массового обслуживания (смо)
Система массового обслуживания (СМО) – система, которая производит обслуживание поступающих в нее требований. Обслуживание требований в СМО осуществляется обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди. Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживании каждого канала имеет интенсивность μ. Длина очереди – m. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Основные показатели СМО:
Абсолютная пропускная способность системы (А) – среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Относительная пропускная способность (Q) – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой;
Вероятность отказа (Ротк) – вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной.
Другие показатели:
Среднее количество занятых каналов (kзан);
Среднее количество заявок в системе (Lсист);
Среднее время пребывания заявки в системе (Tсист);
Средняя длина очереди (Lоч);
Среднее время ожидания заявки в очереди (Tоч).
Для многоканальной СМО с ограниченной длиной очереди эти характеристики рассчитываются следующим образом:
Задание на лабораторную работу.
Цепи маркова
Вариант |
p11 |
p12 |
p13 |
p14 |
p21 |
p22 |
p23 |
p24 |
2 |
2 |
5 |
3 |
4 |
8 |
5 |
4 |
2 |
|
p31 |
p32 |
p33 |
p34 |
p41 |
p42 |
p43 |
p44 |
2 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
5 |
4 |
4 |
СМО
Вариант |
λ |
μ |
n |
m |
2 |
10 |
5 |
2 |
10 |
Цепи маркова
Код программы представлен в приложении 1. В результате работы программы получены следующие графики, представленные на рисунках 1 – 2.
Рис. 1. Исходная цепь маркова.
Рис. 2. 200 итераций исходной цепи.
Рис. 3. 1000 итераций исходной цепи.
Рис. 4. 10000 итераций исходной цепи.
Рис. 5. Цепь, построенная после 200 итераций.
Рис. 6. Цепь, построенная после 1000 итераций.
Рис. 7. Цепь, построенная после 10000 итераций.
Рис. 8. 200 итераций вторичной цепи из рис. 5.
В ходе работы программы в консоль выводились следующие матрицы для цепей Маркова:
Нормированная матрица переходов:
[[0.14285714 0.35714286 0.21428571 0.28571429]
[0.42105263 0.26315789 0.21052632 0.10526316]
[0.35714286 0.28571429 0.21428571 0.14285714]
[0.07142857 0.35714286 0.28571429 0.28571429]]
Кумулятивная матрица переходов:
[[0.14285714 0.5 0.71428571 1.0]
[0.42105263 0.68421053 0.89473684 1.0]
[0.35714286 0.64285714 0.85714286 1.0]
[0.07142857 0.42857143 0.71428571 1.0]]
Оценочная матрица переходов для 200 итераций:
[[0.18181818 0.27272727 0.28787879 0.25757576]
[0.48333333 0.3 0.18333333 0.03333333]
[0.51111111 0.31111111 0.08888889 0.08888889]
[0.06896552 0.34482759 0.37931034 0.20689655]]
Оценочная матрица переходов для 1000 итераций:
[[0.15884477 0.33574007 0.2599278 0.24548736]
[0.43894389 0.24092409 0.21452145 0.10561056]
[0.34285714 0.28163265 0.24489796 0.13061224]
[0.08571429 0.39428571 0.27428571 0.24571429]]
Оценочная матрица переходов для 10000 итераций:
[[0.15066922 0.34875717 0.22141491 0.2791587 ]
[0.41315015 0.26561989 0.21753353 0.10369643]
[0.34760274 0.27482877 0.21190068 0.16566781]
[0.07279116 0.34688755 0.3002008 0.28012048]]
Из полученных данных видно, что оценочная матрица переходов наиболее точно походит на исходную при увеличении количества итераций переходов, что доказывается законом больших чисел.
СМО
Код программы представлен в приложении 2. В результате работы программы получены следующие данные:
Результаты расчета показателей системы массового обслуживания:
Показатель |
Значение |
Вероятность свободности канала (p0) |
0,2 |
Вероятность занятости канала (p1) |
0,8 |
Абсолютная пропускная способность (A) |
6 |
Относительная пропускная способность (Q) |
0,6 |
Вероятность отказа (P_отк) |
0,4 |
Среднее количество занятых каналов (k_зан) |
1,2 |
Среднее количество заявок в системе (L_сист) |
5,6 |
Среднее время пребывания заявки в системе (T_сист) |
0,56 |
Средняя длина очереди (L_оч) |
4,4 |
Среднее время ожидания заявки в очереди (T_оч) |
0,44 |
Оценим полученные значения:
Высокая загруженность — 80% времени каналы заняты, и только 20% остаются свободными.
Высокая вероятность отказа — 40% заявок получают отказ из-за переполненности системы.
Очереди и время ожидания — система накапливает в среднем 4.4 заявки в очереди, что приводит к увеличению времени ожидания.
Пропускная способность — относительная пропускная способность составляет всего 60%, что указывает на низкую эффективность обслуживания всех поступающих заявок.
Вывод: Система не является эффективной, так как вероятность отказа высока, формируется довольно большая очередь, и среднее время пребывания заявки в системе хоть и невелико, но не позволяет системе работать эффективно.
Вывод
В ходе лабораторной работы были изучены концепции, лежащие в основе теории создания и анализа цепей Маркова, а также систем массового обслуживания.
Было выявлено, что при вторичной оценке переходов в цепи Маркова, полученные данные будут наиболее походить на исходные при увеличении числа итераций переходов, что доказывается законом больших чисел.
В случае с системами массового обслуживания, было выяснено, что система из задания является не эффективной, так как очередь в ней почти собирается достаточно большая, время пребывания в ней хоть и невелико, но не позволяет уменьшить вероятность отказов, а вероятность отказов стремится к 40%, что тоже неэффективно.