МИНОБРНАУКИ РОССИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)
Кафедра биотехнических систем
ОТЧЕТ
По лабораторной работе №3
По дисциплине «Теория случайных процессов» ТЕМА: ЦЕПИ МАРКОВА И СИСТЕМЫ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
Вариант 2
Студенты гр. 2503 |
Малышев К.А. |
Новикова С.Л.
Ковалёва Д.Д.
Преподаватель |
|
Скоробогатова А.И. |
|
|
|
Санкт-Петербург
2024
Лабораторная работа №3.
Цель работы: Цель лабораторной работы – изучить методы создания и анализа цепей Маркова, а так же методы анализа СМО.
Базовые теоретические сведения
1. Цепи маркова
Цепь Маркова – последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что, говоря нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого.
Статистические характеристики
Переходы в цепях Маркова могут быть заданы при помощи матрицы переходов, в которой каждый элемент матрицы pij показывает вероятность перехода цепи из состояния i в состояние j.
2. Системы массового обслуживания (СМО)
Система массового обслуживания (СМО) – система, которая производит обслуживание поступающих в нее требований. Обслуживание требований в СМО осуществляется обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди. Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживании каждого канала имеет интенсивность μ. Длина очереди – m. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Основные показатели СМО:
2
− Абсолютная пропускная способность системы (А) – среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени;
−Относительная пропускная способность (Q) – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемых системой;
−Вероятность отказа (Ротк) – вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной.
Другие показатели:
−Среднее количество занятых каналов (kзан);
−Среднее количество заявок в системе (Lсист);
−Среднее время пребывания заявки в системе (Tсист);
−Средняя длина очереди (Lоч);
−Среднее время ожидания заявки в очереди (Tоч).
Для многоканальной СМО с ограниченной длиной очереди эти характеристики рассчитываются следующим образом:
3
Задание на лабораторную работу.
Цепи маркова
Вариант |
p11 |
p12 |
|
p13 |
|
p14 |
|
p21 |
p22 |
p23 |
p24 |
2 |
2 |
|
5 |
|
3 |
|
4 |
8 |
5 |
4 |
2 |
|
p31 |
p32 |
|
p33 |
|
p34 |
|
p41 |
p42 |
p43 |
p44 |
2 |
5 |
|
4 |
|
3 |
|
2 |
1 |
5 |
4 |
4 |
СМО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
λ |
μ |
|
n |
|
m |
|
|
|
|
|
2 |
10 |
|
5 |
|
2 |
|
10 |
|
|
|
|
Цепи маркова
Код программы представлен в приложении 1. В результате работы программы получены следующие графики, представленные на рисунках 1 – 2.
Рис. 1. Исходная цепь маркова.
4
Рис. 2. 200 итераций исходной цепи.
Рис. 3. 1000 итераций исходной цепи.
5
Рис. 4. 10000 итераций исходной цепи.
Рис. 5. Цепь, построенная после 200 итераций.
6
Рис. 6. Цепь, построенная после 1000 итераций.
Рис. 7. Цепь, построенная после 10000 итераций.
7
Рис. 8. 200 итераций вторичной цепи из рис. 5.
В ходе работы программы в консоль выводились следующие матрицы для цепей Маркова:
Нормированная матрица переходов:
[[0.14285714 0.35714286 0.21428571 0.28571429] [0.42105263 0.26315789 0.21052632 0.10526316] [0.35714286 0.28571429 0.21428571 0.14285714] [0.07142857 0.35714286 0.28571429 0.28571429]]
Кумулятивная матрица переходов:
[[0.14285714 |
0.5 |
0.71428571 |
1.0] |
[0.42105263 |
0.68421053 |
0.89473684 |
1.0] |
[0.35714286 |
0.64285714 |
0.85714286 |
1.0] |
[0.07142857 |
0.42857143 |
0.71428571 |
1.0]] |
Оценочная матрица переходов для 200 итераций:
[[0.18181818 0.27272727 0.28787879 0.25757576] [0.48333333 0.3 0.18333333 0.03333333] [0.51111111 0.31111111 0.08888889 0.08888889] [0.06896552 0.34482759 0.37931034 0.20689655]]
8
Оценочная матрица переходов для 1000 итераций:
[[0.15884477 0.33574007 0.2599278 0.24548736] [0.43894389 0.24092409 0.21452145 0.10561056] [0.34285714 0.28163265 0.24489796 0.13061224] [0.08571429 0.39428571 0.27428571 0.24571429]]
Оценочная матрица переходов для 10000 итераций:
[[0.15066922 0.34875717 0.22141491 0.2791587 ] [0.41315015 0.26561989 0.21753353 0.10369643] [0.34760274 0.27482877 0.21190068 0.16566781] [0.07279116 0.34688755 0.3002008 0.28012048]]
Из полученных данных видно, что оценочная матрица переходов наиболее точно походит на исходную при увеличении количества итераций переходов, что доказывается законом больших чисел.
СМО
Код программы представлен в приложении 2. В результате работы программы получены следующие данные:
Результаты расчета показателей системы массового обслуживания:
Показатель |
|
Значение |
|
|
|
|
|
|
Вероятность свободности канала (p0) |
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
Вероятность занятости канала (p1) |
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
Абсолютная пропускная способность (A) |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
Относительная пропускная способность (Q) |
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
Вероятность отказа (P_отк) |
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
Среднее количество занятых каналов (k_зан) |
|
1,2 |
|
|
|
9
Показатель |
|
Значение |
|
|
|
|
|
|
Среднее количество заявок в системе (L_сист) |
|
5,6 |
|
|
|
|
|
|
Среднее время пребывания заявки в системе (T_сист) |
|
0,56 |
|
|
|
|
|
|
Средняя длина очереди (L_оч) |
|
4,4 |
|
|
|
|
|
|
Среднее время ожидания заявки в очереди (T_оч) |
|
0,44 |
|
|
|
Оценим полученные значения: |
|
|
Высокая загруженность — 80% времени каналы заняты, и только 20%
остаются свободными.
Высокая вероятность отказа — 40% заявок получают отказ из-за
переполненности системы.
Очереди и время ожидания — система накапливает в среднем 4.4
заявки в очереди, что приводит к увеличению времени ожидания.
Пропускная способность — относительная пропускная способность составляет всего 60%, что указывает на низкую эффективность обслуживания всех поступающих заявок.
Вывод: Система не является эффективной, так как вероятность отказа высока, формируется довольно большая очередь, и среднее время пребывания заявки в системе хоть и невелико, но не позволяет системе работать эффективно.
10