МИНОБРНАУКИ РОССИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)
Кафедра биотехнических систем
ОТЧЕТ
По лабораторной работе №2 По дисциплине «Теория случайных процессов»
ТЕМА: БЕЛЫЙ ШУМ И СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ
Вариант 2
Студенты гр. 2503 |
Малышев К.А. |
Новикова С.Л.
Ковалёва Д.Д.
Преподаватель |
|
Скоробогатова А.И. |
|
|
|
Санкт-Петербург
2024
Лабораторная работа №2.
Цель работы: изучить концепции, лежащие в основе теории случайных процессов и получить навыки генерирования случайных блужданий и белого шума.
Базовые теоретические сведения
1. Белый шум
Простейшим случайным процессом ξ(n) является белый гауссовский шум, который представляет собой последовательность некоррелированных случайных переменных с нормальным распределением, где n – отсчеты времени, l – временной сдвиг (лаг).
Статистические характеристики
среднее по ансамблю
среднее по времени для k-й реализации
Важной концепцией случайных процессов является эргодичность,
которая означает, что статистические характеристики случайного процесса,
полученные в ходе усреднения по времени, равны полученным при усреднении по ансамблю. Для этого необходимо, чтобы µξ[n] = µξ независимо
от n, ̃ ̃. Эргодичность связана со стационарностью в широком смысле.
= ξ
Важной характеристикой случайного процесса является выборочная корреляция по ансамблю:
2
Мы называем ее «выборочной», поскольку K конечно, настоящее среднее по ансамблю ( , ) = [ ( ) ( )] будет получено при → ∞.
Также важное значение играет нормированный коэффициент корреляции:
2. Случайные блуждания (винеровский процесс)
Для задания процесса со случайными блужданиями необходимо рекурсивно генерировать последовательность:
Положим, мы имеем дискретную случайную величину X, которая принимает конечное или счетное число значений { }, = 1,2, … , с вероятностями = { = }, = ∑=1 = 1 (в общем случае, n может быть равно ∞ ).
3. Случайные блуждания с затуханием
Случайные блуждания с поглощением являются стационарным случайным процессом и могут быть заданы следующим выражением:
где 
. Также, как и случайные блуждания, этот процесс является авто-регрессионным (AR) процессом первого порядка.
3
Так как данный процесс является стационарным для больших значений n, среднее по времени должно быть равно среднему по ансамблю. Тогда автокорреляция может быть рассчитана по одной реализации:
Задание на лабораторную работу.
Белый гауссовский шум
N |
|
|
K |
µ |
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
400 |
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайные блуждания |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
N |
K |
µ |
σ |
L1 |
L2 |
||
|
|
|
|
|
|
||
200 |
400 |
0 |
1 |
2 |
20 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Белый шум
Код программы представлен в приложении 1. В результате работы программы получены следующие графики, представленные на рисунках 1 и 2.
Процесс выглядит эргодическим, т. к. его усреднение по времени близко к усреднению по ансамблю (хоть и имеет большое отклонение, вызванное ограниченностью выборки), и они сближаются с увеличением числа реализаций длин выборок.
4
Рис. 1. Графики, матрицы и средних значений.
Рис. 2. Графики совместных распределений
Случайные блуждания без затуханий
Код программы представлен в приложении 2. В результате работы программы получены следующие графики, представленные на рисунках 3, 4 и 5.
5
Рис. 3. Все реализации случайных блужданий и средние значения
Рис. 4. Скаттерограмма случайных блужданий
6
Рис. 5. Выборочная АКФ по ансамблю
Теоретические расчёты:
Для каждого n математическое ожидание будет равно сумме математических ожиданий независимых друг от друга шагов, а именно ( ) =∙ = ∙ 0 = 0, где mu – математическое ожидание значения шага
Т.к. шаги независимы друг от друга, то СКО случайного процесса будет складываться из СКО каждого шага, а именно ( ) = √ ∙ = √ ∙ 1 = √ , где – СКО шага. При n→∞ СКО→∞.
( , − 1) = [( ( − 1) + ( )) ∙ ( − 1)] = [ 2( − 1) + ( ) ∙( − 1)] = [ 2( − 1)] + [ ( ) ∙ ( − 1)] = 2( ( − 1)) + ( ( )) ∙( ( − 1)) = (√ − 1)2 + 0 ∙ 0 = − 1
Аналогично для ( , − 2) = − 2, ( , − ) = −
Вывод: Данный процесс нельзя назвать стационарный в широком
смысле, r не зависит ни от n, ни от l.
7
При фиксированном l и n→∞, подсчет r численным методом будет стремиться к 0.
На рис. 3 совокупность реализаций СП выглядит, как множество линий,
лежащих вокруг графиков функций = √ , что подтверждает полученную для СКО формулу.
Чем ближе скаттерограмма (рис. 4) к прямой y=x, тем лучше
коррелируются абсциссы и ординаты точек. Скаттерограмма для шага 1
показывает большую коррелированность, чем для шага 10, следовательно для данной в задании длины случайного процесса (500 шагов) для расчёта М и СКО нужно брать усреднение по ансамблю. Значит, данный процесс нельзя назвать эргодическим.
Так как данный процесс нельзя назвать эргодическим, значит для каждой реализации будет свое значение автокорелляции ̂(n , n − l) и
нельзя сделать оценку автокорелляции по одной реализации, нужен целый ансамбль (рис. 5).
Случайные блуждания с затуханием
Код программы представлен в приложении 3. В результате работы программы получены следующие графики, представленные на рисунках 6, 7 и 8.
8
Рис. 6. Все реализации случайных блужданий с затуханием
Рис. 7. Скаттерограмма случайных блужданий с затуханием
9
|
|
|
|
|
Рис. 8. Выборочная АКФ по ансамблю |
|
|||||||||||
|
Теоретические расчёты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) = = 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) = 0,9 (1) + |
= 0,9 |
+ |
|
= 0,9 + 1 = 1,9 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(3) = 0,9 (2) + |
= 0,92 + 0,9 |
= ∑ −1 |
∙ 0,9 |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
∙(1−0,9−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
, где = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ (1 − 0, 9−1) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
( ) = |
√ |
( ) = √ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 0,9 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( ) = √ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
1 − 0,9 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10