Генерирование дискретно распределённых случайных величин.

Положим, мы имеем дискретную случайную величину X, которая принимает конечное или счетное число значений {0, 1, 2, 3, 4} с вероятностями p_i = {0.4096, 0.4096, 0.1536, 0.0256, 0.0016}.

Поделим интервал [0, 1] на подынтервалы с длинами p. Равномерно распределенная случайная величина на интервале может принимать любое из значений с вероятностью, равной длине интервала, так, что с вероятностью p случайная величина принимает значение x. Тогда для получения реализации x случайной переменной X, нам нужно взять значение z случайной величины Z и определить интервал, в который z попадает. Если значение z попадает в интервал p_i, величина x равна x_i.

Алгоритм для генерации дискретной случайной величины представлен на рисунке 3.

Рис. 3. Алгоритм реализации случайной величины.

Реализуем данный алгоритм в коде (Приложение 2) и аналогичным образом представим основные характеристики выборок.

Для выборок размером 50, 200 и 1000 получаем следующие графики плотности распределения (рис. 4) и функции распределения (рис. 5), а также основные параметры выборок (таблица 2):

Таблица 2. Основные полученные параметры выборок.

Общие параметры
Размер выборки	Матожидание	Дисперсия	СКО
50	0,86	0,816735	0,903734
200	0,83	0,624221	0,790077
1000	0,811	0,637917	0,798697
Для а = 0.1
Размер выборки	Нижняя граница оценки среднего	Верхняя граница оценки среднего	Нижняя граница оценки дисперсии	Верхняя граница оценки дисперсии
50	0,666352	1,053648	1,179477	0,603268
200	0,734562	0,925438	0,742228	0,533335
1000	0,768478	0,853522	0,687738	0,593567
Для а = 0.05
Размер выборки	Нижняя граница оценки среднего	Верхняя граница оценки среднего	Нижняя граница оценки дисперсии	Верхняя граница оценки дисперсии
50	0,627887	1,092113	1,268265	0,569904
200	0,716116	0,943884	0,767614	0,51767
1000	0,760318	0,861682	0,697775	0,585472
Для а = 0.01
Размер выборки	Нижняя граница оценки среднего	Верхняя граница оценки среднего	Нижняя граница оценки дисперсии	Верхняя граница оценки дисперсии
50	0,550456	1,169544	1,468659	0,511564
200	0,679801	0,980199	0,820639	0,488795
1000	0,744346	0,877654	0,717963	0,570073

Рис 4. Графики плотностей распределения для разных выборок.

Рис. 5. Распределения случайных величин для различных выборок.

Для данной функции математическое ожидание M равно 0.8, дисперсия D 0.64, а СКО σ 0.8.

Как видно из полученных данных, при увеличении размера выборки, её параметры приближаются к идеальным, что доказывает закон больших чисел.

Вывод.

В ходе работы были изучены методы реализации генерации случайных величин с непрерывным и дискретным распределением. На основании полученных данных было выяснено что при увеличении размера выборки, её параметры будут стремиться к идеальным, что доказывается законом больших чисел.