МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра БТС

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №1

по дисциплине «Теория случайных процессов»

Тема: Моделирование непрерывных и дискретных случайных величин

Вариант 2

Студенты гр. 2503		Малышев К.А.
		Новикова С.Л.
		Ковалёва Д.Д.
Преподаватель		Скоробогатова А.И.

Санкт-Петербург

2024

Лабораторная работа №1. Моделирование непрерывных и дискретных случайных величин.

Цели работы. Цель лабораторной работы – получить знание о генераторах случайных величин и их практической реализации. Работа также закрепляет практические навыки применения теории вероятностей и основ статистического анализа.

Основные теоретические сведения.

Непредсказуемость – одна из ключевых концепций систем реального мира и имеет место практически в каждой относительно сложной биомедицинской модели. Случайные величины используются для описания влияния различных факторов на систему, флюктуации параметров системы или случайной компоненты входных или выходных сигналов. Знание о применении случайных величин необходимо для моделирования любой относительно сложной биомедицинской системы; это один из основных составных компонентов, которые используется в практике построения моделей.

Во многих языках программирования случайные (или псевдослучайные) числа генерируются при помощи специальных функций. В PYTHON это реализовано следующими функциями:

random() возвращает просто число в промежутке [0, 1), с одним целым числом (random(n)) - одномерный массив размером n, с кортежем (random((n1,n2))) - массив с размерами n1 х n2, указанными в кортеже (все числа в массиве принадлежат промежутку [0, 1)).

На практике чаще всего используются равномерно распределенные переменные на интервале от 0 до 1. В данной работе вы научитесь генерировать случайные величины, имеющие различные непрерывные и дискретные законы распределения на основе стандартных генераторов равномерно распределенных чисел.

Генерирование непрерывно распределённых величин.

Для генерации различных случайных величин используется метод обратных функций. Мы имеем случайную переменную X, определенную на интервале [0, 3], чья плотность распределения . Функция распределения этой переменной в нашем случае имеет вид:

Тогда, имея реализацию z для переменной Z, которая равномерно распределена на интервале [0, 1], мы можем получить выборочное значение случайной величины X решая уравнение:

Реализуем данный алгоритм в коде (Приложение 1) и проверим его правильность, сравнивая основные параметры случайной величины с теми, что получим для выборок различного объёма.

Для выборок размером 50, 200 и 1000 получаем следующие графики плотности распределения (рис. 1) и функции распределения (рис. 2), а также основные параметры выборок (таблица 1):

Таблица 1. Основные полученные параметры выборок.

Общие параметры
Размер выборки	Матожидание	Дисперсия	СКО
50	1,858604	0,504138	0,710026
200	1,93453	0,499117	0,706482
1000	1,953653	0,522247	0,722667

Продолжение таблицы 1.

Для а = 0.1
Размер выборки	Нижняя граница оценки среднего	Верхняя граница оценки среднего	Нижняя граница оценки дисперсии	Верхняя граница оценки дисперсии
50	1,739072	1,978135	0,728044	0,372373
200	1,87562	1,99344	0,593473	0,426446
1000	1,927406	1,9799	0,563034	0,485939
Для а = 0.05
Размер выборки	Нижняя граница оценки среднего	Верхняя граница оценки среднего	Нижняя граница оценки дисперсии	Верхняя граница оценки дисперсии
50	1,715329	2,001878	0,782849	0,351779
200	1,864234	2,004826	0,613771	0,413921
1000	1,922369	1,984937	0,571252	0,479312
Для а = 0.01
Размер выборки	Нижняя граница оценки среднего	Верхняя граница оценки среднего	Нижняя граница оценки дисперсии	Верхняя граница оценки дисперсии
50	1,667534	2,049673	0,906544	0,315768
200	1,841818	2,027242	0,656169	0,390832
1000	1,91251	1,994796	0,587779	0,466705

Рис 1. Графики плотностей вероятности для разных выборок.

Рис. 2. Распределения случайных величин для различных выборок.

Для данной функции математическое ожидание M равно 2, дисперсия D 0.5, а СКО σ 0.707.

Как видно из полученных данных, при увеличении размера выборки, её параметры приближаются к идеальным, что доказывает закон больших чисел.