Исследуемая модель.

В данной работе будет рассматриваться модифицированная модель SIS, в которую будет добавлен элемент возможного летального исхода пациента, так как возможность введения в данную систему ограничений по возможному числу исследуемых пациентов позволяет получать конечный результат исследования при моделировании за конечное время (все исследуемые находятся в состояниях «выздоровел» или «летальный исход»).

В данном случае, модель распространения инфекций будет рассматриваться с точки зрения процессов гибели и размножения. Будет построена разрешающая система дифференциальных уравнений, заданы начальные условия.

Принципиальная модель.

Пусть есть некоторая группа людей числом N человек. Восприимчивые к болезни люди S с некоторой интенсивностью заражаются неким штаммом вируса и переходят в состояние инфицированных I. Инфицированные люди, борясь с болезнью с некоторой интенсивностью вылечиваются и переходят в состояние выздоровевших R. Некоторая же доля инфицированных людей не может справиться с болезнью и, к сожалению, заканчивают жизнь летальным исходом, переходя в категорию умерших D. Описать это можно следующей блок-схемой.

Рис. 1. Блок-схема модели.

Математическая модель.

Построим математическую модель, рассматривая возможные переходы между состояниями как интенсивности переходов из одного состояния в другое. Тогда можно составить следующую систему разрешающих уравнений:

В данном случае, каждая из переменных означает:

• S(t): число восприимчивых к заражению людей.

• I(t): число зараженных в момент времени t.

• R(t): число выздоровевших (или приобретших иммунитет).

• D(t): число умерших.

• β: скорость передачи инфекции (интенсивность контактов между S и I).

• γ: скорость выздоровления (обратная к среднему времени болезни).

• μ: скорость летального исхода (вероятность смерти для одного зараженного за единицу времени).

Логика модели следующая:

Из S в I: восприимчивые заражаются пропорционально количеству контактов между S и I, определяемых коэффициентом β.

Из I в R: зараженные выздоравливают со скоростью γ.

Из I в D: зараженные умирают со скоростью μ.

Общее количество людей в популяции (N) остается постоянным (если не учитывать рождаемость и миграцию) и не зависит от времени:

Зададим начальные условия:

1. Все люди восприимчивы изначально, кроме одного зараженного:

• S(0) = N − 1 (где N — общее население).

• I(0) = 1 (один зараженный в начальный момент).

• R(0) = 0 (никто не выздоровел изначально).

• D(0) = 0 (никто не умер в начальный момент).

Для вероятностного представления можно нормировать значения на N, чтобы их сумма равнялась 1:

Симуляция начальной стадии:

Заболевание начнет распространяться при условии, что β достаточно велико, чтобы:

Это называется числом репродукции R₀​:

Если R₀>1, начнется эпидемия.

Ключевые свойства:

1. Увеличение R(t) и D(t) со временем отражает постепенное выведение зараженных из системы.

2. Пик числа зараженных (I) зависит от соотношений β, γ, и μ.

3. Смертность в системе зависит от μ, а также от динамики распространения инфекции через β.