1. Проверенная безопасность (основана на дискретном логарифмировании)

2. Гибкость в выборе параметров

3. Понятная математическая основа

4. Высокая производительность при правильной реализации

Недостатки

1. Большой размер подписи (2×log₂p бит)

2. Требование уникальности k для каждой подписи

3. Медленные операции с большими числами

4. Уязвимости при неправильной реализации

Практическое применение

Хотя оригинальный EGSA сегодня используется редко, его принципы лежат в основе:

• DSA — американский стандарт

• ECDSA — используется в Bitcoin, Ethereum

• ГОСТ Р 34.10-94 — российский стандарт (на основе EGSA)

Российский аналог: ГОСТ Р 34.10-94

Российский стандарт цифровой подписи 1994 года был основан на EGSA с параметрами:

• Размер ключа: 512-1024 бит

• Использование ГОСТ 28147-89 для хеширования

• Специфические требования к параметрам

Вывод

Схема электронной цифровой подписи Эль-Гамаля представляет собой важный исторический и теоретический milestone в развитии криптографии. Несмотря на то, что в чистом виде она сегодня применяется редко, ее принципы:

• Легли в основу современных стандартов (DSA, ECDSA)

• Продемонстрировали практическое применение задачи дискретного логарифмирования

• Создали фундамент для развития криптографии с открытым ключом

ГОСТ Р 34.10-94

Общая характеристика

ГОСТ Р 34.10-94 — первый российский стандарт ЭЦП, принятый в 1994 году. Основан на алгоритме Эль-Гамаля и использует хеш-функцию ГОСТ Р 34.11-94.

Математические основы

Алгоритм работает в мультипликативной группе простого поля GF(p) и основан на сложности задачи дискретного логарифмирования.

Параметры системы:

• p — большое простое число (512-1024 бит)

• q — большой простой делитель (p-1)

• a — число, удовлетворяющее условию: a^q ≡ 1 (mod p), a ≠ 1

• x — закрытый ключ: 0 < x < q

• y — открытый ключ: y = a^x mod p

Процесс формирования подписи

Для сообщения M:

1. Вычисление хеша: h = GOST_R_34.11-94(M)

2. Генерация случайного числа: k (0 < k < q)

3. Вычисление первого элемента подписи:

Если r = 0, выбирается новое k

4. Вычисление второго элемента подписи:

1. Если s = 0, выбирается новое k

Подпись: (r, s)

Процесс проверки подписи

1. Проверка условий: 0 < r < q, 0 < s < q

2. Вычисление хеша: h = GOST_R_34.11-94(M)

3. Вычисление вспомогательных величин:

4. Проверка подписи:

1. Подпись верна, если u = r

ГОСТ Р 34.10-2001

Усовершенствования

В 2001 году стандарт был существенно модернизирован:

1. Переход на эллиптические кривые

2. Увеличение стойкости

3. Улучшенная производительность

Математические основы

Алгоритм работает в группе точек эллиптической кривой над конечным полем.

Параметры эллиптической кривой:

• p — простое число, определяющее поле GF(p)

• a, b — коэффициенты уравнения кривой: y² = x³ + ax + b (mod p)

• m — порядок группы точек кривой

• q — простой делитель m

• P — точка кривой порядка q

• d — закрытый ключ: 0 < d < q

• Q — открытый ключ: Q = d × P

Процесс формирования подписи

1. Вычисление хеша: h = GOST_R_34.11-94(M)

2. Приведение хеша: e = h mod q (если e = 0, e = 1)

3. Генерация случайного числа: k (0 < k < q)

4. Вычисление точки кривой: C = k × P

5. Первый элемент подписи: r = x_C mod q (x_C — x-координата точки C) Если r = 0, выбирается новое k

6. Второй элемент подписи: s = (k × e + d × r) mod q Если s = 0, выбирается новое k

Подпись: (r, s)

Процесс проверки подписи