4. Какие основные параметры у стандартов шифрования гост 28147-89, des, Rijndael (aes).

5. На каких математических принципах и задачах (проблемах) основаны эцп по алгоритму egsa и гост р 34.10-94.

• Общий принцип для обоих: Оба алгоритма основаны на задаче дискретного логарифмирования в конечном поле.

• Математическая задача: Даны g (генератор), y (открытый ключ) и простое число p. Найти целое число x (закрытый ключ) такое, что: y ≡ g^x (mod p). Считается, что эта задача является вычислительно сложной при достаточно больших p.

6. На каких математических принципах и задачах (проблемах) основана эцп по гост р 34.10-2001.

• Принцип: Основана на задаче дискретного логарифмирования на эллиптической кривой (ECDLP - Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem).

• Математическая задача: Даны точка G (базовая точка) на эллиптической кривой и другая точка Y = d * G (открытый ключ). Найти целое число d (закрытый ключ). Решение этой задачи для правильно подобранных кривых считается значительно более сложным, чем классическое дискретное логарифмирование, что позволяет использовать гораздо меньшие длины ключей при сопоставимой стойкости.

7. Как задается эллиптическая кривая над простым полем. Что называется инвариантом эллиптической кривой. Как определяются коэффициенты эллиптической кривой.

• Уравнение: Эллиптическая кривая над простым полем F_p (где p > 3 - простое число) задается уравнением Вейерштрасса: y² ≡ x³ + a*x + b (mod p)

• Коэффициенты: a и b — это коэффициенты кривой, являющиеся целыми числами, принадлежащими полю F_p. Они определяют конкретную форму кривой.

• Дискриминант и условие: Для того чтобы кривая была несингулярной (имела гладкую форму без самопересечений и острых точек), должен выполняться условие: 4*a³ + 27*b² ≠ 0 (mod p). Выражение Δ = -16*(4*a³ + 27*b²) называется дискриминантом кривой.

• J-инвариант: Инвариантом эллиптической кривой называется величина j, вычисляемая по формуле: j = (1728 * 4 * a³) / (4*a³ + 27*b²) (mod p) Кривые с одинаковым j-инвариантом изоморфны над алгебраическим замыканием поля.

8. Какую длину имеет хэш-значение, полученное по гост р 34.11-94 (гост р 34.11-2012).

• ГОСТ Р 34.11-94: Длина хэш-значения составляет 256 бит.

• ГОСТ Р 34.10-2001 использует хэш-функцию ГОСТ Р 34.11-2012 (Стрибог), которая имеет две модификации:

  • 256-битный хеш (используется по умолчанию для подписи).

  • 512-битный хеш.

9. Что называется простым числом, взаимно простыми числами, вычетом числа по некоторому модулю. В чем заключается основная теорема арифметики, алгоритм Евклида, малая теорема Ферма.

• Простое число: Натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя (например, 2, 3, 5, 7...).

• Взаимно простые числа: Два целых числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1 (например, 8 и 15).

• Вычет числа по модулю: Пусть a и m — целые числа, m > 0. Вычетом числа a по модулю m называется остаток от деления a на m. Например, вычет 17 по модулю 5 равен 2, так как 17 ≡ 2 (mod 5).

• Основная теорема арифметики: Любое натуральное число, большее 1, можно разложить в произведение простых чисел, и это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

• Алгоритм Евклида: Эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел. Основан на том, что НОД(a, b) = НОД(b, a mod b).

• Малая теорема Ферма: Если p — простое число, и a не делится на p, то справедливо сравнение: a^(p-1) ≡ 1 (mod p).