лекции / Задание 2.1 (1)

Задание 2.1: Провести сравнительный анализ полученных ДСЧ:

- определить длину отрезка апериодичности;

- провести исследование случайных чисел последовательности на независимость, используя коэффициент автокорреляции;

- провести исследование распределения случайных чисел на “равномерность”.

Простейшая проверка качества СЧ заключается в определении оценок неслучайных числовых характеристик генерируемых СЧ и сравнении их с теоретическими. Оценки математического ожидания и дисперсии можно вычислить по формулам:

.

Здесь N – общее число используемых при моделировании СЧ, достаточное для получения заданной точности.

При выбранном значении N с доверительной вероятностью , близкой к 1, оценки должны находиться в определенных пределах. Так, например, при =0,95 пределы для оценки математического ожидания:

Одним из основных требований к последовательности СЧ является независимость входящих в нее чисел. Ввиду трудоемкости проверку на независимость СЧ заменяют проверкой на некоррелированность. В общем случае корреляционный момент дискретных СВ X и Y определяется по формуле:

Здесь - вероятность того, что двумерная СВ (X, Y) примет значение ( , ).

Корреляционный момент характеризует рассеивание СВ Х и Y и их линейную статическую зависимость. Если случайные числа независимы, то = 0. Коэффициент корреляции СВ находится путем деления на среднеквадратическое отклонение т. е.

Для нахождения оценки коэффициента корреляции при исследовании независимости СЧ на ЭВМ удобно следующее выражение:

(1)

где (2)

= (3)

При достаточно большом N и любом , с доверительной вероятностью справедливо соотношение

Если найденное эмпирическое значение располагается в указанных пределах, то с вероятностью можно утверждать, что полученные СЧ удовлетворяют гипотезе некоррелированности.

Важными характеристиками качества псевдослучайной последовательности квазиравномерных чисел является период P и отрезок апериодичности L. Экспериментально значения P и L находят следующим образом: задается достаточно большое число N=(1…5)10 и запускается программа генерации ПСЧ с целью определения . После этого программа запускается повторно с начального значения и проверяется истинность события = . Для некоторых значений и условие оказывается выполненным, тогда P= - ( .

Далее осуществляется запуск программы с начальными числами и и фиксируется минимальный номер , при котором выполнено событие тогда отрезок апериодичности L= P. Если в пределах отрезка [0,N] событие = ложно при всех значениях <N, то L>N. При использовании последовательностей максимальной длины P=L эти параметры находятся, как правило, теоретически. При необходимости использования большого количества СЧ в процессе решения одной задачи можно периодически или случайно “возмущать” программу, например, использовать спаренные программы, различающиеся своими алгоритмами.

Пример решения задачи

Провести сравнительный анализ ДСЧ:

0,123 0,099 0,003 0,043 0,075 0,091 0,011 0,035 0,107 0,019 0,051 0,083 0,027 0,059 0,115 0,067

Запишем последовательность СЧ по-другому:

0,123 0,107

0,099 0,019

0,003 0,051

0,043 0,083

0,075 0,027

0,091 0,059

0,011 0,115

0,035 0,067

1. Длина отрезка апериодичности: L = 16.

2. Для нахождения оценки коэффициента корреляции при исследовании независимости СЧ воспользуемся выражениями [ 1, 2, 3 ], где 8, N = 16.

0,04068

0,03236

0.00018

Принимая доверительную вероятность = 0.95, проверим гипотезу некоррелированности:

Так как найденное значение < 0.2375, то с вероятностью =0.95 можно утверждать, что полученные СЧ удовлетворяют гипотезе некоррелированности.

3. Для исследования распределения случайных чисел на «равномерность»

найдем оценку математического ожидания:

0,063

При выбранном значении N с доверительной вероятностью =0.95 оценка математического ожидания должна находиться в пределах:

Найденная оценка математического ожидания находится в данных пределах, следовательно, последовательность СЧ распределена равномерно.