Лабораторная работа № 4. Генерация случайных величин и определение их характеристик в системе Mathсad

Цель работы

Приобрести практические навыки по генерации случайных величин и оценки их характеристик в системе компьютерной математики Mathсad-15.

Последовательность действий и методические указания

С лучайной величиной (СВ) Х называется действительная функция X=X( ), определенная на множестве элементарных исходов , такая, что для любого действительного x множество тех , для которых X( ) x, принадлежит полю событий W( ).

Различают СВ дискретного типа (СВДТ) и СВ непрерывного типа (СВНТ). СВ называется СВДТ, если множество ее возможных значений конечно.

Для полного задания СВ необходимо указать множество ее возможных значений и определить некоторое соответствие между отдельными ее значениями x_i (или некоторыми подмножествами) и вероятностями p_i, с которыми эти значения (или подмножества) принимаются. Любое такое соответствие называется законом распределения СВ.

Для СВНТ ставят в соответствие вероятности не отдельные значения СВ, а множество значений (X < x), где x - произвольное число.

Функцией распределения (ФР) (или интегральным законом распределения) СВ X называется числовая функция F(x)=P{X<x}, определенная для любых x R. Свойства ФР:

1. 0 F(x) 1;

2. F(x₁) F(x₂), если x₁ x₂, т.е. F(x) - неубывающая функция;

   

3. lim F(x) 0; limF(x) 1; x x

4. P{a X b} = F(a) - F(b).

П лотностью распределения (ПР) (или дифференциальным законом распределения) СВ X называется числовая функция f(x), равная производной от ФР, если такая производная существует: f(x) = F(x). Связь между ПР и ФР можно представить в интегральной форме:

b f ( )d F(b) F(a), a

что позволяет определить ФР: x

F (x )

Свойства ПР:

1. f(x) 0, т.к. ФР - неубывающая функция; 2. - условие нормировки.

f ( ) d 1,

Числовые характеристики случайных величин. Различают следующие группы числовых характеристик: характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана, квантиль и др.), рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение и др.), характеристики формы плотности распределения (показатель асимметрии, эксцесса и др.).

Математическим ожиданием (средним значением по распределению) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа СВ Х формулой:

x p ,СВДТ; i i

m_X = M[X] =

xf ( x)dx,СВНТ.

Математическое ожидание существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулы сходится абсолютно. Если m_X = 0, то СВ Х называется центрированной (обозначается _X^O ). Свойства математического ожидания:

1. M[C] = C, где С - константа;

2. M [CX] = CM[X];

3. M[X+Y] = M[X]+M[Y], для любых СВ X и Y;

4. M [XY]=M[X]M[Y]+K_XY, где K_XY =M[_X^O _Y^O ] - ковариация СВ X и Y.

Начальным моментом k-го порядка (k = 0, 1, 2, ...) распределения СВ Х называется действительное число, определяемое по формуле:

k = M[Xk] = ik pi ,СВДТ ;

f (x )dx ,СВНТ .

Центральным моментом k-го порядка распределения СВ Х называется число, определяемое по формуле:

k = M[(X-mX)k]=pi ,СВДТ ;

(

f (x )dx ,СВНТ .

И з определений моментов, в частности, следует, что: ₀ = ₀ = 1, ₁=m_X, ₂ = D_X = ².

Дисперсией СВ Х называется неотрицательное число D[X] = D_Х, определяемое формулой:

m )² p ,СВДТ ; D_X = M[(X-m_X)²] = M[X²] - m_X² = ^{X i}

)²f (x )dx ,СВНТ .

X

Дисперсия существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части равенства сходится. Свойства дисперсии:

1. D[C] = 0, где С - константа;

2. D [CX] = C²D[X];

3. D[X-C] = D[X], дисперсия, очевидно, не меняется от смещения СВ X;

4. D [X + Y] = D[X] + D[Y] + 2K_XY, где K_XY = M[_X^O _Y^O ] - ковариация СВ X и Y;

   

5. D i ai X i bi i j ai aj K x i x j .

Неотрицательное число _Х= D_X называется среднеквадратичным отклонением СВ X. Оно имеет размерность СВ Х и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно математического ожидания. (Величину иногда называют стандартным отклонением).

СВ Х называется стандартизованной, если m_X = 0 и = 1. Если величина Х = const, то D[X] = 0.

СВНТ Х называется распределенной равномерно на отрезке [a, b], если плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке. Тогда плотность распределения (ПР) f(x) и функция распределения (ФР) F(x) будут иметь следующий вид:

0, x a; f(x) = ^[a,b]; F(x) =

[a,b].

СВНТ Х называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром 0 (при этом для краткости говорят: СВ Х подчиняется закону Е_х( ), т.е. Х Е_х( )), если ее ПР задается формулой:

f(x) = e 0, xx , 0x; 0.

С ВНТ называется распределенной по нормальному (гауссовскому) закону с параметрами m R и 0, если ПР задается формулой:

f(x) = _exp ^{(x m)2} - x + .

2 2

Д ля краткости говорят, что СВ Х подчиняется закону N(m, ),

т .е. Х N(m, ). Параметры m и совпадают с основными характеристиками распределения: m = m_X, = _Х = D_X . Если СВ Х N(0,

1 ), то она называется стандартизованной нормальной величиной. ФР стандартизованной нормальной величиной называется функцией Лапласа и обозначается как Ф(x). С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения N(m, ):

P(x₁ X x₂) = Ф .

При решении задач на нормальное распределение часто требуется использовать табличные значения функции Лапласа. Поскольку для функции Лапласа справедливо соотношение Ф(-х) = 1 - Ф(х), то достаточно иметь табличные значения функции Ф(х) только для положительных значений аргумента.

Генерация вектора случайных величин. Для генерации вектора (последовательности) случайных величин следует нажатием левой клавиши мыши активизировать кнопку f(x), инициализации панели – «вставка функции» (рис. 4.1), задать категорию функций «Случайные числа» и имя (тип) распределения, например экспоненциальное rexp(m,r) в соответствии с описанием функции представленном на панели «вставка функции».

Рис. 4.1. Панель «вставка функции»

Результаты генерации экспоненциально и равномерно распределенных случайных чисел представлены на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Результаты генерации случайных чисел

Для определения статистических характеристик сгенерированных векторов случайных чисел следует нажатием левой клавиши мыши активизировать кнопку f(x), инициализации панели –

«вставка функции», задать категорию функций «Статистика» и имя (тип) статистической характеристики распределения, например среднее значение mean(x) и дисперсию Var(x) вектора X, сгенерированных случайных чисел. Аналогично после инициализацией панели «вставка функции», можно найти наибольшее и наименьшее значения сгенерированных векторов. Например, для вышеприведенных векторов, сгенерированных случайных чисел, получаем:

Для построения функции распределения и плотности распределения случайных величин следует нажатием левой клавиши мыши активизировать кнопку f(x) инициализации панели – «вставка функции», задать категорию функций «Распределение Вероятности» (рис. 4.3) и имя (тип) распределения, например экспоненциальное рexp(m,r) в соответствии с описанием функции представленном на панели «вставка функции» рexp(m,r).

Рис 4.3. Задание распределения вероятности.

Для построения функции плотности распределения случайных величин следует нажатием левой клавиши мыши активизировать кнопку f(x) инициализации панели – «вставка функции», задать категорию функций «Плотность Вероятности» (рис. 4.4) и имя (тип) распределения, например экспоненциальное dexp(m,r) в соответствии с описанием функции представленном на панели «вставка функции». Возможен непосредственный набор соответствующей функции dexp(m,r).

Рис 4.4. Задание функции плотности распределения случайных величин

Результат построения графика функции распределения и плотности распределения случайных (экспоненциально распределенных) величин представлен на рис 4.5.

Рис.4.5. График функции и плотности распределения случайных экспоненциально распределенных величин

Лабораторная работа выполняется в следующем порядке.

Ознакомиться с представленным описанием.

Определить множество законов распределений случайных величин, генерируемых в системе MathCAD.

Сгенерировать последовательности (векторы) случайных величин для различных законов распределений случайных величин.

Для сгенерированных векторов определить числовые характеристики случайных величин.

Построить графики функции распределения и плотности распределения случайных величин, генерируемых в системе MathCAD.

Лабораторная работа 5. Моделирование одноканальной системы массового обслуживания в GPSS.