летняя практика маткад / Вопросы_к_экзамену_по_Дискретной_математике_2024 (2)
.docxВопросы к экзамену по Дискретной математике
Определение множества (по Кантору). Мощность множества. Пустое множество. Универсум. Способы задания множеств. Когда множество считается заданным?
Определение подмножества. Знак включения. Собственные и несобственные подмножества множества. Строгие и нестрогие включения числовых множеств. Равенство множеств. Количество возможных подмножеств некоторого множества. Булеан. Множество – степень.
Рекурсивное задание множеств (пример).
Операции над множествами (5 штук). Геометрическое задание множеств и операций над ними с помощью диаграмм Венна.
Кванторы для элементов множеств. Тождества алгебры множеств. Законы коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. Поглощения, склеивания.
Законы для операций над множествами – идемпотентности, де Моргана, двойного дополнения, отношения с пустым и универсальным множествами.
Доказательство тождеств алгебры множеств с помощью диаграммы Венна.
Множество В называется покрывающим множество А, если? Когда семейство подмножеств {Ei} некоторого множества А называется дизъюнктивным, покрытием, разбиением. Равенство множеств. Теорема о мощности конечного Булеана.
Определение Декартова произведения. ДП множеств точек двух отрезков по Х и по Y. ДП натуральных чисел одной оси на вещественные числа другой оси.
Декартово произведение. ДП множеств точек отрезка на оси X и числовой оси Y. ДП множества натуральных чисел ( X=N) и множества точек отрезка Y = [c,d].
ДП. Степень множества. Прямое декартово произведение множеств Xi i = 1, 2, 3, …,n. Мощность декартова произведения n множеств. N-ая декартова степень множества А. Табличное представление ДП двух конечных множеств.
Соответствия между множествами. Образ и прообраз элементов множеств, связанных соответствием R. Множество значений, область определения. Типы соответствий.
Определение функции из множества А во множество В. Понятие отображения из множества А во множество В
Способы задания отображений.
Инъекция, сюръекция и биекция. Графические изображения. Понятие эквивалентных множеств. Дать примера графиков функций, являющихся инъекцией, сюръекцией и биекцией.
Какое отображение называется преобразованием множества. Тождественное преобразование. Суперпозиция отображений. Ассоциативность суперпозиции нескольких отображений (без доказательства). Обратное отображение.
Отношения. n-местное (n-арное) отношение. Бинарные отношения между множествами, область определения и область значений. Способы задания отношений.
Определение обратного отношения к данному, тождественного отношения. Определение композиции отношений. Свойства всех бинарных отношений.
Бинарное отношение на множестве. Специальные свойства отношения ( рефлексивность, …). Как на графе отношения отражаются эти свойства.
Определение двоичной матрицы бинарного отношения. Матрицы объединения и пересечения отношений, матрица композиции отношений, матрица обратного отношения, матрица тождественного отношения.
Как по матрице определить свойства бинарного отношения: рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность.
Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности, основное свойство классов эквивалентности. Ранг отношения эквивалентности. Технология определения классов эквивалентности. Фактор-множество по отношению эквивалентности.
Отношение толерантности. Отношение частичного порядка. Примеры. Частично упорядоченное множество. Непосредственные предшественники. Изображение диаграммой Хассе (на примере).
Алгебраические операции. Определение n- арной алгебраической операции. Определение алгебры, базис алгебры. Таблица Коли для операций.
Алгебры с тремя алгебраическими операциями. Булевы алгебры.
Булевы функции. Формы представления булевых функций. Табличное задание булевых функций.
Функции алгебры логики, их количество. Понятие логической формулы. Представление функций с помощью формул. Эквивалентные (равносильные) преобразования формул.
Основные эквивалентности.
Аналитическое задание булевых функций. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы задания функций. СДНФ. СКНФ. Существенные и фиктивные переменные.
Полные системы булевских функций. Стандартный базис. Теорема о полноте системы булевых функций.
Элементарные булевы функции от одной и двух переменных.
Теорема о разложении булевых функций по переменным.
Полиномы Жегалкина.
Замкнутые классы Поста.
Теорема Поста – Яблонского о полноте системы булевых функций.
Теорема о полноте двух систем булевых функций.
Понятие высказываний. Алфавит логики высказываний. Атомарные переменный. Логические связки. Формулы. Синтаксис, семантика и прагматика языка логики высказываний.
Формулы логики высказываний. Правила образования формул. Восстановление и опускание скобок на примерах.
Истинность значения формул. Таблица истинности. Равносильность формул. Свойство отношения равносильности. Классы эквивалентности. Список важнейших равносильностей.
Методы доказательства эквивалентности формул.
Тождественно-истинные, выполнимые и тождественно-ложные формулы. Правильные рассуждения. Тавтологии. Тавтологические импликации. Противоречия. Теорема о равносильности двух формул.
Отношение логического следования. Свойства отношения. Проверка правильности рассуждений. Из чего состоит рассуждение? Алгоритм проверки правильности рассуждения. Правильность рассуждения и истинность заключения. Когда в рассуждении заключение истинно.
Как получить логические следствия из формулы, представленной в виде СКНФ.
Логика предикатов. Чем обусловлено использование предикатов в Мат. логике.
Понятие предикатов. Способы определения. Предикат выполнимый, тождественно-истинный, тождественно-ложный.
Кванторы. Область действия кванторов.
Связанные переменные, свободные.
Формулы логики предикатов. Что является формулой? Формула выполнимая, тождественно – истинная, тожественно - ложная.
Три вида переменных, от которых зависит истинность формулы. Равносильности.
Определение равносильности предикатов. Когда предикат является логическим следствием другого предиката. Теорема о равносильности.
Графы. Области применения теории графов. Виды графов.
Ориентированные и неориентированные графы. Вершины, ребра. Кратные ребра. Петли.
Определения обыкновенного (простого) графа. Способы задания неориентированных графов. Степени вершин. Полустепень исхода и полустепень захода. Понятие инцидентности ребер (дуг). Инцидентность вершин. Смежность вершин, ребер. Порядок графа.
Основные типы графов.
Изоморфизм графов. Помеченный граф. Теорема о изоморфизме графов. Количество различных графов порядка n.
Способы описания графов.
Матричное представление графов. Матрица смежности. Матрица векторов смежности. Матрица смежности двудольного графа, взвешенных графов.
Матрица инцидентности для графа и орграфа.
Циклический, симметрический, антисимметрический, полный графы. Число ребер в полном графе. Дополнение к графу.
Подграфы. Виды подграфов.
Операции на графах.
Степени вершин. Регулярный граф. Основная теорема теории графов.
Основная теорема теории графов. Следствие из основной теоремы.
Маршруты, цепи, простые цепи, циклы, пути и контуры в графе. Свойства путей и циклов.
Связные графы и расстояние в графах. Связный орграф (сильно, слабо, односторонне). Связность графа (вершинная, реберная).
Бинарное отношение эквивалентности “быть связанными маршрутом” на множестве вершин графа. Компоненты связности графа. Связность графа и его дополнения.
Понятия разделяющей вершины, разделяющего множества, разреза, моста, компонент сильной связности. Граф Герца.
Методика выделения компонент связности.
Достижимость в графах. Граф достижимости. Транзитивное замыкание графа (прямое и обратное). Матрица достижимости. Матрица контрдостижимости.
Матричный метод нахождения путей в графах.
Расстояния на графах. Метод поиска в ширину.
Поиск в глубину. Задачи, решаемые с помощью обхода графа в глубину.
Эйлеровы и гамильтоновы графы. Теорема (Эйлера). Теорема Эйлера для ориентированного графа. Методика нахождения эйлерова цикла.
Теорема Дирака, Оре о достаточных условиях гамильтоновости графа. Методика нахождения гамильтонова цикла.
Число маршрутов в ориентированном графе.
Деревья и остовы. Лемма о концевых вершинах. Типы вершин дерева, радиус и центры. Теорема о центрах дерева.
Циклический ранг (или цикломатическое число) графа G. Теорема о циклическом ранге. Коциклический ранг (ранг разрезов).
Взвешенные графы.
Задача о кротчайшем остове.
Алгоритм Краскала. Алгоритм Прима.
Задача о кротчайшем пути. Алгоритм Дейкстры.
Планарные графы. Плоские графы. Теорема о количестве граней связанного планарного графа. Следствия из теоремы.
Гомеоморфные графы. Критерий планарности. Разбиение ребер, стягивание смежных вершин. Теоремы Понтрягина – Куратовского, Вагнера.
Раскраска графов. Алгоритм правильной раскраски. Хроматическое число графа. Классические задачи на раскраску графа. Привести пример.
Двудольные графы. Полные двудольные графы. Хроматическое число двудольного графа. Критерий двудольности графа. k-дольные графы.
Определение матрицы достижимости по матрице смежности. Определение одношаговых, двухшаговых,…, n шаговых путей в графе по матрице смежности.
Ориентированные графы и их виды. Основная теорема теории графов для орграфов.
Сети. Разрезы в сети. Теорема о минимальном разрезе. Задача о максимальном потоке в сети.
Кодирование деревьев (два вида)
Задача сетевого графика.
Связность графов. Матричный способ задания графа. Связанный граф. Сильно связанный граф.