ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА (РОСАВИАЦИЯ) ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ» (МГТУ ГА)

Кафедра вычислительных машин, комплексов, систем и сетей

Учебная практика №2 защищена с оценкой _________________ _________________ (подпись преподавателя, дата)

Учебная практика №2

Выполнил и защитил Студент ЭВМ 2-1 Научный руководитель: доцент, к.ф.м.н., доцент Черкасова Н. И. _________________ (подпись, дата)

МОСКВА – 2024

Аннотация

В отчете представлены результаты выполнения учебной практики №2. Были описаны такие темы, как построение графиков функций, решение систем ОДУ двух и трёх переменных в программе PTC Mathcad Prime 5.0.0.0. Приведены листинги программы и краткое руководство пользователя.

Оглавление

1. Лабораторная работа №1 4

1.1. Цель работы 4

1.2. Техническое задание 4

1.3. Выполнение 5

2. Лабораторная работа №2 11

2.1. Цель работы 11

2.2. Техническое задание: 11

2.3. Выполнение: 12

3. Лабораторная работа №3 14

3.1. Цель работы 14

3.2. Техническое задание 14

3.3. Теоретическая часть 15

3.4. Выполнение 17

4. Литература 31

1. Лабораторная работа №1

   1. Цель работы

- освоение методов работы и приобретение практических навыков в системе Mathсad.

2. Техническое задание

- разработка и отладка программы организации простых вычислений в системе Mathсad.

- построение графика функции.

Каждый студент получает свой вариант задания.

Пример: Вычислить функцию f (x, y) = x2-cos (x+y) для х=1.2 и построить график функции в диапазоне х[0,10]

Вариант 3:

А) f (x, y) = b * x2-cos (а * x + y);

а = 1; b = 1;

Интервал 3 периода.

3. Выполнение

Приведённая в задании функция состоит из двух функций: bx^2 и –cos(ax + y). Требуется построить график функции f(x) с заданными условиями.

Чтобы понять, как будет выглядеть график функции f(x), для начала построю график функции bx^2. Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх, т.к. коэффициент перед аргументом функции равен 1, 1 > 0;

На листинге. 1. Приведены интервалы значений для аргумента x функции g(x)=bx^2, значения аргумента x и значения функции g(x)

Опишу происходящее на листинге 1

Задаю интервал значений для аргумента х

Определяю функцию g(x)=bx^2. Выписываю значения аргумента х, а также значения функции g(x), чтобы по этим значениям построить график функции.

Листинг.1 Интервалы значений аргументов. Значения аргумента x, функции g(x):

На рис. 1. приведён график функции g(x)

Рис. 1. График функции g(x)

Вторым этапом будет построение графика функции –cos(ax+y)

Графиком функции является плоскость-косинусоида. Период функции равен 2П.

На листинге 2 представлена функция двух переменных h(x,y)=-cos(ax+y), аргументы x и y, значение функции.

Опишу подробнее, что представлено на листинге 2:

Определяется функция h(x,y)=-cos(ax+y). Вычисляются аргументы функции по представленным выше интервалам значений, после, на этой основе вычисляется значение функции h(x,y)

Листинг 2. функция двух переменных h(x,y)=-cos(ax+y), аргументы x и y, значение функции:

На рис. 2. Представлен график функции h(x,y)

Рис. 2. График функции h(x,y)

Перейдём к описанию функции f(x,y). Так как функция состоит из двух других функций: параболы и косинусоиды, её график должен содержать параболу и косинусоиду.

На листинге 3. представлена функция двух переменных f(x,y)=bx^2-cos(ax+y), аргументы x и y, значение функции:

Опишу подробнее, что представлено на листинге 3:

Определяется функция f(x,y)=bx^2-cos(ax+y), исходя из приведённого выше интервала считаются значения аргумента y функции f(x,y). На основе значений аргумента y и ранее представленных значений аргумента х производятся расчёты функции f(x,y) в данных точках.

Листинг 3. функция двух переменных f(x,y)=bx^2-cos(ax+y), аргументы x и y, значение функции:

На рис. 3. Приведён график функции f(x,y)

Рис. 3. График функции f(x,y)

На рис. 4. Приведён график функции f(x,y)

Рис. 4. График функции f(x,y)

2. Лабораторная работа №2

   1. Цель работы

Приобрести практические навыки по генерации случайных величин и оценки их характеристик в системе компьютерной математики Mathсad-15.

2. Техническое задание:

1. Сгенерировать последовательности (векторы) случайных величин для различных законов распределений случайных величин.

2. Для сгенерированных векторов определить числовые характеристики случайных величин.

3. Построить графики функции распределения и плотности распределения случайных величин, генерируемых в системе MathCAD.

3. Выполнение:

На рис.1 представлен вектор случайных величин и их числовые характеристики для нормального распределения:

Рис. 1. Числовые характеристики случайных величин для нормального распределения.

На рис. 2 представлены графики плотности распределения и функции распределения Рис. 2. Графики плотности распределения и функции нормального распределения

На рис. 3 представлен вектор случайных величин и их числовые характеристики для Гамма распределения:

Рис. 3. Числовые характеристики случайных величин для нормального распределения.

Рис. 4. Графики плотности распределения и функции нормального распределения.

3. Лабораторная работа №3

   1. Цель работы

Исследовать способы решения дифференциальных уравнений с помощью системы компьютерной алгебры Mathcad.

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Техническое задание

1. Провести численное интегрирование системы ОДУ первого порядка в MathCAD с использованием вычислительного блока Given/Odesolve. (система для двух функций).

2. Провести численное интегрирование системы ОДУ первого порядка в MathCAD с использованием встроенных функций rkfixed, Rkadapt и Bulstoer (система для двух функций).

3. Провести численное интегрирование системы ОДУ первого порядка в MathCAD с использованием вычислительного блока Given/Odesolve.

3. Теоретическая часть

Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных.

Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных.

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, если она при всех x∈[a,b] удовлетворяет уравнению F(x,y(x),y’(x))=0 или

F(x, y(x), y’(x), y’’(x),…, y(n)(x))=0

Решением дифференциального уравнения называется функция f(x), определенная и непрерывно дифференцируемая на некотором конечном или бесконечном интервале (a, b), и которая, будучи подставлена вместе со своей производной в уравнение обращает его в тождество по переменной х ∈ (a,b).

Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций y1(x), y2(x),..., yn(x), удовлетворяющих каждому уравнению этой системы.

Встроенные функции, используемые в лабораторной работе:

• rkfixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования. Самый простой и быстрый метод, но далеко не всегда самый точный. Полностью аналогичен использованию функции Odesolve с выбранным в контекстном меню методом Fixed.

• Rkadapt – метод Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования. Величина шага адаптируется к скорости изменения функции решения. Данный метод позволяет эффективно находить решения уравнений, в случае если оно содержит как плавные, так и быстро меняющиеся участки. Там, где решение меняется слабо, шаги выбираются более редкими, а в областях его сильных изменений – частыми. В результате для достижения одинаковой точности требуется меньшее число шагов, чем для rkfixed. Полностью аналогичен использованию функции Odesolve с выбранным в контекстном меню методом Adaptive.

• Bulstoer – метод Булирша – Штера. Этот метод более эффективен, чем метод Рунге-Кутта, в случае если решение является плавной функцией.

4. Выполнение

На листинге 1 приведены используемые переменные в вычислениях, начальные приближённые значения, система двух ОДУ.

Листинг 1.

На листинге 2 представлен векторы функций, представляющих решение системы из двух ОДУ

Листинг 2.

На рис. 1. График совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;2]:

Рис. 1. График функций решения системы из двух ОДУ

На рис 2. представлен график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;100]:

Рис. 2. представлен график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;100].

Представляя график с рис. 2 в логарифмическом масштабе, можно сделать вывод, что при увеличении аргумента t, значение функций решения ОДУ трёх переменных растут по экспоненциальному закону.

На рис. 3 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы трёх ОДУ в логарифмическом масштабе.

Рис. 3. график совокупности функций, представляющих решение системы двух ОДУ в логарифмическом масштабе.

На листинге 3 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;2]. На данном графике выбраны точки, на которых будем проводить проверку и считать производные.

Листинг 3.

На листинге 4 представлена проверка решения ОДУ. Суть проверки заключается в следующем: необходимо посчитать производную функции в точке, потом подставить значения функции в точке в правую часть ДУ. Сравнить значение производной в точке и полученное значение правой части ДУ (см. подробнее комментарий на листинге 4).

Листинг 4.

На листинге 5 представлены используемые переменные в вычислениях, начальные приближённые значения, вектор начальных значений неизвестных функций, входящих в систему двух ОДУ, векторная функция, элементы которой содержат правые части уравнений системы двух ОДУ в нормальной форме и система двух ОДУ.

Листинг 5.

На листинге 6 представлены матрицы решения системы двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [min; max2].

Листинг 6.

На рис. 4 приведён график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [0;2]:

Рис. 4 график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [0;2].

На листинге 7 представлены матрицы решения системы двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [min; max2].

Листинг 7.

На рис. 5 приведён график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [0;100]: Рис. 5 график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [0;100].

Представляя график с рис. 5 в логарифмическом масштабе, можно сделать вывод, что при увеличении аргумента t, значение функций решения ОДУ трёх переменных растут по экспоненциальному закону.

На рис. 6 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы трёх ОДУ в логарифмическом масштабе. Рис. 6. График совокупности функций, представляющих решение системы трёх ОДУ в логарифмическом масштабе.

На листинге 8 приведены используемые переменные в вычислениях, начальные приближённые значения, система двух ОДУ.

Листинг 8.

На листинге 9 представлены векторы функций, представляющих решение ОДУ

Листинг 9.

На рис. 7 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;3]:

Рис. 7. график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;3]:

На рис. 8 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;600]: Рис. 8. график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;600]

Представляя график с рис. 6 в логарифмическом масштабе, можно сделать вывод, что при увеличении аргумента t, значение функций решения ОДУ трёх переменных растут по экспоненциальному закону.

На рис. 9 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы трёх ОДУ в логарифмическом масштабе.

Рис. 9. график совокупности функций, представляющих решение системы трёх ОДУ в логарифмическом масштабе.