летняя практика маткад / _ЛР3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА (РОСАВИАЦИЯ) ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ» (МГТУ ГА)

Кафедра вычислительных машин, комплексов, систем и сетей

Учебная практика №2 защищена с оценкой _________________ _________________ (подпись преподавателя, дата)

Учебная практика №2 Лабораторная работа №3

Выполнил и защитил Научный руководитель: доцент, к.ф.м.н., доцент Черкасова Н. И. _________________ (подпись, дата)

МОСКВА – 2024

Цель работы

Исследовать способы решения дифференциальных уравнений с помощью системы компьютерной алгебры Mathcad.

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задание:

1. Провести численное интегрирование системы ОДУ первого порядка в MathCAD с использованием вычислительного блока Given/Odesolve. (система для двух функций).

2. Провести численное интегрирование системы ОДУ первого порядка в MathCAD с использованием встроенных функций rkfixed, Rkadapt и Bulstoer (система для двух функций).

3. Провести численное интегрирование системы ОДУ первого порядка в MathCAD с использованием вычислительного блока Given/Odesolve.

Теоретическая часть:

Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных.

Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных.

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, если она при всех x∈[a,b] удовлетворяет уравнению F(x,y(x),y’(x))=0 или

F(x, y(x), y’(x), y’’(x),…, y(n)(x))=0

Решением дифференциального уравнения называется функция f(x), определенная и непрерывно дифференцируемая на некотором конечном или бесконечном интервале (a, b), и которая, будучи подставлена вместе со своей производной в уравнение обращает его в тождество по переменной х ∈ (a,b).

Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций y1(x), y2(x),.. yn(x), удовлетворяющих каждому уравнению этой системы.

Встроенные функции, используемые в лабораторной работе:

• rkfixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования. Самый простой и быстрый метод, но далеко не всегда самый точный. Полностью аналогичен использованию функции Odesolve с выбранным в контекстном меню методом Fixed.

• Rkadapt – метод Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования. Величина шага адаптируется к скорости изменения функции решения. Данный метод позволяет эффективно находить решения уравнений, в случае если оно содержит как плавные, так и быстро меняющиеся участки. Там, где решение меняется слабо, шаги выбираются более редкими, а в областях его сильных изменений – частыми. В результате для достижения одинаковой точности требуется меньшее число шагов, чем для rkfixed. Полностью аналогичен использованию функции Odesolve с выбранным в контекстном меню методом Adaptive.

• Bulstoer – метод Булирша – Штера. Этот метод более эффективен, чем метод Рунге-Кутта, в случае если решение является плавной функцией.

Выполнение:

На листинге 1 приведены используемые переменные в вычислениях, начальные приближённые значения, система двух ОДУ.

Листинг 1.

На листинге 2 представлен векторы функций, представляющих решение системы из двух ОДУ

Листинг 2.

На рис. 1. График совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;2]:

Рис. 1. График функций решения системы из двух ОДУ

На рис 2. представлен график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;100]:

Рис. 2. представлен график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;100].

Представляя график с рис. 2 в логарифмическом масштабе, можно сделать вывод, что при увеличении аргумента t, значение функций решения ОДУ трёх переменных растут по экспоненциальному закону.

На рис. 3 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы трёх ОДУ в логарифмическом масштабе.

Рис. 3. график совокупности функций, представляющих решение системы двух ОДУ в логарифмическом масштабе.

На листинге 3 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;2]. На данном графике выбраны точки, на которых будем проводить проверку и считать производные.

Листинг 3.

На листинге 4 представлена проверка решения ОДУ. Суть проверки заключается в следующем: необходимо посчитать производную функции в точке, потом подставить значения функции в точке в правую часть ДУ. Сравнить значение производной в точке и полученное значение правой части ДУ (см. подробнее комментарий на листинге 4).

Листинг 4.

На листинге 5 представлены используемые переменные в вычислениях, начальные приближённые значения, вектор начальных значений неизвестных функций, входящих в систему двух ОДУ, векторная функция, элементы которой содержат правые части уравнений системы двух ОДУ в нормальной форме и система двух ОДУ.

Листинг 5.

На листинге 6 представлены матрицы решения системы двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [min; max2].

Листинг 6.

На рис. 4 приведён график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [0;2]:

Рис. 4 график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [0;2].

На листинге 7 представлены матрицы решения системы двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [min; max2].

Листинг 7.

На рис. 5 приведён график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [0;100]: Рис. 5 график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью rkfixed, Rkadapt, Bulstoer на интервале [0;100].

Представляя график с рис. 5 в логарифмическом масштабе, можно сделать вывод, что при увеличении аргумента t, значение функций решения ОДУ трёх переменных растут по экспоненциальному закону.

На рис. 6 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы трёх ОДУ в логарифмическом масштабе. Рис. 6. График совокупности функций, представляющих решение системы трёх ОДУ в логарифмическом масштабе.

На листинге 8 приведены используемые переменные в вычислениях, начальные приближённые значения, система двух ОДУ.

Листинг 8.

На листинге 9 представлены векторы функций, представляющих решение ОДУ

Листинг 9.

На рис. 7 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;3]:

Рис. 7. график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;3]:

На рис. 8 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;600]: Рис. 8. график совокупности функций, представляющих решение системы из двух ОДУ с помощью odesolve на интервале [0;600]

Представляя график с рис. 6 в логарифмическом масштабе, можно сделать вывод, что при увеличении аргумента t, значение функций решения ОДУ трёх переменных растут по экспоненциальному закону.

На рис. 9 представлен график совокупности функций, представляющих решение системы трёх ОДУ в логарифмическом масштабе.

Рис. 9. график совокупности функций, представляющих решение системы трёх ОДУ в логарифмическом масштабе.