Лекция 2

Кодирование числовой информации: позиционные и непозиционные системы счисления. Двоичная система счисления

 

1. Алгоритмы перевода чисел

1.1.Перевод чисел из одной системы счисления в другую

1.2. Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2ⁿ

       1.3. Перевода чисел из  систем счисления с основанием 2ⁿв двоичную систему

 

2.  Арифметические операции в позиционных системах счисления

          2.1.Арифметические операции в двоичной системе счисления

        2.2. Арифметические операции в восьмеричной системе счисления

 

3. Компьютерное представление чисел

         3.1. Представление целых чисел в формате с фиксированной запятой

        3.2.Представление вещественных  чисел в формате  с плавающей запятой

          

Представление числовой информации.

С числами связано важное понятие системы счисления.

Система счисления – способ изображения (представления) чисел с помощью знаков или символов, имеющих определенные количественные значения.

Символами могут быть цифры, буквы, значки.

Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков.

Все системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные системы счисления.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе.

В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является римская.

В качестве цифр этой системе счисления используется семь знаков, имеющих следующее количественное значение:

I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

На базе этих цифр строятся числа до 5000.

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ (30) цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – число 10, три числа по 10 в сумме дают 30. Числа могут складываться или вычитаться.

Примеры: IV = 4, VI = 6, III = 3, LX = 60, XL = 40, LXXX = 80, XC = 90.

Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60.

Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит и основание.

Основание системы счисление (q) является важным понятием и определяет:

1. количество различных знаков, используемых для изображения числа в данной позиционной системе счисления;

2. во сколько раз значение цифр, стоящих на соседних позициях отличаются друг от друга

Цифра, стоящая на i-ой позиции или правильно сказать на i-м разряде может иметь значение в пределах:

0_≤ a_{i ≤}q-1,

a_{i –} определяет количество единиц i–го разряда числа.

Основание системы счисления может быть только q≥2

q 1 2 3 … 8 10 16

a_i 0 0÷1 0÷2 … 0÷7 0÷9 0÷15

Десятичная система счисления имеет алфавит, который состоит из десяти всем известных арабских цифр от 0 до 9 и основание, равное 10.

Восьмеричная – восемь цифр от 0 до 7 и основание 8.

Шестнадцатеричная – десять цифр от 0 до 9 и шесть первых прописных или строчных букв латинского алфавита A (a), B (b), C(c), D(d), E(e), F(f) и основание 16.

Примеры чисел, представленных в кодированном виде в позиционных системах счисления: 975,48₁₀, 34₈, 41D₁₆, 10110_2.  

Позиционный характер этих систем легко понять на примере развернутой формы  реальной записи одного из чисел:

975,48₁₀=9•10²+7•10¹+5•10⁰+4•10^-1+8•10^-2

 В общем случае запись любого вещественного числа в позиционной системе счисления представляется в виде:

А = ± a_m-1 a_m-2 ... a_i… a₁ a₀, a_-1 a_-2 … a_-n.

Здесь m- количество целых разрядов, n - количество дробных разрядов, m+n- разрядность числа.

Такая формальная запись числа в q-системе (c основанием q) представляет собой разложение в ряд по степеням q:

А_q=±a_m-1•q^m-1 + a_m-2 •q^m-2 + …+a_i•qⁱ+ …+ a₀•q⁰ +a_-1•q^-1 + a_-2•q^-2 + …+ a_-n•q^-n (1)

  Здесь:

А_q– само число,

q – основание системы счисления,

i – номер разряда,

qⁱ- вес i-го разряда,

a_i – значение i-го разряда (a_i – одна из цифр данной системы счисления),

Допускается сжатая запись:

А_q= ±

Известно из комбинаторики, что число возможных перестановок из q предметов (цифр) по m местам (разрядам) равно q^m.

Это означает, количество различных чисел (M), которое можно представить в q системе m– целыми и n – дробными разрядами q^m+n. Только для целых чисел M=q^m, для только дробных M=qⁿ.

Диапазоны чисел в q системе с m– целыми и n – дробными разрядами:

0 ÷ q^m-1 -целые и q^-n ÷1-q^-n-дробные

A_max = (q-1) ·q^m-1+(q-1) ·q^m-2+...+(q-1) ·q¹+(q-1) · q⁰+(q-1) ·q^-1+...

+(q-1) · q^-n =q^m-1+1-q^-n = q^m-q^-n.

Существуют алгоритмы перевода чисел из одних систем счисления в другие.

Алгоритмы перевода чисел

1.1.Перевод чисел из одной системы счисления в другую (перевод из q-системы ->q -систему)

     Алгоритм перевода числа из любой системы счисления(q) в десятичную осуществляется просто по формуле:

    А_q= ± = А₁₀

Перевод в остальные системы счисления производится по следующим правилам.

Для перевода вещественного числа следует переводить его целую и дробную части отдельно.

Пусть переводится из p -> q.

1.     Перевод целой части (или простого целого) производится так. Число, представленное в q-системе, необходимо разделить на основание той системы (q), в которую переводится число, и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не окажется меньше делителя (q). Значения последнего частного и полученные остатки, записанные в обратной последовательности, образуют целую часть числа в системе с основанием q.

Причем при делении надо помнить, что новое основание (q)должно быть представлено в старой q-системе.

Пример: переведём число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1001011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

2.     Для перевода дробной части числа (или числа, у которого «0» целых) необходимо умножить ее на новое основание q. Затем, отбрасывая у результата целую часть, продолжать процесс умножения до тех пор, пока дробная часть произведения не окажется равной нулю или не будет достигнута нужная точность дроби. Целые части произведений, записанные после запятой в прямой последовательности (начиная с первого), образуют дробную часть числа в системе счисления с основанием q.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

 

Рассмотрим перевод смешанного числа из десятичной в двоичную систему счисления на примере числа 46,625.

1.      Переводим целую часть числа:

                Остаток

46:2=23         0

23:2=11         1

11:2=5          1

  5:2=2          1

  2:2=1          0

  1:2          1

Запишем остатки, начиная с последнего 101110, т.е. 46₁₀=101110₂

 

2. Переводим дробную часть числа:

0,625 х 2=1,250

0,250 х 2=0,500

0,500 х 2=1,000

Запишем целые части произведений, начиная с первого – 0,101, т.е. 0,625₁₀ = 0,101₂

Ответ: 46,625₁₀ = 101110,101₂

 

Для того чтобы выполнить обратное преобразование (перевод из q системы в десятичную), необходимо число в системе счисления с основанием q записать в развернутом виде и выполнить необходимые вычисления. 

Рассмотрим перевод двоичного числа 101110,101₂ в десятичное число. Для этого запишем это двоичное число в развернутом виде, используя формулу (1) и выполним необходимые вычисления.

Основание системы: q=2, число разрядов целой части числа: m=6,  число разрядов дробной части числа: n=3, цифры двоичной системы счисления а представлены нулем или единицей.

101110,101₂=1х2⁵+0х2⁴+1х2³+1х2²+1х2¹+0х2⁰+1х2^-1+

0х2^-2+1х2^-3 =32+0+8+4+2+0+1/2+0+1/8=46,625₁₀

  Рассмотрим перевод шестнадцатеричного числа 9D,1₁₆ в десятичное число:

9D,1₁₆=9х16¹+13х16⁰+1х16^-1=144+13+1/16=157,0625₁₀