РГР / 4 / Отчет РГР 4

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Национальный исследовательский Томский политехнический Университет»

«Электроэнергетики и электротехники»

Расчетно-графическая работа №4

« Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях»

Вариант № 024

Исполнитель

Студент группы 5А36 Кондрашов М.А.

Руководитель :

Преподаватель Колчанова В.А.

Томск -2025

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях

I. Для заданной схемы при коммутации ключа K₁ в момент времени t = 0, когда ключ K₂ еще не сработал, выполнить следующее:

1. При постоянном источнике ЭДС e(t) = E или тока J(t) = J опреде­лить ток i(t) или напряжение u_J(t):

а) классическим методом;

б) операторным методом;

в) построить график зависимости тока i(t) или напряжения u_J(t).

2. При гармоническом источнике ЭДС или тока определить ток i(t) или напряжение u_J(t):

а) классическим методом;

б) комбинированным (операторно-классическим) методом;

на интервале времени построить график зависимости тока i(t) или напряжения u_J(t).

3. При импульсном источнике ЭДС или тока и нулевых начальных условиях определить интегралом Дюамеля ток i(t) или напряжение u_J(t), построить их график зависимости (p – корень характеристического уравнения из п. 1, а).

II. Для заданной схемы с постоянным источником ЭДС e(t) = E или тока J(t) = J при коммутации ключа K₂ в момент времени t=0, когда ключ K₁ давно уже сработал, определить ток i(t) или напряжение u_J(t):

а) классическим методом;

б) операторным методом;

в) методом переменных состояния;

построить график зависимости тока i(t) или напряжения u_J(t).

III. Проанализировать методы расчета, результаты вычислений, графики зависимостей и сформулировать выводы по работе.

Свободная таблица данных:

№	E	J			№		R	L	C
–	В	А	град		–	1/с	Ом	Гн	мкФ
0	100	1	-120		2	150	90	1,2	150

При постоянном источнике тока J(t) = J после срабатывания ключа К₁, когда ключ К₂ ещё не сработал, определяем напряжение u_J(t).

1.1. Используем упрощённый классический метод, когда дифференциальное уравнение для искомой функции не составляется.

1.1.1. Определяем независимые начальные условия (ННУ) при . (схема до коммутации: установившийся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка).

Рисунок 1

Найдем искомые величины по 2 закону Кирхгофа.

1.1.2. Определяем ЗНУ при . (Cхема после коммутации ключа К₁). Используем метод контурных токов.

Рисунок 2

Методом контурных токов определяем I₁₁:

Используя II закон Кирхгофа определяем напряжение на источнике тока:

1.1.3. Определяем принуждённую составляющую при (схема после коммутации ключа К₁, установившейся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка);

Рисунок 3

1.1.4. Определяем корень характеристического уравнения . Используем метод сопротивления цепи после коммутации , причём , а ;

Рисунок 4

Находим входное сопротивление цепи относительно зажимов и приравниваем его к 0

1.1.5 Определяем постоянную интегрирования B:

1.1.6. Окончательный результат

=0.041– постоянная времени.

Рисунок 5

1.2. Используем операторный метод.

1.2.1. Находим независимые начальные условия (п. 1.1.1)

1.2.2. В операторной схеме после коммутации используем метод контурных токов:

Рисунок 6

; ;

;

;

Определяем операторное изображение напряжения на источнике тока из контура I₂₂:

1.2.3. По теореме разложения находим :

Приравнивая B(p)=0, определяем корень p:

t, c

Результат совпал с классическим методом.

2. При гармоническом источнике ЭДС или тока определить ток i(t) или напряжение u_J(t):

2.1. Используем упрощённый классический метод, когда дифференциальное уравнение для искомой функции не составляется.

2.1.1. ННУ. Определяем независимые начальные условия при (схема до коммутации установившийся режим, гармонический источник).

Рисунок 7

Определяем сопротивление ёмкости:

Определяем комплексное напряжение емкости используя правило разброса токов в параллельных ветвях, определяем комплексный ток через индуктивность:

2.1.2. Определяем ЗНУ при (схема после коммутации ключа К₁):

Рисунок 8

Ток источника тока при t=0:

Методом контурных токов определяем I₁₁:

Используя II закон Кирхгофа определяем напряжение на источнике тока:

2.1.3. Определяем принуждённую составляющую при (cхема после коммутации ключа К₁: установившейся режим, гармонический источник):

Определяем входное сопротивление:

Определяем напряжение:

2.1.4. Определяем корень характеристического уравнения : Используем метод сопротивления цепи после коммутации. Аналогично п. 1.1.4

2.1.5. Определяем постоянную интегрирования B:

B

2.1.6. Окончательный результат

причем с – постоянная времени;

с – время окончания переходного процесса;

с – период принужденной составляющей.

Рисунок 9

2.2. Используем комбинированный (операторно-классический) метод для определения .

2.2.1. Находим независимые начальные условия (п. 2.1.1):

2.2.2. Определяем принуждённые составляющие при (cхема после коммутации ключа К₁: установившийся режим, гармонический источник)

Определяем входное сопротивление:

Определяем напряжение:

2.2.3. Определяем начальное значение свободной составляющей напряжения на ёмкости:

2.2.4. Рассчитываем операторную схему замещения для свободных составляющих.

Рисунок 10

2.2.5. По теореме разложения и принципу наложения получаем окончательный результат

3. При импульсном источнике тока , А (p – корень характеристического уравнения) и нулевых начальных условиях (ключ К₁ сработал) определяем интегралом Дюамеля напряжение .

3.1. Находим переходную характеристику h(t) для u_J(t) операторным методом при u_C(0) = u_C(0_–) = 0.

Проверка:

а)  =150 – верно, т.к. u_C(0_–) = 0 и С – закоротка;

б) – верно, т.к. С – разрыв.

3.2. Рассчитаем интегралом Дюамеля :

Тогда

Проверка:

3.3 График зависимости напряжение U_j(t):

Рисунок 11

4. Цепь второго порядка. При постоянном источнике тока J(t) = J после срабатывания ключа К₂ определяем напряжение . (Ключ К₁ давно уже сработал).

4.1. Используем упрощённый классический метод, когда дифференциальное уравнение для искомой функции не составляется.

4.1.1. Определяем независимые начальные условия (ННУ): при (Cхема до коммутации: установившийся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка).

Рисунок 11

4.1.2. Определяем ЗНУ при (Схема после коммутации ключа К₂):

Рисунок 12

Используя метод контурных токов

4.1.3. Определяем принуждённую составляющую при (Схема после коммутации ключа К₂: установившийся режим, постоянный источник, С – разрыв, L – закоротка);

Рисунок 13

4.1.4. Определяем корень характеристического уравнения . (после коммутации: , причём , а ).

Рисунок 14

Решая это квадратное уравнение в MathCAD, определяем корни:

4.1.5. Определяем постоянные интегрирования и :

Т. к. характеристическое уравнение имеет 2 корня, то свободная составляющая будет иметь следующий вид:

,

а полный ток:

Решаем матрично с помощью ПК Маткад в результате чего получим:

4.1.6. Окончательный результат

В

где с – постоянная времени;

4.1.7. На интервале времени при помощи MathCAD строим .

Рисунок 15

4.2. Используем операторный метод для определения .

4.2.1. Из расчёта установившегося режима до коммутации находим независимые начальные условия (п. 4.1.1):

4.2.2 В операторной схеме после коммутации

Методом двух узлов определяем напряжение на конденсаторе:

Рисунок 16

Тогда напряжение на источнике тока:

4.2.3. По теореме разложения находим искомое напряжение

По теореме разложения находим изображение:

, B

Расчет сошелся с предыдущим методом.

4.3. Методом переменных состояния находим .

4.3.1. Начальные условия:

4.3.2. Используя метод наложения составляем уравнения состояния:

А) Подсхема с источником тока J

Рисунок 17

Б) Подсхема с источником тока i_L

Рисунок 18

i_С

В) Подсхема с источником ЭДС u_C :

Рисунок 19

В итоге:

Выражение для U_J:

4.3.3. Решаем с использованием MathCAD.

Рисунок 20

Вывод: расчёт переходных процессов в электрических цепях является достаточно трудоёмким из-за необходимости решать дифференциальные уравнения. Однако с помощью методов, представленных в этой работе, расчёт цепей при постоянном или гармоническом источнике ЭДС или тока значительно упрощается.

В ходе проделанной мной расчетно-графической работы с пришел к выводу, что переходные процессы важны в исследованиях, так как процесс перехода цепи с накопителями от одного установившегося режима к другому, возникающий при включении, отключении, переключении цепи или её элементов, а также при аварийных изменениях её параметров подлежат исследованию и разрешению проблем переходных процессов такими методами как: классическим методом; операторным методом;

Проведя исследования этими методами наиболее удобным методом является операторный метод. Момент коммутации определяет начало переходного процесса, при этом различают время непосредственно перед коммутацией t(0-) и сразу после коммутации t(0+). Время переходного процесса обусловлено временем изменения энергии электрического и магнитного полей накопителей. В цепях без накопителей энергии переходный процесс отсутствует: после срабатывания ключа (t=0+) в цепи сразу же возникает установившийся режим.