коллок / шпора матан

1.СИМВОЛИКА ОТРИЦАНИЕ: ¬(A⇒B)=A∧¬B. Импликация(α⇒β), эквивалентность(α⇔β), конъюнкция(α∧β),дизъюнкция(α∨β); кванторы:∀, ∃,∃!. 2.ОГР И НЕОГР МН-ВА:Мн-во X огр.сверху если ∃A:∀x∈X x≤A. Огр.снизу если ∃B:∀x∈X x≥B. Огр.мн-во если ∃C:∀x∈X |x|≤C. 3.ТОЧНЫЕ ВГ И НГ: SupX=M:1)∀x∈X:x≤M. 2)∀ε>0 ∃x∈X:x>M-ε. InfX=m:1)∀x∈X:x≥m. 2)∀ε>0 ∃x∈X:x<m+ε. СВ-ВО В R:ОГР СВЕРХУ(СНИЗУ)МН-ВО ИМЕЕТ SUP(INF). 4.СВ-ВА ТОЧНЫХ ГР:1)supX=M⇒inf(-X)=-M.Док:∀y∈-X y=-x≥-M;∀ε>0 ∃x:x>M-ε⇒y=-x<-M+ε. 2)infX=m⇒sup(-X)=-m.Док:∀y∈-X y=-x≤-m;∀ε>0 ∃x:x<m+ε⇒ y=-x>-m-ε. 3)sup(X+Y)=supX+supY.Док:z=x+y≤M1+M2;∀ε>0 ∃x>M1-ε/2, ∃y>M2-ε/2⇒z>M1+M2-ε. 7)X⊂Y⇒supX≤supY и infX≥infY.Док:supY-вг для X⇒supY≥supX. infY-нг для X⇒infY≤infX. 5.Т.О СУЩ ТОЧНОЙ ВГ:ЛЕММА О СЕЧЕНИЯХ:A∪B=R,A<B(∀a∈A,b∈B a<b),A,B≠∅⇒∃max A ИЛИ ∃min B. ДОК-ВО:X≠∅,огр.сверху.B-мн-во верх.граней X,A=R\B.1)B≠∅(X огр.). 2)A≠∅(∃x∈X,x-1∈A).3)A<B(иначе ∃a≥b,a∈A,b∈B,но тогда a-верх.грань, противоречит a∈A) 4)По лемме:∃max A ИЛИ ∃min B.5)Если ∃max A=a0,то ∃x∈X:x>a0.Берём c=(a0+x)/2:c>a0⇒c∉A,c<x⇒c∉B,но A∪B=R-противоречие 6)ЗНАЧИТ,∃min B=supX. СЛЕДСТВИЕ:ОГР.СНИЗУ МН-ВО ИМЕЕТ INF.Док:-X огр.сверху⇒∃sup(-X)⇒по св-ву inf X=-sup(-X) 6.ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТ ПРЕД ТОЧКИ:a-пред.точка{xn}:∀ε>0 ∀N ∃n>N:|xn-a|<ε. a-lim{xn}(limxn=a):∀ε>0 ∃N ∀n>N:|xn-a|<ε. ГЕОМЕТР:В ЛЮБОЙ ε-ОКРЕСТНОСТИ a ЛЕЖАТ ВСЕ ЧЛЕНЫ ПОСЛЕДОВАТ,КРОМЕ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА. ЕДИНСТВЕННОСТЬ LIM :Пусть limxn=a и limxn=b,a<b.Берём ε=(b-a)/2 По опр.∃N1 ∀n>N1:xn∈(a-ε,a+ε).∃N2 ∀n>N2:xn∈(b-ε,b+ε).Для n>max(N1,N2) должно xn<(a+b)/2 и xn>(a+b)/2 одновременно → ПРОТИВОРЕЧ 7.ОГР-ННОСТЬ СХОДЯЩ ПОСЛЕДОВАТ :Т:∃limxn=a⇒{xn}-ограничена. ДОК :Берём ε=1.∃N ∀n>N:|xn-a|<1.Тогда |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|.Пусть C=max{|x1|,...,|xN|,1+|a|}.Тогда ∀n:|xn|≤C. ВЫВОД :СХОДИМОСТЬ⇒ОГРАНИЧЕННОСТЬ.ОБРАТН НЕВЕРНО. 8.СОХР ЗНАКА:Т.:∃limxn=a,a≠0⇒∃N ∀n>N:|xn|>|a|/2Причем:a>0⇒ xn>a/2>0;a<0⇒ xn<a/2<0.ДОК-ВО:Берём ε=|a|/2>0.∃N ∀n>N:|xn-a|<|a|/2. Это:a-|a|/2<xn<a+|a|/2.Случай a>0:a/2<xn<3a/2⇒xn>a/2.Случай a<0: 3a/2<xn<a/2⇒xn<a/2. ВЫВОД:ПОЧТИ ВСЕ ЧЛЕНЫ ИМЕЮТ ТОТ ЖЕ ЗНАК,ЧТО И ПРЕДЕЛ 9.ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ НЕРАВЕНСТВА:Т.:Пусть ∃limxn=a,∃limyn=b,и ∃N1 ∀n>N1:xn≤yn.Тогда a≤b.ДОК-ВО ОТ ПРОТИВНОГО:Предположим a>b.ε=(a-b)/2>0.∃N2 ∀n>N2:|xn-a|<ε⇒xn>a-ε=(a+b)/2.∃N3 ∀n>N3:|yn-b|<ε⇒yn<b+ε=(a+b)/2.Для n>max(N1,N2,N3): (a+b)/2<xn≤yn<(a+b)/2→ПРОТИВОРЕЧИЕ

10.ЛЕММА О 2 МИЛИЦИОНЕРАХ:Т.:Пусть ∃N1 ∀n>N1: xn≤zn≤yn,и limxn=limyn=a.Тогда ∃limzn=a.ДОК-ВО:∀ε>0:По limxn=a:∃N2 ∀n>N2:a-ε<xn<a+ε.По limyn=a:∃N3 ∀n>N3:a-ε<yn<a+ε.Возьмем N=max(N1,N2,N3). Тогда для ∀n>N:a-ε<xn≤zn≤yn<a+ε⇒|zn-a|<ε⇒limzn=a. |zn ЗАЖАТА МЕЖДУ 2 СХОДЯЩ К ОДНОМУ ПРЕДЕЛУ ПОСЛЕДОВАТ 11. БМ И ББ Б.М.{αn}:limαn=0 (∀ε>0 ∃N ∀n>N:|αn|<ε). СВЯЗЬ:limxn=a ⇔ (xn-a)-б.м. Б.Б.{βn}:limβn=∞.Опр.:∀C>0 ∃N ∀n>N:|βn|>C. Частные случаи:+∞(βn>C),-∞(βn<-C). СВЯЗЬ Б.М.И Б.Б.:ЕСЛИ {αn}-Б.М,ТО {1/αn}-Б.Б. ЕСЛИ {βn}-Б.Б.,ТО {1/βn}-Б.М. Б.Б.⇒НЕОГРАНИЧ.ОБР НЕВЕРНО. 12.СВ-ВА БМ:1)БМ+БМ=БМ .Док:∀ε>0, |αn|<ε/2,|βn|<ε/2 для n>max(N1,N2)⇒ |αn+βn|≤|αn|+|βn|<ε. 2)|БМ|=БМ.Док: |αn|<ε⇒||αn||=|αn|<ε. 3)БМ*ОГР=БМ Док:Пусть |xn|≤C Для C=0 – тогда xn=0 и a*xn Б.М..Для C>0:∀ε>0 ∃N ∀n>N:|αn|<ε/C ⇒|αn*xn|= |αn||xn|<(ε/C)C=ε. 13.Т О +*/ ДЛЯ СХОД ПОСЛЕД ЧЕРЕЗ БМ :Дано:limxn=a,limyn=b. 1)lim(xn+yn)=a+b. Док:(xn+yn)-(a+b)=(xn-a)+(yn-b)-сумм б.м.⇒б.м. 2)lim(cxn)=ca.Док:cxn-ca=c*(xn-a)-б.м. 3)lim(xn*yn)=ab Док:xnyn-a*b=(xn-a)yn+a(yn-b).(xn-a)-б.м.,yn-огр.⇒(xn-a)yn-б.м. a(yn-b)-б.м.Их сумма-б.м. 4)lim(1/yn)=1/b (b≠0).Док:1/yn-1/b=(b-yn)/(yn*b).(b-yn)-б.м.По сохран.знака ∃N ∀n>N:|yn|>|b|/2⇒ |1/(yn*b)|<2/(b^2)⇒огр.⇒ произведение б.м.на огр.=б.м. 5)lim(xn/yn)=a/b (b≠0).Док:как произведение:xn*(1/yn). 14.ПРЕДЕЛ МОНОТОН ОГР ПОСЛЕДОВАТ:ОПР: {xn}неубыв. ,если ∀n:xn≤x_{n+1}; невозраст.,если ∀n:xn≥x_{n+1}. Т:Если {xn}неубыв.и огр.сверху⇒ ∃limxn=sup{xn}.Если {xn}невозраст.и огр.снизу⇒ ∃limxn=inf{xn}. ДОК-ВО ДЛЯ НЕУБЫВ.:Пусть M=sup{xn}.∀ε>0 ∃n0:x_{n0}>M-ε(по св-ву супр.).Для ∀n>n0:x_n≥x_{n0}>M-ε.И всегда x_n≤M.Значит,для n>n0:M-ε<x_n≤M<M+ε⇒|x_n-M|<ε⇒limxn=M. ДОК ДЛЯ НЕВОЗРАСТ: Рассмотреть yn=-xn(станет неубыв.,огр.сверху)и перейти к пределу. 15.СОЧЕТАНИЯ,БИНОМ,ЧИСЛО e: СОЧЕТАНИЯ: C_n^k=n!/(k!(n-k)!)=n*(n-1)*...*(n-k+1)/k!(k сомножителей). БИНОМ НЬЮТОНА:(a+b)^n= Σ_{k=0}^{n}C_n^k*a^{n-k}*b^k. ЧИСЛО e: e=lim_{n→∞}(1+1/n)^n.ДОКВО СУЩ:Рассмотрим xn=(1+1/n)^n.1) ВОЗР: Раскладываем по биному: xn=2+Σ_{k=2}^{n}(1/k!)*(1-1/n)*(1-2/n)*...*(1-(k-1)/n).У xn+1 больше слагаемых и каждый множитель(1-m/(n+1))>(1-m/n) ⇒xn+1>xn. 2)ОГР СВЕРХУ:xn<2+1/2!+1/3!+...+1/n! Докажем n!>2^{n-1}(при n>2,индукция).Тогда xn<2+1/2+1/2^2+ ...=2+1=3.Итак,xn возр.и огр.сверху⇒ ∃limxn=e 16 ЛЕММА О ВЛОЖ ОТРЕЗКАХ: СИС ВЛОЖ СТЯГИВАЮЩИХСЯ ОТРЕЗКОВ: σn=[an,bn],где σ_{n+1}⊂σ_n и lim|σn|=lim(bn-an)=0. ТЕОРЕМА: Сущ единствен точка c,принадлежащ всем отрезкам. ДОК-ВО:1)an-неубыв.,огр.сверху(b1).bn-невозраст.,огр.снизу(a1). ⇒∃liman=c, ∃limbn=d. 2)Из вложенности an≤an+1≤bn+1≤bn⇒ an≤c≤d≤bn (по предельн переходу).3)По условию lim(bn-an)=0⇒d-c=0⇒d=c.Значит ,liman=limbn=c и an≤c≤bn для всех n. 4)ЕДИНСТВЕННОСТЬ:Пусть есть c1,тоже an≤c1≤bn.Тогда|c-c1|≤bn-an→0⇒c=c1.

17 Т БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА: ОПР: Подпослед xnk,где nk-строго возр. Т:Из любой ограниченной последоват можно выделить сходящ подпоследоват. ДОК-ВО(метод деления пополам):xn огр.⇒все xn∈σ1=[-C,C].Делим σ1 на 2 ,выбираем половину с бес числом членов,это σ2.Повторяем.Получаем сис влож стяг отрезков σk.Строим подпоследоват:берем xn1∈σ1,затем xn2∈σ2 с n2>n1,и т.д.По лемме о влож отрезках ∃!c∈∩σk.Длина σk→0,и xnk∈σk⇒|xnk-c|≤|σk|→0⇒lim xnk=c. 18 КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТ: УСЛОВИЕ КОШИ:∀ε>0 ∃N ∀n>N ∀m>N:|xn-xm|<ε. Т:Последоват сходится⇔она фундаментальна(удовл.усл.Коши). ДОК-ВО(⇒):Пусть lim xn=a.∀ε>0 ∃N ∀n>N:|xn-a|<ε/2.Тогда для n,m>N:|xn-xm|≤|xn-a|+|a-xm|<ε/2+ε/2=ε. ДОК-ВО(⇐):1)Из условия Коши(ε=1) следует огр (аналогично док-ву огр-ти сход.посл.).2)По т.Больцано-Вейерштрасса∃ сходящаяся подпоследоват xnk→a.3)Покажем,что xn→a.∀ε>0 ∃N1 ∀n,m>N1:|xn-xm|<ε/2(усл.Коши).∃K ∀k>K:|xnk-a|<ε/2 и nk>N1.Для любого n>N1 возьмем k так,чтобы nk>N1,тогда|xn-a|≤|xn-xnk|+|xnk-a|<ε/2+ε/2=ε. 19 ПРЕДЕЛ ФУНК В ТОЧКЕ: ОПР.ПО КОШИ(ОК):a=lim_{x→x0}f(x)если ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x:0<|x-x0|<δ⇒|f(x)-a|<ε. ОПР.ПО ГЕЙНЕ(ОГ):a=lim_{x→x0}f(x)если ∀{xn}:xn→x0,xn≠x0⇒f(xn)→a. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ:ОК⇔ОГ Док: (ОК⇒ОГ)берем xn→x0,для δ из ОК найдем N:|xn-x0|<δ для n>N⇒|f(xn)-a|<ε.(ОГ⇒ОК от противного)предположим не ОК:∃ε ∀δ ∃x:0<|x-x0|<δ и|f(x)-a|≥ε.Берём δ=1/n,получаем последоват xn→x0,но|f(xn)-a|≥ε,противоречит ОГ. ПРИМЕР С ПРЕДЕЛОМ :lim_{x→x0}(kx+b)=kx0+b.Док по ОК:|(kx+b)-(kx0+b)|=|k||x-x0|<ε при|x-x0|<ε/|k|,берем δ=ε/|k|. ПРИМЕР БЕЗ ПРЕДЕЛА:Функция Дирихле D(x).Берём xn∈Q→x0⇒D(xn)=1→1; yn∈I→x0⇒ D(yn)=0→0.По ОГ,если б предел существовал,оба предела совпадали бы. 20 СВ-ВА ФУНК, ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ: ЕДИНСТВЕННОСТЬ:Док от противного,a≠b,берём ε=(b-a)/2,находим δ=min(δ1,δ2),получаем f(x) одновременно <(a+b)/2 и >(a+b)/2. ОГР В ОКРЕСТН:∃lim f(x)=a⇒∃δ>0 ∀x:0<|x-x0|<δ⇒|f(x)-a|<1⇒|f(x)|<1+|a|. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВЕ:Если f(x)≤g(x)в прокол.окрестн x0 и ∃lim f=a,lim g=b,то a≤b.Док от противного:a>b,берём ε=(a-b)/2,находим общее δ,получаем f(x) >(a+b)/2>g(x)-противоречие. Л О 2 МИЛИЦИОНЕРАХ:Если f(x)≤h(x)≤g(x)в прокол.окрестн x0 и lim f=lim g=a,то lim h=a.Док:берем δ как min из трех усл,получаем a-ε<f(x)≤h(x)≤g(x)<a+ε. СОХР ЗНАКА:Если lim f(x)=a,a≠0,то ∃δ>0 ∀x:0<|x-x0|<δ⇒|f(x)|>|a|/2.Если a>0⇒f(x)>a/2;если a<0⇒f(x)<a/2.Док:берём ε=|a|/2,из ОК получаем нужные неравенства.

21 АРИФМЕТ ДЕЙСТВИЯ НАД ПРЕДЕЛАМИ ФУНК:Дано:lim f(x)=a,lim g(x)=b при x→x0. 1)+/-:lim(f±g)=a±b.Док по Коши:∀ε>0,∃δ1:|f-a|<ε/2,∃δ2:|g-b|<ε/2,берем δ=min(δ1,δ2)⇒|(f+g)-(a+b)|≤|f-a|+|g-b|<ε. 2)*k: lim(kf)=ka.Док по Коши:|kf-ka|=|k||f-a|<ε при|f-a|<ε/|k|. 3)*:lim(f*g)=a*b.Док по Коши:|fg-ab|=|f(g-b)+b(f-a)|≤|f||g-b|+|b||f-a|.Огр |f|в окрестн :∃δ3:|f|<|a|+1.Берём δ=min(δ1,δ2,δ3),где δ1 из|f-a|<ε/(2|b|),δ2 из|g-b|<ε/(2(|a|+1)).Тогда|fg-ab|<(|a|+1)*ε/(2(|a|+1))+|b|*ε/(2|b|)=ε. 4)/:lim(f/g)=a/b(b≠0).Док по Коши:|f/g-a/b|=|(bf-ag)/(bg)|=|b(f-a)+a(b-g)|/(|b||g|).В окрестн ∃δ3:|g|>|b|/2.Берём δ=min(δ1,δ2,δ3),где δ1 из|f-a|<εb^2/(4|b|),δ2 из|g-b|<εb^2/(4|a|).Тогда|f/g-a/b|≤(|b||f-a|+|a||g-b|)*(2/b^2)<ε. 22 НЕПРЕРЫВН ФУНК В ТОЧКЕ:ОПР:f непр.в x0 если lim_{x→x0}f(x)=f(x0).Эквив ОК:∀ε>0 ∃δ>0 ∀x:|x-x0|<δ⇒|f(x)-f(x0)|<ε.Через приращения:Δx→0⇒Δf=f(x0+Δx)-f(x0)→0.АРИФЕ СВ-ВА:Если f и g непр.в x0,то f±g,kf,f*g,f/g(g(x0)≠0)также непрерывны в x0.Док:Следует из арифметических св-в пределов функ.ОДНОСТОР НЕПРЕРЫВН:f непр.справа в x0 если lim_{x→x0+}f(x)=f(x0);слева если lim_{x→x0-}f(x)=f(x0). 23 НЕПРЕРЫВН СЛОЖ ФУНК:Т.:Если y=y(x)непр.в x0,а z=z(y)непр.в y0=y(x0),то H(x)=z(y(x))непр.в x0.ДОК:Рассмотрим Δx:x0+Δx→x0.Так как y непр.,то Δy=y(x0+Δx)-y0→0.Так как z непр.в y0,то Δz=z(y0+Δy)-z(y0)→0.Но ΔH=H(x0+Δx)-H(x0)=Δz→0⇒H непр. 24 НЕПРЕРЫВ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНК:ЛИНЕЙНАЯ f(x)=kx+b:непр.,т.к.lim_{x→x0}=kx0+b.СТЕПЕННАЯ f(x)=x^n:непр.как произведение непр.функ. МНОГОЧЛЕН P(x):сумма и произведение непр.⇒ непр.РАЦИОНАЛЬНАЯ P(x)/Q(x):непр.где Q(x0)≠0 как частное непр.СИНУС:Докажем:|sin x|≤|x|(геом.из ед.окружности:длина хорды 2|sin x|≤длина дуги 2|x|).Непрерывность:|sin x-sin x0|=2|sin((x-x0)/2)cos((x+x0)/2)|≤2|(x-x0)/2|*1=|x-x0|.Берём δ=ε⇒|x-x0|<δ⇒|sin x-sin x0|<ε.КОСИНУС:cos x=sin(π/2-x)-композиция непр.функ.ТАНГЕНС, КОТАНГЕНС:tg=sin/cos,ctg=cos/sin-частное непр., непр.где знаменатель≠0.КОРЕНЬ f(x)=√x(x≥0): Док по Коши:|√x-√x0|=|x-x0|/(√x+√x0)≤|x-x0|/√x0 для x0>0.Берём δ=min(x0,ε√x0). 25 ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ И СЛЕДСТВИЯ:ПРЕДЕЛ:lim_{x→0} sin x/x=1.ДОК(для x→0+):Из геометрии на ед.окружности:sin x<x<tg x для 0<x<π/2.Делим на sin x>0:1<x/sin x<1/cos x⇒cos x<sin x/x<1.При x→0+ cos x→1.По лемме о 2 милиционерах sin x/x→1.Для x→0- аналогично.СЛЕДСТВИЕ 1:Если α(x)→0 при x→x0,то lim sin(α(x))/α(x)=1.Док:через непрерывность слож.функ H(x)=z(y(x)),где y(x)=α(x),z(y)=sin y/y(доопредел.1 в 0).СЛЕДСТВИЕ 2:lim_{x→0}(1-cos x)/x^2=1/2.Док:(1-cos x)/x^2=(1-cos^2 x)/(x^2(1+cos x))=sin^2 x/(x^2(1+cos x))=(sin x/x)^2*1/(1+cos x)→1^2*1/2=½.

26 ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТ ПРЕДЕЛ И СЛЕДСТВ:ПРЕДЕЛ:lim_{x→∞}(1+1/x)^x=e.ДОК(x→+∞): Используем целую часть [x].Для x≥1:(1+1/([x]+1))^[x]<(1+1/x)^x<(1+1/[x])^([x]+1).При[x]→∞левая часть:=((1+1/([x]+1))^([x]+1))/(1+1/([x]+1))→e/1=e.Правая часть:=(1+1/[x])^[x]*(1+1/[x])→e*1=e.По лем о 2 милиционерах средняя часть→e. Для x→-∞:замена y=-x→+∞сводится к случаю. СЛЕДСТВИЕ1:lim_{x→0}(1+x)^(1/x)=e(замена y=1/x). СЛЕДСТВ2:Если α(x)→0при x→x0,то lim(1+α(x))^(1/α(x))=e(через непр.сложной функ) СЛЕДСТВ3:lim_{x→0}log_a(1+x)/x=1/ln a.Док:=log_a((1+x)^(1/x))→log_a(e)=1/ln a. СЛЕДСТВ4:lim_{x→0}(a^x-1)/x=ln a.Док:делаем замену a^x-1=y⇒x=log_a(1+y).Предел сводится к y/(log_a(1+y))→1/(1/ln a)=ln a.СЛЕДСТВ5:lim_{x→0}((1+x)^a-1)/x=a.Док:(1+x)^a=e^(a ln(1+x)).Используем след.4 или эквивалентн.27 КРИТ КОШИ СУЩЕСТВОВ ПРЕДЕЛА ФУНК:УСЛОВИЕ КОШИ:∀ε>0 ∃δ>0 ∀x1,x2:0<|x1-x0|<δ и 0<|x2-x0|<δ⇒|f(x1)-f(x2)|<ε.ТЕОРЕМА:∃lim_{x→x0}f(x)⇔выполнено усл Коши.ДОК(⇒):Пусть lim f=a.∀ε>0 ∃δ>0 ∀x:0<|x-x0|<δ⇒|f(x)-a|<ε/2.Тогда для любых x1,x2 из проколот δ-окрестн:|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)-a|+|a-f(x2)|<ε/2+ε/2=ε.ДОК(⇐):1)Берём любую{xn}→x0,xn≠x0.Из усл Коши(с тем же δ)⇒∀n,m>N:|f(xn)-f(xm)|<ε⇒{f(xn)}фундаментальна⇒по КК для последоват ∃ lim f(xn)=A.2)Покажем,что этот A один для всех таких последоват.Пусть f(xn)→A,f(yn)→B.Составим{zn},перемежающую xn и yn.Тогда zn→x0,и{f(zn)}должна сходиться(фундам.и огр.).Но ее подпоследоват{f(xn)}и{f(yn)}сходятся к A и B⇒A=B.3)По опред Гейне∃lim_{x→x0}f(x)=A.28 БМ И ББ ФУНК:Б.М.α(x)при x→x0:lim α(x)=0.Св-ва:сумма б.м.есть б.м.,произведение б.м.на ограниченную есть б.м.Б.Б.β(x)при x→x0:lim β(x)=∞(∀C>0∃δ>0∀x:0<|x-x0|<δ⇒|β(x)|>C).СВЯЗЬ С ПРЕД:lim f(x)=a⇔f(x)-a-б.м.при x→x0.СВЯЗЬ Б.М.И Б.Б.:Если α(x)-б.м.и α(x)≠0в окрестн,то 1/α(x)-б.б.Если β(x)-б.б.,то 1/β(x)-б.м.ПРЕДЕЛЫ НА БЕСК:lim_{x→+∞}f(x)=a:∀ε>0∃M>0∀x>M:|f(x)-a|<ε.Аналогично для x→-∞,x→∞.Б.Б.НА БЕСК:lim_{x→+∞}f(x)=+∞:∀C>0∃M>0∀x>M:f(x)>C. 29 ОПР о-МАЛОГО,ЭКВИВАЛЕНТ ФУНК.ВЫЧИС ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ЭКВИВАЛЕНТ:ЭКВИВАЛЕНТ БМ:Пусть α(x),β(x)-б.м.при x→x0.α(x)∼β(x)⇔lim_{x→x0}α(x)/β(x)=1.ЭКВИВАЛЕНТ ПРИ x→0:sin x∼x.arcsin x∼x.tg x∼x.arctg x∼x.1-cos x∼x^2/2.log_a(1+x)∼x/ln a.a^x-1∼x·ln a.(1+x)^a-1∼a·x.Важно:говорить об эквивален только б.м.Например,1-cos x-б.м.и эквивалентна,а cos x-нет.ОПР «o»-МАЛОГО:Пусть α(x),β(x)-б.м.α(x)=o(β(x))⇔lim_{x→x0}α(x)/β(x)=0. Т:lim_{x→x0}(α(x)+o(α(x)))/g(x)=lim_{x→x0}α(x)/g(x). ДОК:lim(α(x)+o(α(x)))/g(x) =limα(x)(1+o(α(x))/α(x))/g(x)=lim α(x)(1+0)/g(x)=lim α(x)/g(x). СЛЕДСТВ:α(x)+o(α(x))∼α(x).ВАЖНО:Раскрывать экв можно только"снаружи"(заменяя множ),но не"изнутри"слож функциональных выражений. 30 Т ОБ ОГР НЕПРЕРЫВН НА ОТРЕЗКЕ ФУНК:ОПР:f непр.на[a,b]если:непр.в(a,b),непр.справа в a,слева в b.Т:Если f непр.на[a,b],то f ограничена на[a,b].ДОК ОТ ПРОТИВНОГО:Предположим f неогр.Тогда∀n ∃xn∈[a,b]:|f(xn)|>n.Последоват{xn}огр.⇒по т.Больцано-Вейерштрасса∃ сходящаяся подпоследоват x_{nk}→x0∈[a,b].Поскольку f непр.в x0(с учетом односторонней непрерывности на концах),то lim f(x_{nk})=f(x0)(конечно).Но по построению|f(x_{nk})|>nk→∞⇒последоват f(x_{nk})неогр.и не может сходиться.Противоречие.

31 ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА(О ДОСТИЖЕНИИ НАИБ.И НАИМ.ЗНАЧЕНИЙ):ТЕОРЕМА:Если f непр.на[a,b],то∃x1,x2∈[a,b]такие,что f(x1)=m=inf f,f(x2)=M=sup f(наиб.и наим.значения достигаются).ДОК ДЛЯ МАКСИМУМА:f непр.⇒огр.(по т.30).Пусть M=sup f на[a,b].По св-ву супремума∀n ∃xn∈[a,b]:M-1/n<f(xn)≤M.{xn}огр.⇒∃ сход.подпоследоват x_{nk}→x0∈[a,b](по т.Б-В).f непр.в x0⇒lim f(x_{nk})=f(x0).Но из неравенства M-1/nk<f(x_{nk})≤M по лемме о 2 милиционерах lim f(x_{nk})=M.Значит f(x0)=M.Для минимума аналогично. 32 Т О ПЕРЕХОДЕ ЧЕРЕЗ 0: Если f непр.на[a,b]и f(a)*f(b)<0(знаки разные),то∃c∈(a,b):f(c)=0.ДОК МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ПОПОЛАМ:Пусть f(a)<0,f(b)>0.Делим[a,b]пополам точкой c.Если f(c)=0-конец.Иначе выбираем тот половинный отрезок,на концах которого f имеет разные знаки.Повторяем.Получаем сис влож.стягив.отрезков σn.По лемме∃!c∈∩σn.Докажем f(c)=0 от противного.Если f(c)>0,то по сохр знака∃окрестн(c-δ,c+δ)где f>0.Но при большом n длина σn<δ,и σn⊂этой окрестн,но на концах σn f имеет разн знаки -противореч. Аналогично для f(c)<0.33 Т О ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ(КОШИ):Т:Если f непр.на[a,b],m=min f,M=max f,то∀C∈(m,M)∃x∈[a,b]:f(x)=C.ДОК:По т.Вейерштрасса ∃x1,x2∈[a,b]: f(x1)=m,f(x2)=M.Рассмотрим отрезок[x1,x2](или[x2,x1]).На его концах f принимает значения m и M,причем C между ними. Рассмотрим g(x)=f(x)-C.g непр.на[x1,x2],g(x1)=m-C<0,g(x2)=M-C>0.По т.о переходе через 0 ∃x∈(x1,x2):g(x)=0⇒f(x)=C.34 Т ОБ ОБР ФУНК::Если f строго монотон и непр.на[a,b],A=f(a),B=f(b),то∃ обратная функ g,определенная на[A,B](или[B,A]),строго монотонна(той же монотонности)и непрерывна.ДОК СУЩ:Биективность следует из строгой монотонности.ДОК МОНОТОННОСТИ:Если f возр.,то g также возр.(от противного).ДОК НЕПРЕРЫВНОСТИ:Берем y0∈(A,B),x0=g(y0).∀ε>0(малое)берем y1=f(x0-ε),y2=f(x0+ε).Тогда при δ=min(y2-y0,y0-y1)имеем:|y-y0|<δ⇒y1<y<y2⇒x0-ε<g(y)<x0+ε⇒|g(y)-g(y0)|<ε.Для концов отрезка-аналогично с односторонней непр.35 ОДНОСТОР ПРЕДЕЛЫ И ТОЧКИ РАЗРЫВА:ОДНОСТОР ПРЕДЕЛЫ:lim_{x→x0-0}f(x)-предел слева,lim_{x→x0+0}f(x)-предел справа(определения через левую/правую окрестн).КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА:1)УСТРАНИМЫЙ:∃оба одностор.предела,они равны,но не равны f(x0)(или f(x0)не опред.).2)НЕУСТРАНИМЫЙ 1 РОДА:∃оба одностор.предела,но они не равны.3)НЕУСТРАНИМЫЙ 2 РОДА:хотя бы один одностор.предел не ∃(бесконечен или не сущ.).Т:У монотонн на отрезке функ все точки разрыва -первого рода. ДОК(для возр.функ):Рассмотрим точку x0∈(a,b).Для x<x0:f(x)≤f(x0).Пусть M=sup_{x<x0}f(x).Докажем lim_{x→x0-0}f(x)=M.∀ε>0∃x1<x0:f(x1)>M-ε.Для x∈(x1,x0)в силу возр.:M-ε<f(x1)≤f(x)≤M⇒|f(x)-M|<ε.Аналогично lim_{x→x0+0}f(x)=inf_{x>x0}f(x)=m.Эти пределы конечны.Если M=m,то f непр.в x0.Если разрыв,то M<m(для возр.),т.е.пределы различны⇒разрыв 1 рода.36 РАВНОМЕРН НЕПРЕРЫВ:МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВ ω(δ)=sup{|f(x1)-f(x2)|:x1,x2∈I,|x1-x2|<δ}.ОПР РАВНОМЕРНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ:f равном.непр.на I,если∀ε>0∃δ>0∀x1,x2∈I:|x1-x2|<δ⇒|f(x1)-f(x2)|<ε.Эквив.условие:lim_{δ→0+}ω(δ)=0.ПРИМЕР:f(x)=x^2на[0,1]равном.непр.,т.к.|x1^2-x2^2|=|x1-x2|(x1+x2)≤2|x1-x2|,берем δ=ε/2.Т КАНТОРА:Функция,непрерывная на отрезке,равномерно непрерывна на нём.