Колловкиум по матану, 06.11.2025
Доказательство 4:
n |
− b |
o |
Докажем, что yn |
- б.м. |
|
1 |
1 |
|
По теореме о сохранении знака:
|b|n0 n > n0 |yn| > 2 > 0
1 |
1 |
= b − yn |
|||
yn |
− |
b |
|
|
yn · b |
no
Последовательность {b − yn} - б.м. Рассмотрим 1 .
yn·b
Из теореме о сохранении знака:
|b| |yn| > 2
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
y1n |
|
< |
|b| |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< b22 |
||||||
|
|
|
yn1· b |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
b−yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получаем, что n |
|
o - ограничена. Тогда |
yn·b |
- это б.м., умноженная на ограниченную, т.е. б.м. |
|||||||||
yn·b |
|||||||||||||
14. Предел монотонной ограниченной последовательности.
Видео. Лекция 3, 47:30-53:00
Всякая монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел
Доказательство:
C n : xn ≤ C
sup(xn) = M
ε > 0 n0 : xn0 > M − εn > n0xn ≥ xn0 > M − εnxn ≤ M
ε > 0 n0 : n > n0
M − ε < xn ≤ M < M + ε
M = lim xn
n→∞
Монотонно невозрастающая и ограниченная снизу последовательность
yn - невозрастающая, yn ≥ C
xn = −yn - неубывающая, ограничена сверху −C
lim xn
n→∞
lim yn = lim (−xn)
n→∞ n→∞
15. Сочетания, их свойства, Бином Ньютона (без доказательства). Число "е".
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
11 из 15
Колловкиум по матану, 06.11.2025
16. Лемма о вложенных отрезках.
Видео. Лекция 3, 54:30-1:05:00
Определение. Система отрезков σ1, σ2, . . . , σn называется системой вложенных стягивающихся отрезков, если:
σn+1 σn lim |σn| = 0
n→∞
То есть, каждый следующий отрезок лежит (содержится) в предыдущем, и длина отрезков стремится к нулю.
Теорема. Система вложенных стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку.
Доказательство.
Рассмотрим систему вложенных стягивающихся отрезков σn = [an; bn]. Так как это система вложенных отрезков:
σn+1 σn
an+1 ≥ an
bn+1 ≤ bn
Тогда последовательность {an} - неубывающая и ограниченная сверху (например, числом b1), а последовательность {bn} - невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом a1).
Отсюда делаем вывод:
lim an = c, lim bn = d
n→∞ n→∞
an ≤ c, d ≤ bn
При этом:
n an ≤ bn
Тогда по теореме о предельном переходе под знаком неравенства:
c ≤ d
an ≤ c ≤ d ≤ bn
an ≤ c ≤ bn
Получаем, что точка c принадлежит всем отрезкам системы. Докажем теперь единственность этой точки.
Предположим, что существует вторая такая точка c1. Тогда:
an ≤ c ≤ bn
an ≤ c1 ≤ bn
−bn ≤ −c1 ≤ −an
Сложим первое и третье неравенства (вычитать неравенства нельзя):
an − bn ≤ c − c1 ≤ bn − an
Левая и правая части стремятся к нулю, так как отрезки стягивающиеся середина тоже равна нулю
c = c1.
12 из 15
Колловкиум по матану, 06.11.2025
17. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
18. Критерий Коши сходимости последовательности.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
19. Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне. Примеры функций, имеющих и не имеющих предела в точке.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
20. Свойства функций, имеющих предел в точке.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
21. Арифметические действия над пределами функций (доказательства с помощью определений по Коши и по Гейне).
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
22. Непрерывность функции в точке. Свойства.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
23. Теорема о непрерывности сложной функции.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
24. Непрерывность основных элементарных функций.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
25. Первый замечательный предел. Следствия из него.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
26. Второй замечательный предел. Следствия из него.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
13 из 15
Колловкиум по матану, 06.11.2025
27. Критерий Коши существования предела функции.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
28. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Пределы на бесконечности.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
29. Определения «о»-малого, эквивалентных функций. Вычисление пределов с помощью эквивалентностей.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
30. Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке функции.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
31. Теорема о максимальном и минимальном значении непрерывной на отрезке функции.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
32. Теорема о переходе через 0 непрерывной на отрезке функции.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
33. Теорема о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
34. Теорема о функции, обратной непрерывной монотонной.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
35. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва. Точки разрыва монотонных на отрезке функций.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
36. Модуль непрерывности. Равномерная непрерывность.
Видео. Лекция 3, 18:20-18:20
14 из 15