Колловкиум по матану, 06.11.2025

Тогда для последовательности |αn|:

ε > 0 n0 : n > n0 ||αn|| = |αn| < ε

Доказательство αn · xn - б.м, если αn - б.м., а xn - ограничена:

Пусть αn - б.м., а xn - ограничена. Тогда по определению ограниченности:

ε > 0 n > n0 : |αn · xn| < ε

C ≥ 0 n |xn| ≤ C

Рассмотрим два случая:

Найденное C = 0: Тогда xn - последовательность нулей. Следовательно, αn · xn - тоже и является б.м. Найденное C ̸= 0: по определению б.м.:

ε

|αn · xn| = |αn| · |xn| < C · C = ε

ε > 0 n0 : n > n0

ε

|αn| < C

ε

|αn · xn| = |αn| · |xn| < C · C = ε

13. Теоремы о сумме и произведении и частном сходящихся последовательностей (с помощью бесконечно малых).

Видео. Лекция 3, 18:20-32:00

lim xn = a, lim yn = b

n→∞ n→∞

1) Сумма и разность:

lim (xn + yn) = a + b

n→∞

lim (xn − yn) = a − b

n→∞

2) Умножение на константу:

lim (k · xn) = ka

n→∞

3) Произведение:

lim (xn · yn) = ab

n→∞

4) Частное с константой:

5) Частное:

Доказательство 1:

{xn − a} и {yn − b} – б.м. Рассмотрим (xn + yn) − (a + b) = (xn − a) + (yn − b) = б.м + б.м = б.м

10 из 15